三角函數(shù)難題薈萃

第1頁（共1頁）三角函數(shù)難題薈萃一．選擇題（共8小題）1．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），若g（x）?f（x）＝1，且函數(shù)g（x）的部分圖象如圖所示，則φ等于（）A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有三個零點(diǎn)x1、x2、x3（x1＜x2＜x3），則x1+x2+x3的取值范圍是（）A． B． C． D．3．某地計(jì)劃將一處廢棄的水庫改造成水上公園，并繞水庫修建一條游覽道路．平面示意圖如圖所示，道路OC長度為8（單位：百米），OA是函數(shù)y＝loga（x+b）圖象的一部分，ABC是函數(shù)y＝Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|，x∈[4，8]）的圖象，最高點(diǎn)為B（5，），則道路OABC所對應(yīng)函數(shù)的解析式為（）A．y B．y C．y D．y4．已知a，b，α，β∈R，滿足sinα+cosβ＝a，cosα+sinβ＝b，0＜a2+b2≤4，有以下2個結(jié)論：①存在常數(shù)a，對任意的實(shí)數(shù)b∈R，使得sin（α+β）的值是一個常數(shù)；②存在常數(shù)b，對任意的實(shí)數(shù)a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一個常數(shù)．下列說法正確的是（）A．結(jié)論①、②都成立 B．結(jié)論①不成立、②成立 C．結(jié)論①成立、②不成立 D．結(jié)論①、②都不成立5．函數(shù)f（x）＝sin（ωx）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）中心對稱，且在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點(diǎn)，則（）A．f（x）在區(qū)間（，）單調(diào)遞增 B．直線x是曲線y＝f（x）的對稱軸 C．f（x）在區(qū)間（﹣π，π）有5個零點(diǎn) D．f（x）圖象向左平移個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)6．已知，，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜a＜b7．如圖，函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）圖象與x軸交于，與y軸交于P，其最高點(diǎn)為．若PQ⊥PR，則A的值等于（）A． B． C． D．28．已知函數(shù)的圖象在y軸上的截距為，在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：①；②；③函數(shù)在上一定單調(diào)遞增；④在y軸右側(cè)的第一個最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．以上說法中，正確的個數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4二．多選題（共4小題）（多選）9．將函數(shù)f（x）＝sin（2x）的圖象向左平移個單位得到函數(shù)g（x），則下列說法正確的是（）A．g（x）的周期為π B．g（x）的一條對稱軸為x C．g（x）是奇函數(shù) D．g（x）在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增（多選）10．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的最大值為，其圖像相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，且f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x對稱 B．當(dāng)x∈[，]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為 C．若f（α），則sin4α﹣cos4α D．要得到函數(shù)f（x）的圖象，只需要將g（x）cos2x的圖象向右平移的單位（多選）11．已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A．f（x+π）＝f（x） B．f（x）的最大值是 C．f（x）在上單調(diào)遞增 D．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a）上恰有2022個極大值點(diǎn)，則a的取值范圍為（多選）12．給出下列四個選項(xiàng)中，其中正確的選項(xiàng)有（）A．若角α的終邊過點(diǎn)P（3，﹣m）且，則m＝2 B．若α是第二象限角，則為第二象限或第四象限角 C．若在（﹣∞，﹣2）單調(diào)遞減，則a∈（1，2] D．設(shè)角α為銳角（單位為弧度），則α＞sinα三．填空題（共5小題）13．已知函數(shù)f（x）（|b|）的導(dǎo)函數(shù)g（x）＝sin|x|+cos|x|．若在實(shí)數(shù)集R上能取到最小值，則最小值是，此時(shí)f（0）＝．14．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在區(qū)間上單調(diào)，且滿足．（1）若，則函數(shù)f（x）的最小正周期為；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上恰有5個零點(diǎn)，則ω的取值范圍為．15．定義運(yùn)算．令f（x）＝（cos2x+sinx）?．當(dāng)時(shí)，的最大值是．16．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx）（ω＞0）在區(qū)間[﹣1，1]上的值域?yàn)閇m，n]，且n﹣m＝3，則ω的值為．四．解答題（共9小題）17．若函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）滿足：f（x）+g（x）＝0有解，則稱函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）具備“相融關(guān)系”．（1）若f（x），g（x）＝log2x?log4x，判斷y＝f（x）與y＝g（x）是否具備“相融關(guān)系”，請說明理由；（2）若f（x）＝sinxcosx與g（x）＝sin（x）﹣a在x∈[，]具備“相融關(guān)系”，求實(shí)數(shù)a的范圍；（3）若a＜0，且f（x）sin2x+a與g（x）sinx+4cosx不具備“相融關(guān)系”，求整數(shù)a的最大值．18．已知函數(shù)是f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），P（，0）函數(shù)f（x）圖象上的一點(diǎn)，M，N是函數(shù)f（x）圖象上一組相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，在x軸上存在點(diǎn)T，使得，且四邊形PMTN的面積的最小值為2．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（），求A；（3）已知，過點(diǎn)H的直線交PM于點(diǎn)Q，交PN于點(diǎn)K，λ，μ，問是否是定值？若是，求出定值，若不是，說明理由．19．設(shè)函數(shù)y＝f（x）的解析式為f（x）＝sin（2x），x∈R．（1）求函數(shù)y＝f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)所有x的值；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝sin（2x），若對任意x1，x2∈[0，t]，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），求實(shí)數(shù)t的最大值；（3）將函數(shù)f（x）的圖像向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝h（x）的圖像．記方程h（x）在x∈[，]上的根從小到依次為x1，x2，?，xn，試確定n的值，并求x1+2x2+2x3+?+2xn﹣1+xn的值．20．已知函數(shù)f（x）sin（ωx）sin2（x），（ω＞0，x∈R）的最小正周期為4．任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小是為m（t），記g（t）＝M（t）﹣m（t）．（1）求f（x）的解析式及對稱軸方程；（2）當(dāng)t∈[﹣2，0]時(shí)，求函數(shù)g（t）的解析式；（3）設(shè)函數(shù)h（x）＝2|x﹣k|，H（x）＝x|x﹣k|+2k﹣8，其中k為參數(shù)，且滿足關(guān)于t的不等式k﹣5g（t）≤0有解．若對任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）＝H（x1）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．21．已知函數(shù)．（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)，關(guān)于x的方程[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0恰有三個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．22．設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（2x）+2cos2x﹣1（x∈R）．（1）若f（α），α∈[0，]，求角α；（2）若不等式[f（x）]2+2acos（2x）﹣2a﹣2＜0對任意x∈（，）時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足的條件；（3）將函數(shù)f（x）的圖像向左平移個單位，然后保持圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)g（x）的圖像，若存在非零常數(shù)λ，對任意x∈R，有g(shù)（x+λ）＝λg（x）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．23．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，B，C分別為最高點(diǎn)與最低點(diǎn)．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若函數(shù)y＝f（x）﹣m在上有且僅有三個不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，（x1＜x2＜x3），求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并求出cos（x1+2x2+x3）的值．24．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求A，ω和φ的值；（2）求函數(shù)y＝f（x）在[1，2]上的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上恰有2022個零點(diǎn)，求b﹣a的取值范圍．25．已知函數(shù)．（1）若f（x1）≤f（x）≤f（x2），|x1﹣x2|min，求f（x）的對稱中心；（2）已知0＜ω＜5，函數(shù)f（x）圖象向右平移個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，是g（x）的一個零點(diǎn)，若函數(shù)g（x）在[m，n]（m，n∈R且m＜n）上恰好有10個零點(diǎn)，求n﹣m的最小值．

三角函數(shù)難題薈萃參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），若g（x）?f（x）＝1，且函數(shù)g（x）的部分圖象如圖所示，則φ等于（）A． B． C． D．【解答】解：由已知得g（x），據(jù)圖可知是f（x）在一個周期內(nèi)的三個零點(diǎn)，且f（x）在上先增后減，在上先減后增，故，所以ω＝2，且sin（）＝0，得2kπ，k∈Z，又|φ|，故k＝0時(shí)，即為所求．故選：B．2．設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有三個零點(diǎn)x1、x2、x3（x1＜x2＜x3），則x1+x2+x3的取值范圍是（）A． B． C． D．【解答】解：令t＝4x，由，則t∈[，]，若函數(shù)y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有三個零點(diǎn)x1、x2、x3（x1＜x2＜x3），轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝g（t）與y＝a在t∈[，]圖象上有3個交點(diǎn)，且設(shè)橫坐標(biāo)分別為t1、t2、t3（t1＜t2＜t3），則t1＝4x1，t2＝4x2，t3＝4x3，函數(shù)g（t）＝sint，t∈[，]，如圖所示：由圖象可得t1、t2關(guān)于t對稱，t1+t2＝π，則4x14x2π，解得x1+x2，t3，則4x3，則x3，∴x1+x2+x3，故選：B．3．某地計(jì)劃將一處廢棄的水庫改造成水上公園，并繞水庫修建一條游覽道路．平面示意圖如圖所示，道路OC長度為8（單位：百米），OA是函數(shù)y＝loga（x+b）圖象的一部分，ABC是函數(shù)y＝Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|，x∈[4，8]）的圖象，最高點(diǎn)為B（5，），則道路OABC所對應(yīng)函數(shù)的解析式為（）A．y B．y C．y D．y【解答】解：由三角函數(shù)的圖象知M，8﹣5＝3，即T＝12，則12，得ω，則ysin（x+φ），又由函數(shù)過B（5，），得sin（5+φ），得sin（φ）＝1，即φ＝2kπ，得φ＝2kπ，又因?yàn)閨φ|，所以當(dāng)k＝0時(shí)，φ，則ysin（x），（4≤x≤8），排除B，D，當(dāng)x＝4時(shí)，ysin（4）sin2，即A（4，2），y＝loga（x+b）過（0，0），則logab＝0，則b＝1，則y＝loga（4+1）＝loga5＝2，得a，則y（x+1），（0≤x＜4），排除A，故選：C．4．已知a，b，α，β∈R，滿足sinα+cosβ＝a，cosα+sinβ＝b，0＜a2+b2≤4，有以下2個結(jié)論：①存在常數(shù)a，對任意的實(shí)數(shù)b∈R，使得sin（α+β）的值是一個常數(shù)；②存在常數(shù)b，對任意的實(shí)數(shù)a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一個常數(shù)．下列說法正確的是（）A．結(jié)論①、②都成立 B．結(jié)論①不成立、②成立 C．結(jié)論①成立、②不成立 D．結(jié)論①、②都不成立【解答】解：a2+b2＝2+2（sinαcosβ+cosαsinβ），即sin（α+β），a，b的取值相互影響，不存在常數(shù)a，對任意的實(shí)數(shù)b∈R，使得sin（α+β）的值是一個常數(shù)，①不成立；b2﹣a2＝cos2α﹣sin2α+sin2β﹣cos2β+2cosαsinβ﹣2sinαcosβ＝cos2α﹣cos2β﹣2sin（α﹣β），則有b2﹣a2＝﹣2sin（α+β）sin（α﹣β）﹣2sin（α﹣β），∴sin（α﹣β），當(dāng)b＝0時(shí)，sin（α﹣β）＝1為常數(shù)，則cos（α﹣β）＝0為常數(shù)，即存在常數(shù)b＝0，對任意的實(shí)數(shù)a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一個常數(shù)，②成立．故選：B．5．函數(shù)f（x）＝sin（ωx）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）中心對稱，且在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點(diǎn)，則（）A．f（x）在區(qū)間（，）單調(diào)遞增 B．直線x是曲線y＝f（x）的對稱軸 C．f（x）在區(qū)間（﹣π，π）有5個零點(diǎn) D．f（x）圖象向左平移個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)【解答】解：由已知得0?，解得①，k∈Z，因?yàn)閒（x）在區(qū)間（0，π）上恰有三個極值點(diǎn)，故，解得，結(jié)合①得ω＝3，所以f（x）＝sin（3x），對于A，x∈（，）時(shí)，，y＝sinx此時(shí)先減后增，故A錯誤；對于B，因?yàn)閒（）＝﹣1是最小值，故x是曲線y＝f（x）的對稱軸，B正確；對于C，x∈（﹣π，π）時(shí)，∈（﹣3，），y＝sinx此時(shí)有﹣3π，﹣2π，﹣π，0，π，2π，共6個零點(diǎn)，故C錯誤；對于D，f（x）圖象向左平移個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)f（x）＝sin（3x）為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤．故選：B．6．已知，，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜a＜b【解答】解：對于，f′（x），（x＞0），x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，由，故，則2cos2θ﹣1＝cos2θ∈（，1），則比較a，b，c的大小關(guān)系，需比較（2cos2θ﹣1）2＝（cos2θ）2，（cosθ﹣1）2，（sinθ﹣1）2的大小，即比較cos2θ，1﹣cosθ，1﹣sinθ的大小關(guān)系結(jié)合f（x）的單調(diào)性比較，顯然1＞cosθ＞sinθ＞0，故0＜1﹣cosθ＜1﹣sinθ＜1，則0＜（1﹣cosθ）2＜（1﹣sinθ）2＜1，所以c＞b，排除BD；取特殊值，則0＜1﹣coscos，故此時(shí)1＞cos2θ＞1﹣cosθ＞0，故a＞b，故選：A．7．如圖，函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）圖象與x軸交于，與y軸交于P，其最高點(diǎn)為．若PQ⊥PR，則A的值等于（）A． B． C． D．2【解答】解：由圖可知：，得T＝2，所以，將代入方程得：，所以，又因?yàn)?＜φ＜π，所以，所以，，所以，，因?yàn)镻Q⊥PR，所以，解得：或（舍）．故選：B．8．已知函數(shù)的圖象在y軸上的截距為，在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：①；②；③函數(shù)在上一定單調(diào)遞增；④在y軸右側(cè)的第一個最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．以上說法中，正確的個數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵f（x）的圖象在y軸上的截距為，∴f（0）＝sinφ，∵0＜φ，∴φ，故①正確；此時(shí)f（x）＝sin（ωx），∵在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．∴由五點(diǎn)對應(yīng)法得ω，得ω＝2，則f（x）＝sin（2x），f′（x）＝2cos（2x），則f（x）+f′（﹣x）＝sin（2x）+2cos（﹣2x）sin2xcos2x+2（cos2xsin2x）sin2xcos2x+cos2xsin2xsin2xcos2x，則最大值為，∴f（x）+f′（﹣x）不正確，故②錯誤；當(dāng)0＜x時(shí)，0＜2x，2x，此時(shí)f（x）為增函數(shù)，故③正確；由2x2kπ，k∈Z，得xkπ，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，x，即在y軸右側(cè)的第一個最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故④錯誤．故選：B．二．多選題（共4小題）（多選）9．將函數(shù)f（x）＝sin（2x）的圖象向左平移個單位得到函數(shù)g（x），則下列說法正確的是（）A．g（x）的周期為π B．g（x）的一條對稱軸為x C．g（x）是奇函數(shù) D．g（x）在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（2x）的圖象向左平移個單位得到函數(shù)g（x）＝sin（2x）的圖象，故對于A：函數(shù)的最小正周期為π，故A正確；對于B：當(dāng)x時(shí)，g（）±1，故B錯誤；對于C：由于函數(shù)g（x）≠﹣g（x），故C錯誤；對于D：當(dāng)x∈[，]時(shí)，2x∈[，]，故函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確．故選：AD．（多選）10．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的最大值為，其圖像相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，且f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x對稱 B．當(dāng)x∈[，]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為 C．若f（α），則sin4α﹣cos4α D．要得到函數(shù)f（x）的圖象，只需要將g（x）cos2x的圖象向右平移的單位【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的最大值為，其圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，所以A，，所以ω＝2，可得f（x）sin（2x+φ），又因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱，所以f（）sin（φ）＝0，可得φ＝kπ，k∈Z．所以φkπ，k∈Z．因?yàn)閨φ|，所以φ．可得f（x）sin（2x）．對選項(xiàng)A，f（）sinπ＝0≠±，故A錯誤，對選項(xiàng)B，x∈[，]，2x∈[，]，當(dāng)2x時(shí)，f（x）取得最小值，故B正確，對選項(xiàng)C，f（?α）sin（?2α）cos2α，得到cos2α．因?yàn)閟in4α?cos4α＝（sin2α+cos2α）（sin2α?cos2α）＝?cos2α，故C錯誤，對選項(xiàng)D，把g（x）cos2x的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)cos2（x）cos（2x）sin[（2x?）]sin（2x）的圖象，故D正確．故選：BD．（多選）11．已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A．f（x+π）＝f（x） B．f（x）的最大值是 C．f（x）在上單調(diào)遞增 D．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a）上恰有2022個極大值點(diǎn)，則a的取值范圍為【解答】解：，對于A選項(xiàng)：f（x+π）f（x），A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)：設(shè)f（x）t，則sin2x?tcos2x＝2tsin（2x+φ），解得t2，?t，即tmax，即f（x）的最大值為，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)：因?yàn)閒（?）＝f（）＝0，所以f（x）在（?，）上不單調(diào)，C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)：f′（x），令f′（x）＝0，解得cos2x＝?，即xkπ或xkπ，k∈Z，當(dāng)x∈（kπ，kπ），k∈Z時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（kπ，kπ），k∈Z時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)為，又函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a）上恰有2022個極大值點(diǎn)，則a∈（2021π，2022π]，即a∈（，]，D選項(xiàng)正確．故選：ABD．（多選）12．給出下列四個選項(xiàng)中，其中正確的選項(xiàng)有（）A．若角α的終邊過點(diǎn)P（3，﹣m）且，則m＝2 B．若α是第二象限角，則為第二象限或第四象限角 C．若在（﹣∞，﹣2）單調(diào)遞減，則a∈（1，2] D．設(shè)角α為銳角（單位為弧度），則α＞sinα【解答】解：對于A、因?yàn)閟inα，所以解得m＝2，故A正確；對于B、若角α的終邊位于第二象限，即2kπα＜2kπ+π，k∈Z，則kπkπ，k∈Z，則位于第一象限或第三象限，故B錯誤；對于C、令g（x）＝x2+2ax+2a﹣1，則y＝logag（x），若f（x）＝loga（x2+2ax+2a?1）在（﹣∞，﹣2）單調(diào)遞減，則函數(shù)g（x）在區(qū)間[a，+∞）上單調(diào)遞減且g（x）＞0，則有，解可得1＜a；即實(shí)數(shù)a∈（1，]，故C錯誤；對于D、令f（x）＝x﹣sinx，則f'（x）＝1﹣cosx，當(dāng)0＜x時(shí)，cosx＜1，所以f'（x）＝1﹣cosx＞0，所以f（x）在（0，）是單調(diào)遞增，所以f（x）＞f（0）＝0，即x＞sinx，所以當(dāng)角α是銳角（單位為弧度）時(shí)，α＞sinα，故D正確．故選：AD．三．填空題（共5小題）13．已知函數(shù)f（x）（|b|）的導(dǎo)函數(shù)g（x）＝sin|x|+cos|x|．若在實(shí)數(shù)集R上能取到最小值，則最小值是，此時(shí)f（0）＝﹣1．【解答】解：x≥0時(shí)，g（x）＝sinx+cosx，取f1（x）＝sinx﹣cosx，x＜0時(shí)，g（x）＝cosx﹣sinx，取f2（x）＝sinx+cosx，再令Y＝sinx﹣cosx，X＝sinx+cosx，則X2+Y2＝2，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓C，可化為k，該式表示圓C上的點(diǎn)（X，Y）與點(diǎn)（﹣b，﹣a）所在直線的斜率，因?yàn)閨b|，故過點(diǎn)（﹣b，﹣a）的直線y+a＝k（x+b）與圓C相切時(shí)，k會取到最小值，即，即（b2﹣2）k2﹣2abk+a2﹣2＝0，解得，故k的最小值為，即的最小值為，此時(shí)f（0）＝﹣1．故答案為：；﹣1．14．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在區(qū)間上單調(diào)，且滿足．（1）若，則函數(shù)f（x）的最小正周期為π；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上恰有5個零點(diǎn)，則ω的取值范圍為．【解答】解：因?yàn)椋?，?（，），所以f（x）在（，）上單調(diào)，又f（）＝﹣f（），所以，可得f（）＝0，又由于f（x）＝f（x），所以函數(shù)f（x）的對稱軸方程為x，則，所以函數(shù)的最小正周期為π；因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間[，）上恰有5個零點(diǎn)，所以2T，所以2??，解得ω，且滿足T＞4×（），即，即ω≤3，故ω∈（，3]，故④正確；故答案為：π，．15．定義運(yùn)算．令f（x）＝（cos2x+sinx）?．當(dāng)時(shí)，的最大值是1．【解答】解：因?yàn)閏os2x+sinx＝1﹣sin2x+sinx（sinx）2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx時(shí)等號成立，又，所以f（x）＝（cos2x+sinx）?cos2x+sinx，所以f（x）＝cos2（x）+sin（x）＝sin2x﹣cosx＝﹣（cos2x+cosx）+1（cosx）2，∵x∈[0，]，∴cosx∈[0，1]，∴f（x）≤1．故答案為：1．16．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx）（ω＞0）在區(qū)間[﹣1，1]上的值域?yàn)閇m，n]，且n﹣m＝3，則ω的值為．【解答】解：f（x）的最小正周期T＞2，故0＜ω＜π，結(jié)合ω＞0，則：①當(dāng)[﹣1，1]是f（x）的一個單調(diào)增區(qū)間時(shí)，應(yīng)有n﹣m，所以，不符合題意，舍去；②因?yàn)閒（x）圖象是將y＝2sinωx向左平移，則x∈[﹣1，1]時(shí)，f（x）應(yīng)該在y軸右側(cè)存在一個極大值點(diǎn)，故n＝2，m＝2sin（），所以此時(shí)n﹣m＝2﹣2sin（）＝3，得sin，故，解得．故答案為：．四．解答題（共9小題）17．若函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）滿足：f（x）+g（x）＝0有解，則稱函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）具備“相融關(guān)系”．（1）若f（x），g（x）＝log2x?log4x，判斷y＝f（x）與y＝g（x）是否具備“相融關(guān)系”，請說明理由；（2）若f（x）＝sinxcosx與g（x）＝sin（x）﹣a在x∈[，]具備“相融關(guān)系”，求實(shí)數(shù)a的范圍；（3）若a＜0，且f（x）sin2x+a與g（x）sinx+4cosx不具備“相融關(guān)系”，求整數(shù)a的最大值．【解答】解：（1）由，，令，所以y＝f（x）與y＝g（x）不具備“相融關(guān)系”；（2），sin2x＝1﹣t2，設(shè)u（t）＝f（x）+g（x）＝﹣at2+|t|+a，且u（t）為偶函數(shù)，考慮的情形，所以u（t）＝﹣at2+t+a，當(dāng)a＝0時(shí)，u（t）＝t＝0，滿足題設(shè)，當(dāng)a≠0時(shí)，，若a＜0，u（t）在上單調(diào)遞增，，滿足題設(shè)，若，，u（0）＝a＞0，，所以，若，u（t）在上遞增，u（t）≥u（0）＝a＞0，不合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（3）設(shè)，觀察到，因此h（x）max＜0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，，因此，所以整數(shù)a的最大值﹣11．18．已知函數(shù)是f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），P（，0）函數(shù)f（x）圖象上的一點(diǎn)，M，N是函數(shù)f（x）圖象上一組相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，在x軸上存在點(diǎn)T，使得，且四邊形PMTN的面積的最小值為2．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（），求A；（3）已知，過點(diǎn)H的直線交PM于點(diǎn)Q，交PN于點(diǎn)K，λ，μ，問是否是定值？若是，求出定值，若不是，說明理由．【解答】解：（1）由題意知，S四邊形PMTN＝2S△PMN，連接MN，交x軸于點(diǎn)Q，則若使四邊形PMTN的面積最小，則△PMN的面積最小，即|PQ|最小，故此時(shí)P、Q為函數(shù)f（x）的圖象與x軸相鄰的兩個交點(diǎn)，設(shè)T是函數(shù)f（x）的最小正周期，則|PQ|，四邊形PMTN的面積的最小值為2；故S四邊形PMTN＝2S△PMN＝22＝2，故T＝2，故ωπ；∵P（，0）函數(shù)f（x）圖象上的一點(diǎn)，∴sin（π+φ）＝0，故π+φ＝kπ（k∈Z），又∵|φ|，∴φ，故f（x）sin（πx）；（2）∵f（）sin（A），∴sin（A），∴A2kπ或A2kπ（k∈Z），故A＝2kπ或A＝2kπ（k∈Z）；（3）∵λ，μ，∴，，∵，∴，又∵，∴，即3?3?，又∵T、Q、K三點(diǎn)共線，∴3?3?1，故．19．設(shè)函數(shù)y＝f（x）的解析式為f（x）＝sin（2x），x∈R．（1）求函數(shù)y＝f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)所有x的值；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝sin（2x），若對任意x1，x2∈[0，t]，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），求實(shí)數(shù)t的最大值；（3）將函數(shù)f（x）的圖像向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝h（x）的圖像．記方程h（x）在x∈[，]上的根從小到依次為x1，x2，?，xn，試確定n的值，并求x1+2x2+2x3+?+2xn﹣1+xn的值．【解答】解：（1）令2x2kπ（k∈Z），解得x＝kπ（k∈Z），即當(dāng)x＝kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值1；（2）∵對任意x1，x2∈[0，t]，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），∴對任意x1，x2∈[0，t]，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），即函數(shù)f（x）﹣g（x）在[0，t]上是增函數(shù)；f（x）﹣g（x）＝sin（2x）﹣sin（2x）＝（sin2x?coscos2x?sin）﹣（sin2x?coscos2x?sin）sin2x，∵ysin2x的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ，kπ]（k∈Z），∴[0，t]?[kπ，kπ]（k∈Z），∴0＜t，故實(shí)數(shù)t的最大值為；（3）函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)y＝sin（2（x））＝sin（2x）的圖象，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)＝h（x）＝sin（4x）的圖象；作函數(shù)y與h（x）＝sin（4x）（x∈[，]）上的圖象如下，由圖象可知，共有5個交點(diǎn)，故方程h（x）在x∈[，]上有5個根，即n＝5，令|sin（4x）|＝1得，4xkπ（k∈Z），故x（k∈Z），又∵x∈[，]，∴x，，，，，故x1+x2＝2，x2+x3＝2，x3+x4＝2，x4+x5＝2，故x1+2x2+2x3+2x4+x5＝2（）．20．已知函數(shù)f（x）sin（ωx）sin2（x），（ω＞0，x∈R）的最小正周期為4．任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小是為m（t），記g（t）＝M（t）﹣m（t）．（1）求f（x）的解析式及對稱軸方程；（2）當(dāng)t∈[﹣2，0]時(shí)，求函數(shù)g（t）的解析式；（3）設(shè)函數(shù)h（x）＝2|x﹣k|，H（x）＝x|x﹣k|+2k﹣8，其中k為參數(shù)，且滿足關(guān)于t的不等式k﹣5g（t）≤0有解．若對任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）＝H（x1）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解答】解：（1）f（x）sin（ωx）sin2（x）sin（ωx）sin（ωx）cos（ωx）＝sin（ωx）＝sinωx，∵函數(shù)f（x）sin（ωx）sin2（），（x∈R）的最小正周期為4，∴T4，解得ω，即f（x）＝sinx，令xkπ，解得x＝2k+1，k∈Z，故f（x）的解析式為f（x）＝sinx，對稱軸方程為x＝2k+1（k∈Z）；（2）由（1）知f（x）＝sinx，x∈[t，t+1]，t∈[﹣2，0]，則（t+1）∈[﹣1，1]，作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示：由圖象可知當(dāng)t∈[﹣2，），（t+1）∈[﹣1，），則當(dāng)x∈[t，t+1]，M（t）＝f（t）＝sint，m（t）＝f（﹣1）＝﹣1，此時(shí)g（t）＝M（t）﹣m（t）＝sint+1，當(dāng)t∈[，﹣1），（t+1）∈[，0），則當(dāng)x∈[t，t+1]，M（t）＝f（t+1）＝sin（t+1）＝cost，m（t）＝f（﹣1）＝﹣1，此時(shí)g（t）＝M（t）﹣m（t）＝cost+1，當(dāng)t∈[﹣1，0]，（t+1）∈[0，1]，則當(dāng)x∈[t，t+1]，M（t）＝f（t+1）＝sin（t+1）＝cost，m（t）＝f（t）＝sint，此時(shí)g（t）＝M（t）﹣m（t）＝cost﹣sint，綜上所述，函數(shù)g（t）的解析式為g（t）；（3）由（1）知f（x）＝sinx，且T＝4，又任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），則M（t+4）＝M（t），m（t+4）＝m（t），∴g（t+4）＝M（t+4）﹣m（t+4）＝M（t）﹣m（t）＝g（t），∴g（t）是周期為4的函數(shù)，只需研究t∈[﹣2，2]上的性質(zhì)即可，由（2）知t∈[﹣2，0]時(shí)，g（t），同理可得t∈[0，2]時(shí)，當(dāng)t∈[0，），g（t）＝M（t）﹣m（t）＝1﹣sint，當(dāng)t∈[，1），g（t）＝1﹣cost，當(dāng)t∈[1，2]，g（t）＝sint﹣cost，綜上所述，函數(shù)g（t），作出函數(shù)g（t）部分圖象，如圖所示：由圖象可知函數(shù)g（t）的值域?yàn)閇1，]，關(guān)于t的不等式k﹣5g（t）≤0有解．轉(zhuǎn)化為k≤5g（t）max，解得k≤5，對任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）＝H（x1）成立，轉(zhuǎn)化為H（x）在[4，+∞）上的值域是h（x）在（﹣∞，4]上值域的子集，∵h(yuǎn)（x）＝2|x﹣k|（k≤5），H（x）＝x|x﹣k|+2k﹣8（k≤5），∴當(dāng)k≤4時(shí)，h（x）在（﹣∞，k）上單調(diào)遞減，在（k，4]上單調(diào)遞增，∴h（x）min＝h（k）＝1，當(dāng)k≤4時(shí)，H（x）在[4，+∞）上單調(diào)遞增，H（x）min＝H（4）＝8﹣2k，∴8﹣2k≥1，解得k，當(dāng)4＜k≤5時(shí)，h（x）在（﹣∞，4]上單調(diào)遞減，∴h（x）min＝h（4）＝2k﹣4，當(dāng)4＜k≤5時(shí)，H（x）在[4，k）上單調(diào)遞減，在（k，+∞）上單調(diào)遞增，H（x）min＝H（4）＝2k﹣8，∴，∴，解得k＝5，綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為（﹣∞，]∪{5}．21．已知函數(shù)．（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)，關(guān)于x的方程[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0恰有三個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ，kπ]，k∈Z．（2）因?yàn)閇f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0等價(jià)于[f（x）﹣（m+1）][f（x）﹣m]＝0，解得f（x）＝m+1或f（x）＝m，因?yàn)?，所?x∈[，]，f（x）∈[﹣1，2]，如圖，繪出函數(shù)f（x）的圖像，方程[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0有三個不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于f（x）＝m+1有一個實(shí)數(shù)解且f（x）＝m有兩個不同的實(shí)數(shù)解或f（x）＝m+1有兩個不同的實(shí)數(shù)解且f（x）＝m有一個實(shí)數(shù)解，①當(dāng)m＜﹣1或m＞2時(shí)，f（x）＝m無解，不符合題意；②當(dāng)m＝﹣1時(shí)，則m+1＝0，f（x）＝m有一個實(shí)數(shù)解，f（x）＝m+1有兩個不同的實(shí)數(shù)解，符合題意；③當(dāng)﹣1＜m≤0時(shí)，則0＜m+1≤2，f（x）＝m有兩個不同的實(shí)數(shù)解，f（x）＝m+1有一個實(shí)數(shù)解，符合題意；④當(dāng)0＜m≤2時(shí)，則1＜m+1≤3，f（x）＝m有一個實(shí)數(shù)解，f（x）＝m+1至多有一個實(shí)數(shù)解，不符合題意，綜上，m的取值范圍為[﹣1，0]．22．設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（2x）+2cos2x﹣1（x∈R）．（1）若f（α），α∈[0，]，求角α；（2）若不等式[f（x）]2+2acos（2x）﹣2a﹣2＜0對任意x∈（，）時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足的條件；（3）將函數(shù)f（x）的圖像向左平移個單位，然后保持圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)g（x）的圖像，若存在非零常數(shù)λ，對任意x∈R，有g(shù)（x+λ）＝λg（x）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可知，，∴，∴或，∵，∴或；（2），令，∴，，令，∴2a≥﹣1，解得：，即實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足的條件是a∈[）；（3）∵，∴f（x）的圖像向左平移個單位，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模傻茫?，存在非零常?shù)λ，對任意的x∈R，g（x+λ）＝λg（x）成立