概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第2版 課件 3.3 隨機變量的獨立性

一、獨立性的定義§3.3隨機變量的獨立性定義1

設(shè)F(x1,x2,···,xn)為n維隨機變量(X1,X2,···,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù),F

(xi)

為

Xi的邊緣分布函數(shù).若對任意n個實數(shù)第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性x1,x2,···,xn都有則稱隨機變量X1,X2,···,Xn相互獨立.注1)

根據(jù)事件相互獨立的定義及分布函數(shù)的性質(zhì)可知，X1,···,Xn相互獨立當(dāng)且僅當(dāng)對任意實數(shù)x1,···,xn,事件{X1<x1},···,{Xn<xn}相互獨立.

2)對于二維隨機變量(X,Y)，X與

Y相互獨立等價于F(x,y)=FX(x)FY(y)，還等價于對于任意x,y∈R，隨機事件{X<x}與{Y<y}相互獨立.從而,隨機變量X,Y所確定的任何隨機事件都相互獨立.第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性二、離散型隨機變量的獨立性定理1

設(shè)離散型隨機變量(X,Y)的取值為(xi,yi),i,j≥1,第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性則X與Y相互對立，當(dāng)且僅當(dāng)注該定理表明，對于兩個離散型隨機變量而言，其相互獨立的充分必要條件是聯(lián)合分布律等于邊緣分布律的乘積.這一結(jié)果對n維離散型隨機變量仍然成立.證*

若對任意i,j≥1，有第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性則對任意(x,y)∈R，有即X與Y獨立.反之，若X與Y獨立，則第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性而故而第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性同理，故第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性例1

(見教材P99)設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，其中X和Y

的取值都是0和1.已知P{X=0,Y=1}=0.4，P{X=1,Y=1)}=0.1，并且隨機事件{X=0}與{X+Y=1}相互獨立，試求P{X=0,Y=1}以及P{X=1,Y=0}.解0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5.第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性設(shè)P{X=0,Y=1}=a，P{X=1,Y=0}=b.又由于隨機事件{X=a}與

{X+Y=1}

相互獨立.根據(jù)題意可知第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性另一方面因此，(0.4+a)(a+b)=a

且

a+b=0.5.解得a=0.4,b=0.1.一方面例2

(見教材P99)設(shè)一部手機在[0,t]內(nèi)收到的短信數(shù)Y服從泊松分布P(λ).每個短信是否是廣告短信與其到達時間獨立,也與其它短信是否是廣告短信獨立.假設(shè)每個收到的短信是廣告短信的概率為p，證明[0,t]內(nèi)收到的廣告短信數(shù)X與非廣告短信數(shù)Z相互獨立.證顯然Y=n的條件下X的條件分布為二項分布，故第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性即X～P(λp),同理可證Z～P(λ(1?p)).因此，X與Z獨立.三、連續(xù)型隨機變量的獨立性定理2

設(shè)fX(x),fY(y)分別是連續(xù)隨機變量X和Y的邊緣密度函數(shù)，

第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性注對于兩個連續(xù)型隨機變量而言，其相互獨立的充分必要條件是聯(lián)合密度函數(shù)等于邊緣密度函數(shù)的乘積.此外，在本定理中,f(x,y)=fX(x)fY(y)成立是指其在除一個面積為零的集合外成立.則X與Y獨立，當(dāng)且僅當(dāng)(X,Y)的聯(lián)合密度滿足如下條件第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性證*若f(x,y)=fX(x)fY(y)，則(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

故X與Y獨立.反之，若X與Y獨立，對于任意x,y∈R，則有因此例3

(見教材P100)設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為解第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性問隨機變量X和Y

是否獨立.當(dāng)0<x<1

時，即第三章

多維隨機變量及其分布§3.3隨機變量的獨立性當(dāng)0<y<1

時,

即顯然

f(x,y)≠fX(x)fY

(y),故X與Y

不獨立.例4

(見教材P100)兩人在某天8

點至9

點間獨立等可能地到達某地會面,先到者等候20分鐘后離去.求這兩個人能相