【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)論文：函數(shù)極值求法及其應(yīng)用6700字】

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)論文：函數(shù)極值求法及其應(yīng)用TOC\o"1-2"\h\u7411引言 1199901回顧一元函數(shù)極值 113881.1一元函數(shù)極值的定義 1111622.2函數(shù)極值的求法 538902.3條件極值的求法 6291682.4條件極值 12126283多元函數(shù)極值的應(yīng)用 14193923.1用多元極值的方法證明不等式 1511213.2函數(shù)極值的幾何應(yīng)用 16199013.3函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用 17摘要：函數(shù)極值是函數(shù)性態(tài)的一個(gè)重要特征,在信息科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活應(yīng)用中占有重要的地位,是推動(dòng)微積分發(fā)展的強(qiáng)勁動(dòng)力之一.條件極值問(wèn)題在最優(yōu)化理論中應(yīng)用較為廣泛.本文以求多元函數(shù)極值的多種方法為切入點(diǎn),進(jìn)一步研究其在各個(gè)方面涉及的應(yīng)用,其中將拉格朗日乘數(shù)法及其應(yīng)用作重點(diǎn)闡述.關(guān)鍵詞:極值；多元函數(shù)；條件極值；極值應(yīng)用函數(shù)極值研究引言:理學(xué)中多元函數(shù)的極值理論建立在一元函數(shù)極值理論的基礎(chǔ)上,多元函數(shù)具有和一元函數(shù)的一般性質(zhì)和特性,但從不同方面來(lái)看兩者又是有區(qū)別的,主要原因來(lái)自于自變量的增加.解決多元函數(shù)極值問(wèn)題的理論系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間的探索中逐漸得到完善,但就一元函數(shù)而言,相對(duì)來(lái)說(shuō)多元函數(shù)極值問(wèn)題的研究還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,所以面向多元函數(shù)的應(yīng)用研究顯得很有必要.1回顧一元函數(shù)極值一元函數(shù)極值理論是在先學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)上,由單調(diào)性推導(dǎo)出極值概念,并建構(gòu)其一元函數(shù)的極值判別方法.值得注意的是,函數(shù)極值只在某個(gè)范圍內(nèi)起作用,極值點(diǎn)是通過(guò)與領(lǐng)近的函數(shù)值進(jìn)行比較而得出的.1.1一元函數(shù)極值的定義定義1：某函數(shù),及其鄰近范圍在其定義域內(nèi),在該范圍內(nèi),總是存在:,那么我們就說(shuō)為函數(shù)的極大值,是該范圍的極大值點(diǎn),相反,如果總存在,那么我們就說(shuō)為函數(shù)的極小值,是該范圍內(nèi)的極小值點(diǎn),函數(shù)的極值包含極大和極小兩個(gè)概念,分別對(duì)應(yīng)的點(diǎn)成為極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)[[]單孟丹.論函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用[J].農(nóng)家參謀].[]單孟丹.論函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用[J].農(nóng)家參謀1.1.1一元函數(shù)極值的求法及簡(jiǎn)單應(yīng)用一元函數(shù)極值是數(shù)理中最常見(jiàn)的求極值的問(wèn)題,是函數(shù)極值中最簡(jiǎn)單的一類(lèi)問(wèn)題,但這是學(xué)習(xí)多元函數(shù)極值的基礎(chǔ),若要掌握函數(shù)極值理論必須從了解函數(shù)的單調(diào)性開(kāi)始.1.1.2函數(shù)極值的必要條件:設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),且在點(diǎn)取得極值,則有.證明設(shè)是極大值.根據(jù)極大值的定義,存在的某個(gè)領(lǐng)域,在此鄰域內(nèi)除外,均有成立.當(dāng)時(shí),因此有；當(dāng)時(shí),,因此有從而得到.使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)（即方程的實(shí)根）叫做函數(shù)的駐點(diǎn).當(dāng)一個(gè)在某一范圍內(nèi)可導(dǎo),極值點(diǎn)可能得不到是駐點(diǎn)，即滿足充分不必要條件.舉個(gè)例子,的導(dǎo)數(shù),這個(gè)函數(shù)在處取得駐點(diǎn),但非極值點(diǎn).1.1.3一元函數(shù)極值的第一充分條件在點(diǎn),在某一個(gè)鄰域內(nèi)可以求得導(dǎo)數(shù)值（1）若當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則在點(diǎn)取得極小值.（2）若當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則在點(diǎn)取得極大值[10].例1求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值.解:對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：,令得.,,,.于是在處取得最大值,在處取得最小值-10.1.1.4一元函數(shù)極值的第二充分條件設(shè)某函數(shù)在的鄰域內(nèi)可求得一階可導(dǎo),在處可求的二階導(dǎo)數(shù),且,.（1）若,則在取得極大值.（2）若,則在取得極小值[10].這里有一點(diǎn)需要說(shuō)明,如果且,或者但沒(méi)有的情況下,這時(shí)需要采用一元函數(shù)極值的第一充分條件,因?yàn)樵谶@種情況下第二充分條件沒(méi)有作用.例2:求函數(shù)的極值.解,.令,即,或,在上有四個(gè)駐點(diǎn):而所以極大值點(diǎn),；極小值點(diǎn)為,.它們對(duì)應(yīng)極值為:極大值,;極小值,.設(shè)在的某鄰域內(nèi)存在直到階導(dǎo)函數(shù),在處階可導(dǎo),且1.1.5一元函數(shù)極值的第三充分條件設(shè)在的某鄰域內(nèi)存在直到階導(dǎo)函數(shù),在處階可導(dǎo),且當(dāng)為能夠整除的數(shù)時(shí),在極值,且取得有極大值,取得有極小值.當(dāng)為不能整除的數(shù)時(shí),在處不取極值[2].2多元函數(shù)極值對(duì)于多元函數(shù)條件極值問(wèn)題的理解,可以解釋為給予函數(shù)一些限制條件來(lái)求極值.這部分內(nèi)容在微分學(xué)中有著重要地位,在學(xué)習(xí)高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析課程時(shí),都將其列為需要解決的難點(diǎn).一般情況下,二元函數(shù)極值的得出利用求偏導(dǎo)的途徑,若以二元函數(shù)為基準(zhǔn)點(diǎn)增加自變量個(gè)數(shù)和附加條件得限制,采用求偏導(dǎo)的方法就難以實(shí)現(xiàn)最終解,這就使極值問(wèn)題變得更加棘手、更加復(fù)雜.譬如,理解多元函數(shù)條件極值存在的充分不要條件、發(fā)現(xiàn)某些求極值方法中出現(xiàn)的陷阱問(wèn)題、穩(wěn)定點(diǎn)求解過(guò)程中的復(fù)雜計(jì)算以及拉格朗日乘數(shù)法中變量的不解等等.從各個(gè)方面來(lái)限制學(xué)生得出正確的解答,不利于學(xué)生提升自身的發(fā)散思維.尤其是在得到穩(wěn)定點(diǎn)的解后,該點(diǎn)到底是不是極值點(diǎn)的判斷是一大問(wèn)題,當(dāng)穩(wěn)定點(diǎn)不止一個(gè)的時(shí)候,問(wèn)題的難度再一次上升.所以盡可能多的得出多元函數(shù)條件極值的解決方法,學(xué)生可以根據(jù)問(wèn)題自由的選擇解決方案,提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確率,達(dá)到事半功倍的顯著效果.2.1多元函數(shù)極值定義定義2:若像這樣的一個(gè)函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域在其定義域內(nèi)能取得值,且對(duì)于所有的,(或都成立,那么我們就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)處取得極大(或極小)值,點(diǎn)是函數(shù)的極大(或極小)值點(diǎn),這里需要關(guān)注的是,滿足極值點(diǎn)的要求是：滿足的點(diǎn)要在函數(shù)的定義域范圍內(nèi)[14].2.2函數(shù)極值的求法2.2.1無(wú)條件函數(shù)極值求法定理1（判斷多元函數(shù)極值存在的必要條件）假如一個(gè)未知函數(shù)在某點(diǎn)處可以求出偏導(dǎo)數(shù),并且這個(gè)函數(shù)在點(diǎn)處能找到極值,那么函數(shù)在點(diǎn)處可以得出偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果為零,即:,滿足條件的偏導(dǎo)數(shù),的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn),值得注意的是,極值點(diǎn)是是駐點(diǎn)的充分而非不要條件[5].定理2（判斷多元函數(shù)存在極值的充分條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)不間斷且有一階與二階相對(duì)應(yīng)連續(xù)還能求出偏導(dǎo)數(shù)[[]牛艷秋.求解多元函數(shù)極值與條件極值的探討[J].黑龍江科學(xué),2018（18）.][]牛艷秋.求解多元函數(shù)極值與條件極值的探討[J].黑龍江科學(xué),2018（18）..一、一、當(dāng)時(shí),函數(shù)在處有極值存在,并且(或)時(shí)存在極小值;(或)時(shí)存在極大值;二、當(dāng)時(shí),函數(shù)在處不存在極值;三、當(dāng)時(shí),函數(shù)在處不確定是否存在極值.即步驟可以歸納為:求一階偏導(dǎo),得出的所有駐點(diǎn).求二階偏導(dǎo)數(shù),方法是將求得的駐點(diǎn)值放到二階偏導(dǎo)數(shù)中求出二階.以極值判定定理判定方法為原則來(lái)判斷極值是否存在,在極值存在的前提下,再對(duì)極值進(jìn)行判斷是極大值還是極小值.例3求函數(shù)的極值.解:令解得駐點(diǎn)在點(diǎn)處而,所以為極小值.在點(diǎn)處而,所以為極值.在點(diǎn)處,此時(shí)是否為極值,還需要用概念來(lái)判斷.在點(diǎn)的無(wú)限小的鄰域內(nèi),沿,另一方面沿有,所以不是極值點(diǎn).2.3條件極值的求法2.3.1用均值不等式求函數(shù)極值許多重要的不等式在函數(shù)運(yùn)算中常常出現(xiàn),出現(xiàn)最頻繁的一種是均值不等式,這種方法也可以作為解決函數(shù)極值的方法,以下便是均值不等式的運(yùn)算遠(yuǎn)離：相當(dāng)于:當(dāng)中,,,,在求函數(shù)極值時(shí)需要遵循三點(diǎn),第一點(diǎn)是得出的結(jié)果要是正數(shù),第二點(diǎn)是所求的和和乘積都必須是一個(gè)定值,第三點(diǎn)是當(dāng)相等時(shí),結(jié)果要保證成立.例4知道求出最小值[7].解當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等式成立.故在處取得36，即36為最小值.2.3.2利用方向?qū)?shù)法判定多元函數(shù)的極值定義3:設(shè)的某個(gè)鄰域內(nèi)有點(diǎn),,若存在,,把這個(gè)極限命名為函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù),記作[[]陳惠汝.多元函數(shù)極值求法探討[J].巢湖學(xué)院學(xué)報(bào),2010.第12卷6期.李乃華,安建業(yè).線性代數(shù)及其應(yīng)用[M]北京:高等教育出版社,2016,9陳宇.函數(shù)極值的求法及其在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇,2016.7.趙亞明,楊玉敏.多元函數(shù)極值的一種新方法[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2003,5（4）:7-9.邵劍.高等數(shù)學(xué)新生突破.多元函數(shù)微積分學(xué)[M].上海遠(yuǎn)東出版社,2019.劉美玲.拉格朗日乘數(shù)法在多元函數(shù)求極值中的應(yīng)用研究[J].文化創(chuàng)新比較研究,第25期.隋振璋.數(shù)學(xué)分析選講[M].北京:科學(xué)出版社.2014.8,王莉萍.關(guān)于一元和多元函數(shù)極值的統(tǒng)一性研究[J].焦作高等?？茙煼秾W(xué)校學(xué)報(bào),2007.12.[11]趙澤福.多元函數(shù)極值的應(yīng)用分析[J].長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2016.01.[]陳惠汝.多元函數(shù)極值求法探討[J].巢湖學(xué)院學(xué)報(bào),2010.第12卷6期.李乃華,安建業(yè).線性代數(shù)及其應(yīng)用[M]北京:高等教育出版社,2016,9陳宇.函數(shù)極值的求法及其在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇,2016.7.趙亞明,楊玉敏.多元函數(shù)極值的一種新方法[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2003,5（4）:7-9.邵劍.高等數(shù)學(xué)新生突破.多元函數(shù)微積分學(xué)[M].上海遠(yuǎn)東出版社,2019.劉美玲.拉格朗日乘數(shù)法在多元函數(shù)求極值中的應(yīng)用研究[J].文化創(chuàng)新比較研究,第25期.隋振璋.數(shù)學(xué)分析選講[M].北京:科學(xué)出版社.2014.8,王莉萍.關(guān)于一元和多元函數(shù)極值的統(tǒng)一性研究[J].焦作高等?？茙煼秾W(xué)校學(xué)報(bào),2007.12.[11]趙澤福.多元函數(shù)極值的應(yīng)用分析[J].長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2016.01.[12]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M]北京：高等教育出版社,2006.4.[13]趙賢淑.多元函數(shù)極值的求法及其應(yīng)用[J].西安礦院[14]荊慶林.基于求多元函數(shù)極值應(yīng)注意問(wèn)題的研究[J].吉林工程技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2013,29（04）：68-70.[15]王洪濤.函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用[J].山東廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2011.第2期.[16]薛聞.微積分里多元函數(shù)極值問(wèn)題探討[J].陜西國(guó)防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,中外企業(yè)家,2020.16.定理3:設(shè)在點(diǎn)的某定義域內(nèi)沒(méi)有間斷點(diǎn),在內(nèi)存在可微函數(shù),.用表示某個(gè)方向.有下列兩種情況：在在極值極大值極小值例5求解是否存在極值？如存在,求其極值大小[11].解經(jīng)計(jì)算得.從這里可以得出這個(gè)函數(shù)中點(diǎn)的不管哪個(gè)點(diǎn)的方向?qū)?shù)都為0,另由最終列出的的函數(shù)式可以得出,.由上可知,可以得出該函數(shù)存在著極小值,而且極小值為.2.3.3利用向量-內(nèi)積法求多元函數(shù)的極值定理4:設(shè)是的一個(gè)映射,為駐點(diǎn),是的一個(gè)鄰域,若在上沒(méi)有間斷點(diǎn),在內(nèi)能夠可微,所以有（1）當(dāng),有,則在點(diǎn)取得極大值；（2）當(dāng),有,則在點(diǎn)取得極小值；其中,,“·”表示中一般的內(nèi)積.另外,當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),在處存在極大值；當(dāng)時(shí),在處存在極小值[3]；例6判定函數(shù)極值解解得.判定所以在點(diǎn)處有：2.3.4利用二次型求多元函數(shù)極值在數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)中,常常使用數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)經(jīng)濟(jì)進(jìn)行分析,就需要研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)極值存在的要求.假如元函數(shù)在點(diǎn)的某定義域內(nèi)連續(xù),且有階偏導(dǎo)數(shù),且是不間斷的.若點(diǎn)是的駐點(diǎn),即記（稱之為在點(diǎn)的黑塞矩陣,則當(dāng)是大于的矩陣時(shí),函數(shù)的極小值點(diǎn)是；當(dāng)是小于的矩陣時(shí),函數(shù)的極大值點(diǎn)是.當(dāng)是不定矩陣時(shí),不為函數(shù)的極值點(diǎn)[4].例7已知一壟斷企業(yè)生產(chǎn)三種相關(guān)產(chǎn)品,售價(jià)分別為銷(xiāo)售量分別為,其需要求函數(shù)及總和成本函數(shù)分別為求三種產(chǎn)品的供應(yīng)量為多少時(shí),可使壟斷商的總利潤(rùn)最大[4]？解設(shè)總利潤(rùn)函數(shù)為,則首先求的駐點(diǎn),令得方程組解的方程組得唯一解為計(jì)算R()的黑塞矩陣為因?yàn)樗允秦?fù)定矩陣,因而是的最大值點(diǎn).即當(dāng)時(shí),壟斷商的總利潤(rùn)最大.若函數(shù)在有界閉域連續(xù)且可微,則在上必須達(dá)到最大值或最小值.設(shè)（或）若是的內(nèi)點(diǎn),則是的極值點(diǎn),但可能發(fā)生.所以,要求出在里面的最大值和最小值,則需要求出在,之后與函數(shù)的這個(gè)邊界值相比較,就能夠清楚的知道函數(shù)在上的最值情況,可把最大值和最小值放到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行判斷它的實(shí)際意義.2.4條件極值無(wú)條件極值的情況是：有這樣的極值問(wèn)題,它是在函數(shù)范圍討論研究的，當(dāng)自變量在其定義域的范圍內(nèi)變化,不受任何其它附加條件的限制.條件極值則是在實(shí)際情境中,自變量受到某些附加因素的限制,在求解的過(guò)程中,將有約束條件轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件,拉格朗日乘數(shù)法以構(gòu)造適合的函數(shù)為渠道,它將條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易求解的無(wú)條件極值簡(jiǎn)單的問(wèn)題.2.4.1拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法名字的由來(lái)出自數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日,這種方法主要致力于解決變量受到某些附加條件影響時(shí),如何求出多元函數(shù)的極值.拉格朗日乘數(shù)法的本質(zhì)是問(wèn)題本來(lái)有個(gè)會(huì)變化變量附加個(gè)不同約束條件,利用該算法將問(wèn)題變成存在個(gè)變量的多個(gè)式子求解最好的結(jié)果問(wèn)題,轉(zhuǎn)化后的變量擺脫了附加的限制條件.將有限制條件的變量轉(zhuǎn)化為沒(méi)有限制條件的變量,是成功解決條件極值問(wèn)題的重要一步.以下是拉格朗日乘數(shù)法解決極值問(wèn)題的具體步驟：當(dāng)定義目標(biāo)函數(shù)為約束條件是時(shí),根據(jù)題意作一個(gè)輔助函數(shù),稱為拉格朗日乘數(shù);求分別對(duì)求偏導(dǎo),得出方程組：,然后解出函數(shù)駐點(diǎn)當(dāng)問(wèn)題確實(shí)存在最大和最小兩個(gè)極值時(shí),有卻只有一個(gè)駐點(diǎn),則表示可以求出最值.當(dāng)變量有條件限制時(shí),可以轉(zhuǎn)化為變量沒(méi)有限制的情況,然而有些條件關(guān)系并不簡(jiǎn)單,造成代換和運(yùn)算步驟繁瑣,對(duì)兩者進(jìn)行比較,“拉格朗日乘數(shù)法”之所以推薦度比較高,就是因?yàn)槠洳恍璐鷵Q,運(yùn)算容易得出結(jié)果一點(diǎn).例8求函數(shù)在條件下的極值.解：本題是條件極值問(wèn)題,用拉格朗日數(shù)乘法,設(shè)函數(shù)為.令解得:.故得駐點(diǎn)坐標(biāo)為：,又,.所以故是極小值點(diǎn),極小值[13].2.4.2應(yīng)用參數(shù)方程求解條件極值一般而言,不是所有的條件極值都可以化為無(wú)條件極值,有時(shí)也有其他方法可以采用.若在條件中求單值函數(shù)并不像下刀山火海那么困難時(shí),轉(zhuǎn)換為無(wú)條件極值是可以進(jìn)行;同樣的,要是在條件中解出的不是單值函數(shù),那么建議采用參數(shù)方程來(lái)進(jìn)行表示.例9求函數(shù)在約束條件下的極大值和極小值[6].解先求函數(shù)在圓內(nèi)的可能極值點(diǎn),令,,解得,顯然為函數(shù)的最小值.再求圓上的的極值,設(shè),,則目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為,由,解得.比較,各值,得極大值為.3多元函數(shù)極值的應(yīng)用多元函數(shù)條件極值廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域,囊括不等式證明、生產(chǎn)銷(xiāo)售、經(jīng)濟(jì)管理、分析證券投資等領(lǐng)域,下面討論條件極值在各個(gè)方向上的應(yīng)用.3.1用多元極值的方法證明不等式問(wèn)題是這樣：證明,只要求函數(shù)的極值,證明即可例9設(shè)為任一常數(shù),試證：(當(dāng)時(shí)）[12]證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明(當(dāng)時(shí)）因,所以只要證明(當(dāng)時(shí)),或.令,得唯一穩(wěn)定點(diǎn).當(dāng).當(dāng)時(shí),.所以.（）從而,由得,,即：.例10設(shè)為滿足的正數(shù),試證明:[8]證明在這里選用用拉格朗日乘數(shù)法證明此不等式.它等價(jià)于求解多元函數(shù)在約束下的最小值問(wèn)題.令.由解得唯一駐點(diǎn),又由于函數(shù)在題設(shè)條件下有最小值,因此,是其最小值點(diǎn),所以3.2函數(shù)極值的幾何應(yīng)用例11要打造一個(gè)容量為的長(zhǎng)方體玻璃魚(yú)缸,上面開(kāi)口,當(dāng)玻璃魚(yú)缸的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)材料能夠用得最少[9]？解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為,寬為,高為,則問(wèn)題為求,使在條件下長(zhǎng)方體表面積最小.令,解方程組:解得唯一駐點(diǎn),.由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,因此當(dāng)高為,長(zhǎng)、寬為高的倍時(shí),所用材料最省.函數(shù)極值的幾何應(yīng)用,一般先分析要求解的問(wèn)題,建立目標(biāo)函數(shù),然后利用函數(shù)極值知識(shí)求解,最后得出結(jié)論.其中利用極值方法求解,減輕了我們的計(jì)算負(fù)擔(dān)和邏輯推算,在初等數(shù)學(xué)中求解相似問(wèn)題時(shí),常采用線性規(guī)劃或者帶值找最佳點(diǎn)(即駐點(diǎn))的初等方法,雖然可以求解,但計(jì)算繁瑣麻煩,而且還容易出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)果.相比之下,函數(shù)極值在幾何中的應(yīng)用使得這一類(lèi)問(wèn)題的求解變得簡(jiǎn)單.3.3函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用如今,經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展,競(jìng)爭(zhēng)日益激烈,要想在經(jīng)濟(jì)時(shí)代站穩(wěn)腳跟,就要研究如何才能讓自己以低成本獲得高收入,這便與最優(yōu)化有了聯(lián)系,換一種說(shuō)法就是要討論實(shí)際問(wèn)題的極值問(wèn)題.3.3.1庫(kù)存管理問(wèn)題庫(kù)存管理與經(jīng)濟(jì)生活緊密相連,存儲(chǔ)量得到很好的控制有利于經(jīng)濟(jì)的良好增長(zhǎng).當(dāng)庫(kù)存量超過(guò)實(shí)際需求較多時(shí)容易出現(xiàn)資金積壓和資源閑置的弊端,而庫(kù)存量不能夠滿足需要的時(shí)候,又會(huì)造成生產(chǎn)活動(dòng)無(wú)法正常運(yùn)行,嚴(yán)重時(shí)會(huì)失去良好的創(chuàng)收機(jī)會(huì).所以,在正常的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)得到保證的基礎(chǔ)上,合理的進(jìn)行庫(kù)存管理,有利于企業(yè)有關(guān)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)取得最大效益就顯得尤為重要.例12某工廠生產(chǎn)某種商品,某年銷(xiāo)售了1000萬(wàn)件,每批生產(chǎn)需增加生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)1萬(wàn)元,而每件庫(kù)存費(fèi)用為0.5萬(wàn)元,在年銷(xiāo)售量相同的前提下,則應(yīng)該分幾批生產(chǎn),才能使生產(chǎn)成本降到最低（生產(chǎn)成本=準(zhǔn)備費(fèi)+庫(kù)存費(fèi)）[1].解設(shè)商品可分批生產(chǎn),庫(kù)存費(fèi)和準(zhǔn)備費(fèi)總和為萬(wàn)元,則每批的生產(chǎn)量為.商品平均庫(kù)存量就為.所以我們知道則之后可以得到兩個(gè)駐點(diǎn)(舍去)由此可見(jiàn),這里有且只有一個(gè)駐點(diǎn),即最小值點(diǎn),這表明當(dāng)分50個(gè)批次生產(chǎn)時(shí)可達(dá)到生產(chǎn)成本最低.3.3.2成本最小化,利潤(rùn)最大化問(wèn)題數(shù)學(xué)中求極值的方法可以有效解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中兩大重要問(wèn)題,最小成本和最大利潤(rùn).例13某企業(yè)要利用報(bào)紙和電視二者中的一種對(duì)某商品進(jìn)行宣傳,該企業(yè)以往的經(jīng)驗(yàn)可知,這兩種方法可以收貨的利潤(rùn)關(guān)系如下：式中:——該企業(yè)利用電視宣傳的費(fèi)用支出；——該企業(yè)利用報(bào)紙宣傳的費(fèi)用支出；——企業(yè)商品銷(xiāo)售的總收入；以上單位均為萬(wàn)元.在支出與回報(bào)的關(guān)系的基礎(chǔ)上,尋找最好的廣告渠道,盡可能的讓企業(yè)的利潤(rùn)最大化[6].解:已知企業(yè)收益值=商品銷(xiāo)售值-廣告投入費(fèi)用,設(shè)企業(yè)的最大利潤(rùn)值為:求解參數(shù)方程的極值,并賦予極值的條件得:通過(guò)極值條件公式,可以得到駐點(diǎn)值為萬(wàn)元,萬(wàn)元.而由題意表示利潤(rùn)的函數(shù)的極點(diǎn)矩陣為:由此可得負(fù)定矩陣是該函數(shù)的駐點(diǎn)矩陣,也就是在駐點(diǎn)取得可得利潤(rùn)的最大值,即該企業(yè)在廣告上用最小的投入獲得最大的回報(bào),當(dāng)在電視投入萬(wàn)元的費(fèi)用,報(bào)紙廣告投入萬(wàn)元的費(fèi)用時(shí),可使利潤(rùn)最大化.企業(yè)站在自己的立場(chǎng)把利潤(rùn)最大看得尤其重要,利用函數(shù)的極值就可以有效地解決利潤(rùn)最大化的難題.以函數(shù)極值為依據(jù)進(jìn)行研究,企業(yè)可以盡可能的在支出與收入之間使利潤(rùn)最大化,除此之外,在支出一定的前提下,找出費(fèi)用支出的最優(yōu)方案,讓資金得到最充分的利用,最合理的配置資源,因此求解多元函數(shù)極值的研究與運(yùn)用就為解決這類(lèi)問(wèn)題提供了指導(dǎo)性理論和基本方法.3.3.3需求分析社會(huì)上,人的需求是源源不斷的,總體來(lái)說(shuō),對(duì)需求量造成影響的因素并不單一,相反存在多個(gè)影響因子,包括商品和消費(fèi)者兩方面的原因,商品自身的價(jià)格、其它商品的價(jià)格,消費(fèi)者的喜好、收入水平和對(duì)資金的分配等.當(dāng)把消費(fèi)者的勞動(dòng)收入普通