高三練習(xí)題二（全國(guó)卷II）數(shù)學(xué)（理）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精百師聯(lián)盟2020屆高三練習(xí)題二全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)一?選擇題:本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知實(shí)數(shù)集，集合，則（）A。 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合中的不等式即可【詳解】因?yàn)榛蛩怨蔬x：C【點(diǎn)睛】本題考查是集合的運(yùn)算，較簡(jiǎn)單。2。已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足,則（）A。 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，然后令求出,然后即可求出【詳解】因?yàn)樗粤顣r(shí)有，所以所以所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，較簡(jiǎn)單.3.如圖是某校高三某班甲?乙兩位同學(xué)前六次模擬考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，若甲、乙兩人的平均成績(jī)分別是、,則下列判斷正確的是（）A.，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定B。，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定C。，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定D。，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定【答案】D【解析】【分析】由莖葉圖分別求出，從而得到,由莖葉圖知甲數(shù)據(jù)較分散，乙的數(shù)據(jù)較集中，從而得到乙比甲成績(jī)穩(wěn)定?！驹斀狻坑汕o葉圖知:所以由莖葉圖知甲的數(shù)據(jù)較分散,乙的數(shù)據(jù)較集中所以乙比甲成績(jī)穩(wěn)定故選:D【點(diǎn)睛】本題考查的是莖葉圖的知識(shí),較簡(jiǎn)單.4.設(shè),則的值為(）A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】先求出，然后即可求出【詳解】因?yàn)樗运怨蔬x：B【點(diǎn)睛】本題考查的是分段函數(shù)的知識(shí)，較簡(jiǎn)單。5.設(shè)表示平面，是兩條不同的直線，給出下列四個(gè)命題,其中正確命題的序號(hào)是（)①若，,則②若，，則③若,,則④若，，則A。①② B。②③ C.③④ D。①④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中直線與平面的相關(guān)定理逐一判斷即可【詳解】若，，則或,故①錯(cuò)誤若，，則，故②正確若，，則,故③正確若,，則可以相交、平行、異面，故④錯(cuò)誤故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是運(yùn)用空間中直線與平面的相關(guān)定理判斷命題的真假，較簡(jiǎn)單。6.某居民小區(qū)要建一個(gè)容積為，高為的無蓋長(zhǎng)方體蓄水池,已知該蓄水池的底面造價(jià)師每平方米元，當(dāng)最低造價(jià)為元時(shí)，則側(cè)面每平方米的造價(jià)為（)A。元 B。元 C。元 D.元【答案】C【解析】【分析】設(shè)長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)為，寬為，側(cè)面每平方米的造價(jià)為元,則可得到，然后該容器的造價(jià)為：，用基本不等式求出最小值，然后即可解出【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)為,寬為，側(cè)面每平方米的造價(jià)為元?jiǎng)t，即則該容器的造價(jià)為：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值所以,解得故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是利用基本不等式求解實(shí)際問題中的最值問題,較簡(jiǎn)單。7.已知,，則(）A. B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】由條件先算出,然后再求出即可【詳解】因?yàn)?，所以即，即，所以所以因?yàn)椋运运怨蔬x：A【點(diǎn)睛】要熟悉與的關(guān)系，即.8.已知向量，,則向量在向量方向上的投影為(）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】先算出和的坐標(biāo),然后即可求出答案.【詳解】因?yàn)椋运韵蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队盀楣蔬x：C【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)形式下向量的相關(guān)計(jì)算，較簡(jiǎn)單。9.函數(shù)的圖象大致是（）A B。C。 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可排除選項(xiàng)，再根據(jù)函數(shù)值的情況排除,得到答案.【詳解】由,即函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，可排除選項(xiàng).又當(dāng)時(shí)，，可排除。故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)表達(dá)式選擇圖像,這類題主要從函數(shù)的定義域、值域、對(duì)稱性（奇偶性）、單調(diào)性、特殊點(diǎn)處的函數(shù)值等方面著手分析，屬于中檔題.10.《烏鴉喝水》是《伊索寓言》中一個(gè)寓言故事，通過講述已知烏鴉喝水的故事,告訴人們遇到困難要運(yùn)用智慧，認(rèn)真思考才能讓問題迎刃而解的道理，如圖所示,烏鴉想喝水,發(fā)現(xiàn)有一個(gè)錐形瓶，上面部分是圓柱體,下面部分是圓臺(tái)，瓶口直徑為厘米，瓶底直徑為厘米，瓶口距瓶頸為厘米，瓶頸到水位線距離和水位線到瓶底距離均為厘米，現(xiàn)將顆石子投入瓶中,發(fā)現(xiàn)水位線上移厘米，若只有當(dāng)水位線到達(dá)瓶口時(shí)烏鴉才能喝到水,則烏鴉共需要投入的石子數(shù)量至少是(）A。顆 B.顆 C。顆 D。顆【答案】C【解析】【分析】利用圖形中的數(shù)據(jù),分別算出石子的體積和空瓶的體積即可?！驹斀狻咳鐖D,所以，原水位線直徑，投入石子后，水位線直徑則由圓臺(tái)的體積公式可得石子的體積為：空瓶的體積為：所以需要石子的個(gè)數(shù)為:所以至少需要4顆石子故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是圓臺(tái)和圓柱體積的算法,掌握其公式是解題的關(guān)鍵.11.已知函數(shù)，對(duì)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A。 B。 C。 D。【答案】D【解析】【分析】由得，然后利用導(dǎo)數(shù)求出右邊的最小值即可。【詳解】由得令,則令，則所以在上單調(diào)遞增所以，所以所以在上單調(diào)遞增所以，所以故選：D【點(diǎn)睛】恒成立問題或者存在性問題，首選的方法是分離變量法,通過分離變量然后轉(zhuǎn)化為最值問題.12。已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，又當(dāng)時(shí)，恒成立，則使得成立的正整數(shù)的最小值為（）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】由得，兩式相減得，即，然后得,然后得，然后，然后解出不等式即可。【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，兩式相減得：所以所以是等差數(shù)列因?yàn)?所以所以所以所以所以解得或（舍）所以正整數(shù)的最小值為5故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：數(shù)列與的關(guān)系，累加法求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和，屬于比較綜合的題。二?填空題(每題5分，滿分20分,將答案填在答題紙上)13。已知數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，通過計(jì)算,可以猜想__________。【答案】【解析】【分析】由算出即可猜想出答案【詳解】因?yàn)樗?，，所以猜想故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與的關(guān)系，較簡(jiǎn)單。14.已知圓,過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，,切點(diǎn)分別為，則直線的方程為__________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥吭O(shè)，則切線的方程為：,由P點(diǎn)在直線上，得，同理可得，然后即可得出答案.【詳解】設(shè)，則切線的方程為：因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以切線的方程為：同理，切線的方程為：所以直線的方程為:故答案為：【點(diǎn)睛】過圓外一點(diǎn)作圓：的切線方程為：15.下列五個(gè)命題：(1）的否定是;(2）函數(shù)的圖象可以由的圖象向左平移個(gè)單位而得到;(3)若,則與的夾角為鈍角；（4）若,則函數(shù)的最小值為；（5）是的充分不必要條件;其中正確命題的序號(hào)是（只填序號(hào)）__________.【答案】（1)（2）(5）【解析】【分析】利用相關(guān)知識(shí)逐一判斷即可?！驹斀狻扛鶕?jù)全稱命題的否定是特稱命題知（1)正確函數(shù)的圖象可以由的圖象向左平移個(gè)單位而得到；故（2)正確若，則與的夾角為鈍角或，故(3）錯(cuò)誤，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故（4）錯(cuò)誤是充分不必要條件，故(5）正確故答案為：（1）（2)（5）【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：全稱命題的否定，三角函數(shù)圖象的平移變換,向量的數(shù)量積，基本不等式及充分不必要條件的判斷，屬于綜合題。16。已知函數(shù)（，,是常數(shù))的圖象的一條對(duì)稱軸方程為,與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為，則函數(shù)的單調(diào)區(qū)間遞減區(qū)間為__________.【答案】【解析】【分析】由條件可得出，然后即可得到，由圖象過點(diǎn)可得，然后解出不等式即可【詳解】因?yàn)閳D象的一條對(duì)稱軸方程為，與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為所以，所以，即，所以所以因?yàn)閳D象過點(diǎn)，所以所以所以由得所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間遞減區(qū)間為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，較為綜合.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17.已知數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求證：是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）證明見解析，.（2）【解析】【分析】（1）由得，兩式相減得，然后即可證明是等比數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式，（2),然后即可算出.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以因?yàn)棰?②，②—①得得所以所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以所以（2）所以【點(diǎn)睛】常見數(shù)列的求和方法：公式法（等差等比數(shù)列）、分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法.18。在某公司的一次招聘初試筆試中,隨機(jī)抽取了名應(yīng)聘者的成績(jī)(單位:分），并把所得數(shù)據(jù)列成了如下表所示的頻數(shù)分布表：組別頻數(shù)（1)求抽取的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（2)已知樣本中成績(jī)?cè)谥械拿忌?，有名男?名女生，現(xiàn)從中選人進(jìn)行談話,記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與期望.【答案】（1）.（2）分布列答案見解析,【解析】【分析】(1）由頻數(shù)分布表直接算出答案即可；（2）的可能取值為，然后求出對(duì)應(yīng)的概率即可.【詳解】（1）由頻數(shù)分布表，得樣本平均數(shù)為（2)由已知得的可能取值為，,所以的分布列為【點(diǎn)睛】本題考查的是離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，把每個(gè)概率算正確是解題的關(guān)鍵。19.在中,角的對(duì)邊分別為，且（1）求角；（2）若,求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）。（2)【解析】【分析】(1）由得，然后變形推出即可（2）由正弦定理，,然后利用求出范圍即可.【詳解】（1）由,由正弦定理得，所以因?yàn)樗砸驗(yàn)樗运运裕?)由正弦定理,所以，所因?yàn)樗运运运浴军c(diǎn)睛】本題考查的是利用正弦定理進(jìn)行邊角互化和利用三角函數(shù)求三角形周長(zhǎng)的范圍,屬于典型題.20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),,（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性;(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮?1）是上的增函數(shù).（2）【解析】【分析】（1）由是上的奇函數(shù)求出,,然后，即可判斷出其單調(diào)性（2)由得，然后得出即可【詳解】（1）因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)所以所以，所以所以又所以所以所以因?yàn)樗允巧系脑龊瘮?shù)(2)因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)且是奇函數(shù)，由所以所以即對(duì)任意恒成立只需，所以解之得，或所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】解抽象函數(shù)的不等式時(shí)，怎么利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將去掉是解題的關(guān)鍵.21.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2)為上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，,過分別作的兩條切線，相交于點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】（1)軌跡為拋物線，其方程為.（2)【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)條件列出方程，然后化簡(jiǎn)即可;（2）設(shè)直線的方程為,，聯(lián)立直線與拋物線的方程得出，然后用表示出和點(diǎn)到直線的距離，然后可得到,即可求出其最小值。【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到定直線的距離比到點(diǎn)的距離大所以，且,化簡(jiǎn)得所以軌跡為拋物線,其方程為（2）依題意，設(shè)直線的方程為由，得因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)所以設(shè)，又因?yàn)樗运运运运杂蛇^點(diǎn)的切線方程為，即①過點(diǎn)的切線方程為，即②由①②得，，所以過的兩條拋物線的切線相交于點(diǎn)所以點(diǎn)到直線的距離當(dāng)時(shí)，的面積最小，最小值為【點(diǎn)睛】涉及拋物線弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.22。已知函數(shù)（1）若在時(shí)取得極小值，求的解析式；（2）當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?！敬鸢浮浚?）。（2）一個(gè)零點(diǎn)【解析】【分析】（1）由解出，