2020秋：一元二次方程根的判別式課件

2.3一元二次方程根的判別式數(shù)學湘教版九年級上用配方法解一元二次方程1.定義：含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：3.解法：ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次方程的解法適用的方程類型直接開平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0（p2-4q≥0）（x+m）2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）（x+m）

（x+n）＝0用公式法求出下列方程的解：(1)2x2+x-6＝0； (2)3x2-12x+12＝0； (3)2x2-6x+5＝0．

解：b2-4ac=-4，∵b2-4ac=-4<0∴原方程無實數(shù)解.我們在運用公式法求解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)時，只有b2-4ac≥0原方程才有解.

由于a≠0，所以4a2＞0，因此我們不難發(fā)現(xiàn)：

b2-4ac的正負決定了方程的個數(shù).

一元二次方程ax2+bx+c＝0根的情況可由b2-4ac來判定，我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判別式，通常用“△”來表示，即△=b2-4ac.一元二次方程根的判別式根的判別式作用：①判斷方程根的情況；②由根的情況確定方程中系數(shù)的取值范圍.一元二次方程根的判別式

【例1】不解方程，判別下列方程根的情況：

（1）3x2+4x-3=0；

（2）4x2=12x-9；

分析：要判斷上述方程根的情況，就必須算出“△”，確定它的符號即可．解：∵△=b2-4ac=42-4×3×（-3）=16+36=52＞0，

∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根.解：將原方程化為一般形式，得4x2-12x+9=0.∵△=（-12）2-4×4×9=144-144=0，∴原方程有兩個相等的實數(shù)根.

要先將方程化為一般形式，才能確定a，b，c的值.【例1】不解方程，判別下列方程根的情況：

（3）7y=5（y2+1）．解：將原方程化為一般形式，得5y2-7y+5=0.∵△=（-7）2-4×5×5=49-100=-51＜0，∴原方程沒有實數(shù)根.【例2】當k取什么值時，關于x的方程

2x2-（4k+1）x+2k2=1，（1）有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）有兩個相等實數(shù)根；

（3）方程沒有實數(shù)根．分析：先將原方程化為一般形式，再計算判別式的值，后根據(jù)根的情況確定△的符號.

【例2】當k取什么值時，關于x的方程

2x2-（4k+1）x+2k2=1，（2）有兩個相等實數(shù)根；

（3）方程沒有實數(shù)根．

1．一元二次方程根的判別式與根的情況的關系為：（1）△＞0有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△＝0有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0沒有實數(shù)根．2．先把已知一元二次方程化為一般形式，為應用判別式創(chuàng)造條件．一元二次方程的根與判別式 【例3】設關于x的方程：x2-2mx-2m-4=0，證明:不論m為何值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根.解：∵△=4m2-4（-2m-4）=4m2+8m+16=4（m2+2m+1）+12=4（m+1）2+12>0∴不論m為何值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根

2.下列一元一次方程中，有實數(shù)根的是( )A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0 D.x2+4=01.一元二次方程x2+4x+12=0的根的情況是( )A.有一個實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根DC3.已知關于x的一元二次方程x2+2x+k=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A.k≤1B.k≥1C.k<1D.k>1A

4、對關于x的方程x2+6x+m=0回答下列問題．（1）m取什么值時，使方程有兩個相等的實數(shù)根？（2）m取什么值時，方程有兩個不等的實數(shù)根？（3）m取什么值時，方程有無實數(shù)根？解：這里a=1，b=6，c=m，∴△=b2-4ac=62-4×1×m=36-m，（1）方程有兩個相等的實根，即△=36-m=0，即m=36；（2）方程有兩個不相等的實根，即△=36-m>0，即m<36；（3）方程無實根，即△=36-m<0，即m>36； 5.已知：a、b、c是△ABC的三邊的長，且關于x的方程（a+c）x2+2bx+a-c=0有兩個相等的實數(shù)根.求證：△ABC是直角三角形.分析：先計算方程判別式的值，再根據(jù)△=0確定a、b、c的關系.證：△=（2b）2-4（a+c）（a-c）=4b2-4a2+4c2.∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴△=0，∴4b2-4a2+4c2=0，∴b2+c2=a2，∴△ABC是直角三角形. 6