(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+鞏固練習(xí)6.6《數(shù)列中的綜合問(wèn)題》(原卷版)

第第頁(yè)§6.6數(shù)列中的綜合問(wèn)題考試要求1.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，會(huì)解決等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題.2.能在具體問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)等差、等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題．題型一數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例1(1)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699塊 B．3474塊C．3402塊 D．3339塊(2)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折．規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240dm2，對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180dm2，以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_(kāi)_______；如果對(duì)折n次，那么eq\i\su(k＝1,n,S)k＝_______dm2.教師備選1．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，前三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為28.5尺，最后三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為1.5尺，今年3月20日為春分時(shí)節(jié)，其日影長(zhǎng)為()A．4.5尺 B．3.5尺C．2.5尺 D．1.5尺2．古希臘時(shí)期，人們把寬與長(zhǎng)之比為eq\f(\r(5)－1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)≈0.618))的矩形稱(chēng)為黃金矩形，把這個(gè)比值eq\f(\r(5)－1,2)稱(chēng)為黃金分割比例．如圖為希臘的一古建筑，其中圖中的矩形ABCD，EBCF，F(xiàn)GHC，F(xiàn)GJI，LGJK，MNJK均為黃金矩形，若M與K之間的距離超過(guò)1.5m，C與F之間的距離小于11m，則該古建筑中A與B之間的距離可能是(參考數(shù)據(jù)：0.6182≈0.382，0.6183≈0.236，0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034)()A．30.3m B．30.1mC．27m D．29.2m思維升華數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題常見(jiàn)模型(1)等差模型：后一個(gè)量比前一個(gè)量增加(或減少)的是同一個(gè)固定值．(2)等比模型：后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是同一個(gè)固定的非零常數(shù)．(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，那么應(yīng)考慮an與an＋1(或者相鄰三項(xiàng))之間的遞推關(guān)系，或者Sn與Sn＋1(或者相鄰三項(xiàng))之間的遞推關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1(1)隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革持續(xù)推進(jìn)，以數(shù)字化、網(wǎng)絡(luò)化、智能化以及融合化為主要特征的新型基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)越來(lái)越受到關(guān)注.5G基站建設(shè)就是“新基建”的眾多工程之一，截至2020年底，我國(guó)已累計(jì)開(kāi)通5G基站超70萬(wàn)個(gè)，未來(lái)將進(jìn)一步完善基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)體系，穩(wěn)步推進(jìn)5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè)，實(shí)現(xiàn)主要城區(qū)及部分重點(diǎn)鄉(xiāng)鎮(zhèn)5G網(wǎng)絡(luò)覆蓋.2021年1月計(jì)劃新建設(shè)5萬(wàn)個(gè)5G基站，以后每個(gè)月比上一個(gè)月多建設(shè)1萬(wàn)個(gè)，預(yù)計(jì)我國(guó)累計(jì)開(kāi)通500萬(wàn)個(gè)5G基站時(shí)要到()A．2022年12月 B．2023年2月C．2023年4月 D．2023年6月(2)(多選)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱(chēng)為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則()A．a(chǎn)4＝12B．a(chǎn)n＋1＝an＋n＋1C．a(chǎn)100＝5050D．2an＋1＝an·an＋2題型二等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運(yùn)算例2已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿(mǎn)足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，求S100.教師備選已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿(mǎn)足a1＝b1＝c1＝1，cn＝an＋1﹣an，cn＋1＝eq\f(bn,bn＋2)cn，n∈N*.(1)若{bn}為等比數(shù)列，公比q>0，且b1＋b2＝6b3，求q的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若{bn}為等差數(shù)列，公差d>0，證明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1＋eq\f(1,d)，n∈N*.思維升華對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系．?dāng)?shù)列的求和主要是等差、等比數(shù)列的求和及裂項(xiàng)相消法求和與錯(cuò)位相減法求和，本題中利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，然后利用b1＝1，d>0證明不等式成立．另外本題在探求{an}與{cn}的通項(xiàng)公式時(shí)，考查累加、累乘兩種基本方法．跟蹤訓(xùn)練2已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿(mǎn)足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求b1＋b3＋b5＋…＋b2n﹣1.題型三數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題命題點(diǎn)1數(shù)列與不等式的交匯例3已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝eq\f(1,2)，eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋2(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求證：aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n)<eq\f(1,2).命題點(diǎn)2數(shù)列與函數(shù)的交匯例4(1)已知在等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝2，公比q>1，a2，a3是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3﹣6x2＋32x的兩個(gè)極值點(diǎn)，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和是________．教師備選1．已知函數(shù)f(x)＝log2x，若數(shù)列{an}的各項(xiàng)使得2，f(a1)，f(a2)，…，f(an)，2n＋4成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝______________.2．求證：eq\f(1,2＋1)＋eq\f(2,22＋2)＋eq\f(3,23＋3)＋…＋eq\f(n,2n＋n)<2(n∈N*)．思維升華數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題關(guān)鍵在于通過(guò)函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和，再利用數(shù)列或數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問(wèn)題，通過(guò)放縮進(jìn)行不等式的證明．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＋a2＝20，a2＋a3＝80.數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝log2an，其前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(bn,Sn＋11)≤λ恒成立，則λ的最小值為_(kāi)_______．(2)若Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，S2＝4.①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②設(shè)bn＝eq\f(3,anan＋1)，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn<eq\f(m,20)對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.課時(shí)精練1．從“①Sn＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(a1,2)))；②S2＝a3，a4＝a1a2；③a1＝2，a4是a2，a8的等比中項(xiàng)．”三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的橫線處，并解答．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，________，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝SKIPIF1<0，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Wn，求Wn.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．2．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且aeq\o\al(2,n＋1)＝2Sn＋n＋1，a2＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)若bn＝an·2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求使Tn>2022的最小的正整數(shù)n的值．3．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S5＝25，且a3﹣1，a4＋1，a7＋3成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝(﹣1)nan＋1，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求T2n.4．由整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a3＝5，a1a2＝2a4.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n，將數(shù)列{an}，{bn}的所有項(xiàng)按照“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn放在前面；當(dāng)