長方體再認識

長方體再認識》的概念梳理湯瑩琪一．長方體的元素1．長方體有六個面，八個頂點，十二條棱。但反過來說，由六個面、八個頂點、十二條棱組成的圖形不都是長方體，如圖（1）、（2）所示就不是長方體。2．長方體的每個面都是長方形，相對的兩個面形狀大小都相同。因此，長方體表面積計算公式是：2x（長x寬+長x高+寬x高）。也因此，特殊情況下，長方體會具有正方形的面，且正方形的面或者2個，或者6個，但不會出現(xiàn)4個面是正方形的情況。3．長方體12條棱可分成三組（長、寬、高），每組中的四條棱的長度相等，因此求棱長總和的公式是：4x（長+寬+高），也因此長方體至少有4條棱長度相等。長方體體積的計算公式是：長x寬x高。4．平面是平的，無邊無沿。水平放置的平面畫成一邊是水平位置，另一邊與水平線成45度夾角的平行四邊形。這也是斜二測畫法畫長方體的上下兩塊水平面的表現(xiàn)手法。對于平面的理解，根據(jù)平面的放置通常分為水平面（如地面、天花板、平靜的水面）、立面（如墻面）、斜面（如斜坡）。如圖（3）所示，平面ABCD、平面EFGH是水平面；平面EFCD是斜面；平面FBCG、平面CDGH、平面ADHE、平面ABFE是立面。又如：在①鏡面、②地面、③斜面、④桌面、⑤湖面、⑥墻面中，通常情況下是水平面的有（ ）（A）①③⑥ （B）①③⑤ （C）②④⑤ （D）②④⑥答案選C,其中鏡面可以水平放置，也可以豎立放置，當然也可擺成斜面。又如：三個小正方體拼成如圖（4）的幾何體，它的面有幾塊？答案是八塊而非十四塊，因為根據(jù)平面無邊無沿，正面的三塊小正方形拼成一塊“L”形的平面，算一塊平面，這樣該幾何體的面可按位置分成前、后兩面，左、中、右三面，上、中、下三面，共八面。CA圖3B圖4

CA圖3B圖4長方體中棱與棱、棱與面、面與面的位置關(guān)系1．棱與棱的位置關(guān)系：平行、垂直、異面。前兩種好理解、易判斷，異面則比較困難。在長方體中找出與一條已知棱異面的棱，可先找到與已知棱對角平行的棱，則與這條對角平行的棱相交的棱都與已知棱異面。如圖（3）中，要找出與棱HC異面的棱，可先找到棱FB,與棱FB相交的棱有棱EF、長方體中棱與棱、棱與面、面與面的位置關(guān)系1．棱與棱的位置關(guān)系：平行、垂直、異面。前兩種好理解、易判斷，異面則比較困難。在長方體中找出與一條已知棱異面的棱，可先找到與已知棱對角平行的棱，則與這條對角平行的棱相交的棱都與已知棱異面。如圖（3）中，要找出與棱HC異面的棱，可先找到棱FB,與棱FB相交的棱有棱EF、棱FG、棱AB、棱BD,這四條棱就是與棱HC異面的棱。2．棱與面的位置關(guān)系：垂直、平行。如圖（3），沒有與平面EFCD垂直的棱，但有與之平行的棱：棱HG、棱AB。C圖33.面與面的位置關(guān)系：垂直、平行。如圖（3）,沒有與平面EFDC平行的面，但有與之垂直的面：平面FBCG、平面ADHE。判斷一個平面是否與另一個平面垂直的原理是：若一條直線垂直與一平面，則經(jīng)過這條直線的平面與已知平面垂直。據(jù)此，圖（3）中，棱EF垂直于面FBDG，而面EFDC經(jīng)過棱EF,所以面EFCD垂直于面FBCG。三.檢驗棱與面、面與面位置關(guān)系的方法辨析：1.檢驗棱與面平行的方法：鉛垂線法（棱與水平面的平行）、長方形紙片法（棱與任意面平行）。如圖（3）,檢驗棱HG與面EFCD平行的現(xiàn)成的長方形紙片可以是面EFGH或面HGCD。檢驗面與面平行的方法：長方形紙片法。如圖（3）中，面EFBA與面FGCB看作是長方形紙片交叉地放置兩次，且分別能與面ABCD和面EFGH緊貼，從而說明面ABCD和面EFGH平行。檢驗兩類平行都有長方形紙片法，區(qū)別在于：檢驗面與面平行時，長方形紙片需在交叉位置上放兩次，否則，如圖（1）中，平行放置的左右兩塊長方形就不能檢驗出上、下兩個面平行。C圖32.檢驗棱與面垂直的方法：鉛垂線法（棱與水平面垂直）、三角尺法與合頁型折紙法（棱與任意位置的平面垂直）。檢驗面與面垂直的方法：鉛垂線法（平面與水平面垂直）、合頁型折紙法（平面與任意位置的面垂直）。檢驗兩類垂直都有合頁型折紙法，區(qū)別在于：檢驗棱與平面垂直時，合頁型折紙的折痕與被檢驗的棱重疊；檢驗面與面垂直時，合頁型折紙的折痕就是被檢驗的其中一個面上的棱。如圖（3）中，面ADHE與面ABFE組成的看作直立于面ABCD的合頁型折紙，折痕是AE，從而說明棱AE垂直于面ABCD；面ADHE與面ABFE組成的看作直立于面ABCD的合頁型折紙，折痕是AE能緊帖面ADHE,從而說明面ADHE垂直于面ABCD。又如，檢驗面EFCD垂直于面FBCG的合頁型折紙可看作是由面