工程數(shù)學課件

1第二章矩陣分析基礎

第一節(jié)線性空間

第二節(jié)賦范線性空間

第三節(jié)內(nèi)積空間

第四節(jié)矩陣代數(shù)基礎

第五節(jié)矩陣的三角分解

第六節(jié)矩陣的正交分解

第七節(jié)矩陣的奇異值分解2第一節(jié)線性空間

一、線性空間的定義

二、線性空間的性質(zhì)

三、線性空間的基與維數(shù)

四、元素在給定基下的坐標

五、線性空間的同構

六、基變換公式與過渡矩陣

七、坐標變換公式

八、線性空間的子空間3一、線性空間的定義456

線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．

線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作線性空間，進而通過研究線性空間來解決實際問題．7定義

設是一個非空集合，為數(shù)域．如果(1)對于任意兩個元素，總有唯一的一個元素與之對應，稱為與的和，記作(2)對于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個元素與之對應，稱為與的積，記作如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律，那么就稱為數(shù)域上的線性空間．89

2．線性空間中的元素不一定是有序數(shù)組．

3．判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構成線性空間．說明

1．凡滿足以上八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運算，稱為線性運算．10

（１）一個集合，如果定義的加法和數(shù)乘運算是通常的實數(shù)間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性．例１

實數(shù)域上的全體矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運算構成實數(shù)域上的線性空間，記作．線性空間的判定方法11

通常的多項式加法、數(shù)乘多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規(guī)律．1213例４

正弦函數(shù)的集合對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構成線性空間．14是一個線性空間.例５

在區(qū)間上全體實連續(xù)函數(shù)，對函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構成實數(shù)域上的線性空間．15例６

正實數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運算為驗證對上述加法與數(shù)乘運算構成線性空間．

（２）一個集合，如果定義的加法和數(shù)乘運算不是通常的實數(shù)間的加乘運算，則必需檢驗是否滿足八條線性運算規(guī)律．證明所以對定義的加法與數(shù)乘運算封閉．16下面一一驗證八條線性運算規(guī)律：17所以對所定義的運算構成線性空間．18不構成線性空間．對于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例７

個有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體19(1)零元素是唯一的．二、線性空間的性質(zhì)(2)負元素是唯一的．(4)如果，則或

.20三、線性空間的基與維數(shù)

已知：在中，線性無關的向量組最多由個向量組成，而任意個向量都是線性相關的．

問題：線性空間的一個重要特征——在線性空間中，最多能有多少線性無關的向量？21

22數(shù)值分析2324定義

在線性空間中，如果存在個元素滿足：25

當一個線性空間中存在任意多個線性無關的向量時，就稱是無限維的．26定義四、元素在給定基下的坐標272829注意

線性空間的任一元素在不同的基下所對的坐標一般不同，一個元素在一個基下對應的坐標是唯一的．30例２

所有二階實矩陣組成的集合，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構成實數(shù)域上的一個線性空間．對于中的矩陣313233五、線性空間的同構3435定義

設是兩個線性空間，如果它們的元素之間有一一對應關系，且這個對應關系保持線性組合的對應，那末就稱線性空間與同構.36例如與維數(shù)組向量空間同構.形成一一對應關系；37則有３．同維數(shù)的線性空間必同構．

２．同構的線性空間之間具有反身性、對稱性與傳遞性．結論１．數(shù)域上任意兩個維線性空間都同構．38同構的意義

在線性空間的抽象討論中，無論構成線性空間的元素是什么，其中的運算是如何定義的，我們所關心的只是這些運算的代數(shù)性質(zhì)．從這個意義上可以說，同構的線性空間是可以不加區(qū)別的，而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù)．39六、基變換公式與過渡矩陣

那么，同一個向量在不同的基下的坐標有什么關系呢？換句話說，隨著基的改變，向量的坐標如何改變呢？

問題：在維線性空間中，任意個線性無關的向量都可以作為的一組基．對于不同的基，同一個向量的坐標是不同的．40稱此公式為基變換公式．41基變換公式矩陣稱為由基到基的過渡矩陣．過渡矩陣是可逆的．42若兩個基滿足關系式七、坐標變換公式則有坐標變換公式或43證明4445數(shù)值分析464748數(shù)值分析八、線性空間的子空間定義

設是一個線性空間，是的一個非空子集，如果對于中所定義的加法和數(shù)乘兩種運算也構成一個線性空間，則稱為的子空間．定理

線性空間的非空子集構成子空間的充分必要條件是：對于中的線性運算封閉．49解(1)不構成子空間.因為對例

有