【復習】第02講 一元二次函數(shù)、方程和不等式（原卷版）-【寒假銜接講義】高一數(shù)學寒假講義練習（新人教A專用）

第第頁第02講一元二次函數(shù)、方程和不等式【學習目標】1、梳理等式性質(zhì)的基礎上，通過類比，研究不等式的性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)研究一類重要的不等式—基本不等式.2、體會函數(shù)觀點統(tǒng)一方程和不等式的數(shù)學思想.【考點目錄】考點一：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)考點二：利用基本不等式求最值考點三：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式考點四：恒成立問題考點五：二次函數(shù)根的分布問題考點六：不等式在實際問題中的應用【基礎知識】知識點一、符號法則與比較大小實數(shù)的符號：任意，則(為正數(shù))、或(為負數(shù))三種情況有且只有一種成立.兩實數(shù)的加、乘運算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)：①兩個同號實數(shù)相加，和的符號不變符號語言：；②兩個同號實數(shù)相乘，積是正數(shù)符號語言：； ③兩個異號實數(shù)相乘，積是負數(shù)符號語言：④任何實數(shù)的平方為非負數(shù)，0的平方為0符號語言：，.比較兩個實數(shù)大小的法則：對任意兩個實數(shù)、①；②；③.對于任意實數(shù)、，，，三種關系有且只有一種成立.知識點二、不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，運算性質(zhì)有：(1)可加法則：(2)可乘法則：(3)可乘方性：知識點詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù).知識點三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關系，進一步比較與的大小.①；②；③.作商法：任意兩個值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關系，進一步比較與的大小.①；②；③.中間量法：若且，則(實質(zhì)是不等式的傳遞性).一般選擇0或1為中間量.知識點四、基本不等式1、對公式及的理解.(1)成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；(2)取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當且僅當時取等號”.2、由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論①(同號)；②(異號)；③或知識點詮釋：可以變形為：，可以變形為：.知識點五、用基本不等式求最大(小)值在用基本不等式求函數(shù)的最值時，應具備三個條件：一正二定三取等.①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值.知識點詮釋：1、兩個不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù).2、兩個不等式：與都是帶有等號的不等式，對于“當且僅當……時，取“=”號這句話的含義要有正確的理解.3、基本不等式的功能在于“和積互化”.若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各項的“和”為定值，則“積”有最大值.4、利用兩個數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個條件：①各項都是正數(shù)；②和(或積)為定值；③各項能取得相等的值.5、基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應用，在應用時一般按以下步驟進行：①先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；②建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；④寫出正確答案.知識點六、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系對于一元二次方程的兩根為且，設，它的解按照，，可分三種情況，相應地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.二次函數(shù)()的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根知識點七、一元二次不等式恒成立問題(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立(2)分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題.【考點剖析】考點一：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)例1.已知，則(

)A. B. C. D.例2.已知.則的取值范圍是(

)A. B. C. D.例3.對任意實數(shù)，命題：①若，則；②若，則；③若，則.④若，則，其中真命題的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3考點二：利用基本不等式求最值例4.函數(shù)的最小值是(

)A.7 B.9 C.12 D.例5.若實數(shù)，滿足，則的最小值為(

).A.4 B.3 C.2 D.1例6.已知正實數(shù)a，b，c滿足，當取最小值時，下列說法正確的是(

)A.a＝4b B.C.的最大值為 D.的最大值為例7.已知，且，則的最小值為(

)A.2 B.3 C.4 D.5例8.負實數(shù)、滿足，則的最小值為(

)A. B. C. D.考點三：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式例9.已知關于的不等式的解集為，則下列結(jié)論中正確的是(

)A. B. C. D.例10.不等式的解集是(

)A. B.C. D.例11.關于的不等式的解集為，且，則(

)A.3 B. C.2 D.例12.已知函數(shù).(1)若，求a的取值范圍；(2)解關于x的不等式.例13.已知不等式的解集為或.(1)求的值；(2)解不等式.考點四：恒成立問題例14.當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.例15.對任意的，恒成立，則的取值范圍為(

)A. B. C. D.例16.不等式對一切恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A. B.C. D.例17.對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.例18.若，，且，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A. B.或C.或 D.考點五：二次函數(shù)根的分布問題例19.關于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A. B. C. D.例20.若關于的方程有一正根和一負根，則的取值范圍為__________.例21.已知關于的方程的兩根分別在區(qū)間，內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為__________.考點六：不等式在實際問題中的應用例22.某火車站正在不斷建設，目前車站準備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為12平方米，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室.由于此保管員室的后背靠墻，無須建造費用，因此甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元.設屋子的左右兩側(cè)墻的長度均為x米().(1)當左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與此保管員室建造競標，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求a的取值范圍.例23.用一段長為的籬笆圍成一個一邊靠墻(靠墻的一面不用籬笆)的矩形菜園,墻長,問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大,最大面積時多少?例24.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應“綠水背山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹的單株產(chǎn)量W(單位：千克)與施用肥料x(單位：千克)滿足如下關系：，且單株施用肥料及其它成本總投入為元.己知這種水果的市場售價大約為10元/千克，且銷路暢通供不應求.記該水果樹的單株利潤為(單位：元).(1)求函數(shù)的解析式；(2)當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？【真題演練】1.不等式的解集是(

)A. B.C. D.1.已知不等式對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為(

)A.2 B.4 C.6 D.82.若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是A. B. C.5 D.63.若，則的最小值為____________.4.設，則的最小值為______.5.已知函數(shù)(為常數(shù))，且方程有兩個實根為.(1)求函數(shù)的解析式：(2)設，解關于的不等式：.6.解不等式：.7.若關于x的不等式的解集為，則實數(shù)a的取值范圍是____________；若關于x的不等式的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是____________.【過關檢測】一、單選題1.函數(shù)的最小值是(

)A.7 B. C.9 D.2.不等式的解集為,則函數(shù)的圖像大致為(

)A. B.C. D.3.設(、為互不相等的正實數(shù))，，則與的大小關系是(

)A. B.C. D.4.不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.5.下列結(jié)論正確的是(

)A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6.已知，且，則的最小值為(

)A.2 B.3 C.4 D.57.若關于x的不等式的解集是R，則m的取值范圍是(

)A.(1，+∞) B.(0，1) C.(1，1) D.[1，+∞)8.某班計劃在勞動實踐基地內(nèi)種植蔬菜，班長買回來8米長的圍欄，準備圍成一邊靠墻(墻足夠長)的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學們提出了圍成矩形?三角形?弓形這三種方案，最佳方案是(

)A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2二、多選題9.若，，且，則下列不等式成立的是(

)A. B. C. D.10.當時，下列函數(shù)中最小值不是2的有(

)A. B.C. D.11.下列說法正確的有(

)A.若，則的最大值是B.若x，y，z都是正數(shù)，且，則的最小值是3C.若，，，則的最小值是2D.若實數(shù)x，y滿足，則的最小值是12.已知關于x的不等式的解集為，且，若，是方程的兩個不等實根，則(

)A. B. C. D.三、填空題13.已知關于的方程的兩根為、.若，則實數(shù)的值是______.14.已知關于x的不等式的解集為R，則b的取值范圍是__________.15.已知，則__________.(填“＞”“＜”或“＝”)16.已知，且，則的最小值是________四、解答題17.某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入元，已知總收益滿足函數(shù)，其中是儀器的月產(chǎn)量.(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；(2)當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益