數(shù)學(xué)新高考-2023函數(shù)之函數(shù)求函數(shù)的解析式（解析版）

2023函數(shù)專題之函數(shù)求函數(shù)的解析式

一、【方法總結(jié)】

函數(shù)的解析式是函數(shù)函數(shù)三要素中對(duì)應(yīng)關(guān)系的具體表現(xiàn)形式之一，如我們提到一次函數(shù)，

二次函數(shù)，腦海里馬上回反應(yīng)出它們的解析式分別是/(X)=丘+僅％HO),

fM=ax2+bx+c(a^Q),當(dāng)然還有后來(lái)我們學(xué)習(xí)過(guò)的幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角

函數(shù)等函數(shù)，也可以寫出它們的解析式，但在實(shí)際的學(xué)習(xí)過(guò)程中，會(huì)遇到各種知道或不知道函

數(shù)類型的情況，我們要如何應(yīng)對(duì)才能搞定這些函數(shù)的解析式呢？

接下來(lái)，我們來(lái)總結(jié)一下，求函數(shù)解析式的方法：

方法一：待定系數(shù)法，該種方法是要知道所求函數(shù)解析式的類型，就可以采用。具體函數(shù)

類型為：一次函數(shù)：f(x)=kx+b(k^O)

二次函數(shù)：/(x)=ax2+bx+c(a0)

鬲函數(shù)：=為常數(shù))

指數(shù)函數(shù)：/(幻=””(。〉0且。。1)

對(duì)數(shù)函數(shù)：/(x)=logflx(a>OKa^l)

三角函數(shù)：①正弦(型)函數(shù)/(x)=sinx；/(x)=4sin(6ir+0)

②余弦(型)函數(shù)/(x)=cosx；/(x)=Acos@r+°)

③正切(型)函數(shù)/(x)=tan無(wú)；

方法二：換元法，該種方法針對(duì)于已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的解析式的情況，但在求解的過(guò)程

要注意新元的取值范圍(在確定取值范圍的過(guò)程要用到求定義域和求值域的知識(shí))。

方法三：配湊法，該種方法針對(duì)于已知/[g(x)]=尸(x),可將/(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)

式，然后以x代替g(x),便得的解析式，在這個(gè)過(guò)程中要注意所求函數(shù)的定義域。

方法四：構(gòu)造法(或解函數(shù)方程法)，該種方法針對(duì)于已知關(guān)于/(x)與/(,)或/'(-X)的表

X

達(dá)式，可以根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另一個(gè)等式，通過(guò)借方程組求出了(X)。

二'【例題精講】

方法一：待定系數(shù)法

1、已知/(X)是二次函數(shù)，且/(O)=O,f(x+\)=f(x)+x+l,求/(x)的解析式.

1'解析：(待定系數(shù)法)設(shè)/(X)=ax2+hx+c(aH0),

由7(0)=0知c=0,所以/(工)=。/+打

又由y(x+i)=/o)+x+i,

得a(x+l)2+〃(x+l)=ax2+&v+x+l,

即ax2+(2a+b)x+a-^b=ax1+(/?+l)x+l,

2a+b=b+T解得〃=h=L

所以4

Q+〃=l2

1、1

所以/(X)=+1羽xeR

【跟進(jìn)訓(xùn)練】

已知/(x)是一次函數(shù)，且3f(x+l)—2f(x—l)=2x+17,則/(x)=.

解析：待定系數(shù)法.因?yàn)?(x)是一次函數(shù)，可設(shè)/(x)=&x+0供工0),

所以3伙(x+D+/—2伙(x—1)+勿=2x+17,

即上尢+(5々+〃)=2工+17,

'k=2[k=2

所以《，=>\,

5。+/?=17[h=l

所以f(x)的解析式是/(%)=2x4-7.

方法二：換元法

2

2、已知/(—+l)=lgx,求/(x)的解析式.

x

22

2\解析：(換兀法)令t=—F1,得了=---

因?yàn)檗?gt;0,所以/>1................................(這個(gè)過(guò)程包含了求函數(shù)定義域值域的過(guò)程)

2

代入原函數(shù)中解得/(r)=lg—.

2

故/*)的解析式是/(X)=lg——，XG(1,+OO)

x-\

【跟進(jìn)訓(xùn)練】

已知/(l-sinx)=cos2_r,則/(尢)=.

解析：換元法.設(shè)/=1-sinx,i￡[0,2],

則sinx=l-f,因?yàn)?(1-sinx)=cos2x=1-sin2x,

所以=1——f)2=2z—產(chǎn)，re[0,2].

即/(九)=2X一/。￡[0,2])。

方法三：配湊法

3、已知/(五+1)=工一2五，求/(x)的解析式.

3\解析：(配湊法)/+1)=x++1—4A/^—4+3=—4(V^+1)+3

因?yàn)槲?1N1,所以/(x)=%2—4X+3(XN1).

【跟進(jìn)訓(xùn)練】

已知/(X)=X，H29則/(X)—.

XX

解析：配湊法./(X+-)=X2+4=(^+-)2-2,所以/'(工)=/—2(國(guó)22)

XXX

方法四：構(gòu)造法(或解函數(shù)方程法)

(4)已知函數(shù)/(x)滿足/(-x)+2/(x)=2)求f(x)的解析式.

4、解析：(解方程組法)由f(-x)+2f(x)=2x,①

得f(x)+2f(-x)=2T②

Q.r+1o~x

①X2—②，得3/。)=2門|一2一、，即/(x)=一—

,r+l_Q-X

故f(x)的解析式是/(x)=-1—,XGR.

【跟進(jìn)訓(xùn)練】

已知/(X)滿足=2x,則/(x)=.

X

解析：因?yàn)?(?—2/d)=2x,①

X

112

以上代替①中的小得/(與—2/(尤)=*,②

XXX

4

①+②X2得一3/(元)=2XH—,

x

所以/(元)=_2寸x_不4.

三、【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

2

1、(2021江西南昌)已知函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)，且xG(0,+8)時(shí)，有/(/(%)+-)=-1,

x

則/()=()

A.-4B.-3C.-1D.0

2

1、解析：由題得，設(shè)，=/(x)+*,f是一個(gè)正數(shù)，

X

27

因?yàn)?(/(幻+—)=/。)=一1，所以/(/)=，一一=T,解得f=l,所以/。)=-1.故

xt

選C.

2、已知函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對(duì)任意xeR,都有f(/(x)-3x)=4,則了(2)

的值是()

A.4B.8C.10D.12

2、解析：根據(jù)題意，f(x)是單調(diào)函數(shù)，且/(/(x)-3x)=4,則/(x)-3x為定值.設(shè)

f(x)-3x=t,f為常數(shù)，則/(x)=3x+r且fit)=4,即有3t+t=4,得1=1,則f(x)=3x+l,

故/(2)=10.故選C.

3、(2020西湖區(qū)汜知函數(shù)/(x)滿足3/(x-l)+2/(l-x)=2x,則f(x)的解析式為()

3?

A./(x)=2xB./(x)=x+1C./(x)=x+-D./(x)=2x+-

45

3、解析：令r=x—1,得3/Q)+2/(T)=2Q+l),①

將f用T代替,可得3/(T)+2/?)=2(T+l),②

聯(lián)立①②可得/(7)=2/+1,所以/(x)=2x+[,故選D.

4.已知/(4+1)=兀一2爪，則/(x)=.

4、解析：(換元法)令1=6+1,則X=(/-1)2QN1),

代入原式有f(t)=(t-1)2-2(r-1)=z2-4r+3,

所以f(x)=x2-4x+3(x>1).

5、已知/(J7+1)=X+24,則/(尢)=.

5\解析：令r=+1,則％=(z—I)?。之1),

代入原式得f(t)=Q—1)2+2?_1)=產(chǎn)_1

所以/(%)=/—1Q21)

11

6、已知f(X--)=X0-\--y,則f(X)—

X廠

6、解析：/(X--)=X2+-4=(X--)2+2,所以〃幻=/+2

XXX

已知函數(shù)/'(x)的定義域?yàn)?0,+8),且/(x)=2/d)五一1,則f(x)=—

7、?

X

7、解析：消去法.在f(x)=2/d)?五一1中，將X換成L則1換成X,

xXX

得了山=

xX

由，解得/(x)=g6+g

1