第十三章 軸對(duì)稱（能力提升）八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元過(guò)關(guān)測(cè)試定心卷（人教版）（解析版）

2022-2023學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元測(cè)試定心卷第十三章軸對(duì)稱（能力提升）時(shí)間：100分鐘總分：120分選擇題（每題3分，共24分）1．在如圖所示的三角形紙片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△AED的周長(zhǎng)是（）A．7 B．8 C．11 D．14【解析】解：由折疊的性質(zhì)可知，DC＝DE，BE＝BC＝6，∵AB＝8，∴AE＝AB﹣BE＝2，△AED的周長(zhǎng)為：AD+AE+DE＝AC+AE＝7，答：△AED的周長(zhǎng)為7．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的知識(shí)，掌握翻折變換的性質(zhì)、理解對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．如圖，將一張矩形紙片折疊，若，則的度數(shù)是（

）A．51° B．56° C．61° D．76°【解析】解：如圖由平行可知∠3=∠1=28°，由折疊可知∠4=∠2．∵∠3+∠4+∠2=180°，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算．3．已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（）．A．100° B．40° C．40°或100° D．40°或70°【解析】當(dāng)這個(gè)40°的角是頂角時(shí)，則這個(gè)等腰三角形的頂角為40°；當(dāng)這個(gè)40°的角是底角時(shí)，則頂角度數(shù)為：=100°；綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角為40°或100°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論，注意考慮問(wèn)題要全面，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的分類討論思想．4．如圖，在△ABC中，∠B＝74°，邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若AB＋BD＝BC，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．74° B．69° C．65° D．60°【解析】解：如圖，連接AD，∵邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．5．如圖，直線m，l相交于點(diǎn)O，P為這兩直線外一點(diǎn)，且OP＝1.3．若點(diǎn)P關(guān)于直線l，m的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】連接OP1，OP2，P1P2，如圖：∵點(diǎn)P關(guān)于直線l，m的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，∴OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，∵OP1＋OP2＞P1P2，∴0＜P1P2＜2.6，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊之間的關(guān)系，熟練掌握這兩個(gè)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，已知，，則點(diǎn)O是（

）A．三條邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)【解析】解：∵OA=OB，∴點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，∵OB=OC，∴點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上，∴點(diǎn)O為△ABC的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，，∠ABC和∠ACB的角平分線分別交ED于點(diǎn)F、G，若FG＝2，ED＝6，則DB+EC的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】解：∵，∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB，∵FB是∠ABC的平分線，CG是∠ACB的平分線，∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB，∴∠DFB=∠DBF，∠ECG=∠EGC，∴BD=DF，CE=GE，∵FG=2，ED=6，∴DB+EC=DF+GE=ED-FG=6-2=4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是等腰三角形的證明．8．如圖，∠BOC＝9°，點(diǎn)A在OB上，且OA＝1，按下列要求畫圖：以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)，得第1條線段；再以為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)，得第2條線段；再以為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)，得第3條線段；……；這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n的值為()A．9 B．21 C．35 D．100【解析】解：由題意可知：AO=A1A，A1A=A2A1,…；則∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…；∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=2∠BOC=18°，同理可得∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°，∠A4A3C=45°，∠A5A4B=54°，∠A6A5C=63°，∠A7A6B=72°，∠A8A7C=81°，∠A9A8B=90°，∴第10個(gè)三角形將有兩個(gè)底角等于90°，不符合三角形的內(nèi)角和定理，∴最多能畫9條線段；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等：三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；準(zhǔn)確地找到規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題（每題3分，共24分）9．若一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是20，一邊長(zhǎng)是4，則另一邊長(zhǎng)是______．【解析】解：若等腰三角形的腰為長(zhǎng)為4，設(shè)底邊長(zhǎng)為x，則有x+4×2=20，解得：x=12，此時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為4，4，12，∵4+4＜12，∴不可以組成三角形；若等腰三角形的底邊為4，設(shè)腰長(zhǎng)為x，則有2x+4=20，解得：x=8，∵4+8＞8，∴可以組成三角形；∴三角形的另一邊的長(zhǎng)分別為8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義和性質(zhì)，利用分類討論思想解題是關(guān)鍵．10．如圖，在△中，，，點(diǎn)在邊上，連接．若△為直角三角形，則的度數(shù)是____．【解析】∵在△ABC中，AB=

AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=(180°?∠BAC)÷2=30°，∵點(diǎn)D在BC邊上，△ABD為直角三角形，如圖1，當(dāng)∠BAD=90°時(shí)，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=∠BAC?∠BAD=120°-90°=30°

，∵∠C=30°，∴∠ADC=180°?(∠CAD+∠C)=120°，如圖2，當(dāng)∠ADB=90°時(shí)，則∠ADC=90°，綜上所述，∠ADC的度數(shù)是120°

或90°

，故答案為120°或90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用等腰三角形的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．11．如圖，在等邊△ABC內(nèi)，AD＝BE，BD＝CE，點(diǎn)D在BE上，若∠CBE＝15°，則∠CAD的度數(shù)為_(kāi)_________．【解析】解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC，，∵在△ABD和△BCE中，，∴，∴∠BAD=∠CBE＝15°，∴．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．12．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=140°，點(diǎn)D在BC上，△ABD和△AFD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∠FAC的平分線交BC于點(diǎn)G，連接FG當(dāng)∠BAD=________時(shí)，△DFG為等腰三角形．【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=140°，∴∠B=∠C=20°．∵△ABD和△AFD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=20°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=20°+20°=40°．①當(dāng)GD=GF時(shí)，∴∠GDF=∠GFD=40°．∵∠ADG=20°+θ，∴20°+40°+20°+θ+θ=180°，∴θ=50°；②當(dāng)DF=GF時(shí)，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=40°，∴∠FDG=∠FGD=70°．∴20°+70°+20°+2θ=180°，∴θ=35°；③當(dāng)DF=DG時(shí)，∴∠DFG=∠DGF=40°，∴∠GDF=100°，∴20°+100°+20°+2θ=180°，∴θ=20°．∴當(dāng)θ=20°，35°或50°時(shí)，△DFG為等腰三角形．故答案為：20°或35°或50°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形的全等是關(guān)鍵．13．若正多邊形的一個(gè)外角是，則這個(gè)多邊形對(duì)稱軸的條數(shù)是________．【解析】解：∵正多邊形的一個(gè)外角是，∴正多邊形的邊數(shù)為＝5，∴這個(gè)正多邊形是正五邊形，故其對(duì)稱軸有5條．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查的是正多邊形的外角和，掌握邊數(shù)×一個(gè)外角＝360°是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在中，，、、分別是邊、、上的點(diǎn)，，且，，，則邊的長(zhǎng)是______．【解析】解：∵，∴∠B=∠C，∵∠CDF+∠EDF+∠BDE=180°，∠CDF+∠C+∠CFD=180°，，∴∠BDE=∠CFD，在△EBD和△DCF中，∴△EBD≌△DCF（AAS），∴CD=BE=8，BD=CF=5，∴BC=BD+CD=5+8=13，故答案為：13．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，此題難度不大，解題的關(guān)鍵是能證明△EBD≌△DCF．15．如圖，在△ABC中，∠ABC的角平分線和∠ACB相鄰的外角平分線CD交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG=2，且GC=6，則BE長(zhǎng)為_(kāi)________．【解析】解：平分，BD平分∠ABC，，∠ABD=∠CBD，，，∠EDB=∠CBD，，∠ABD=∠EDB，，BE=DE，，，，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵．16．如圖，四邊形ABCD中，，，E、F分別是AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)是______．【解析】作C關(guān)于BA和AD的對(duì)稱點(diǎn)N，M，連接MN，交AD于E1，交AB于F1，則MN即為△CEF的周長(zhǎng)最小值．∵，，∴∠DCB=110°，由對(duì)稱可得：CF1=F1N，E1C=E1M，∴，∵，∴，∴，即當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)是40°，故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，涉及到平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)、等邊對(duì)等角等知識(shí)，根據(jù)已知得出的周長(zhǎng)最小時(shí)，E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．三、解答題（每題8分，共72分）17．如圖，兩條公路，相交于點(diǎn)，在內(nèi)部有兩個(gè)村莊，．為方便群眾接種新冠疫苗，該地決定在內(nèi)部再啟動(dòng)一個(gè)方艙式接種點(diǎn)，要求同時(shí)滿足：（1）到兩條公路，的距離相等．（2）到兩村莊，的距離相等．請(qǐng)你用直尺和圓規(guī)作出接種點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡）．【解析】如圖，作線段CD的垂直平分線MN，作∠AOB的角平分線OF，OF交MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—作線段垂直平分線，作圖—作角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線、角平分線的性質(zhì)并知道如何正確的作圖．18．如圖，，的垂直平分線交于，交于．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，的周長(zhǎng)17，求的周長(zhǎng)．【解析】（1）∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠A＝40，∴∠ABC＝∠C＝×（180?40）＝70，∵DE所在的直線是AB的垂直平分線∴△ABD是等腰三角形，∴∠ABD＝∠A＝40，∴∠DBC＝∠ABC?∠ABD＝70?40＝30；（2）∵△ABD是等腰三角形∴AD＝BD，∵C△CBD＝BC＋CD＋BD＝17，∴BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝17，∵AE＝5∴AB＝2AE＝10，∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝10＋17＝27．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，相對(duì)比較簡(jiǎn)單，屬于基礎(chǔ)題．19．如圖，OP是∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C，D．(1)求證：OC＝OD；(2)求證：OP是CD的垂直平分線．【解析】(1)證明：∵P是∠AOB平分線上的一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD，

在Rt△POC與Rt△POD中，∵，

∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），

∴OC＝OD；(2)證明：∵P是∠AOB平分線上的一點(diǎn)，∴∠COP＝∠DOP，

∵由（1）知，OC＝OD，∴在△COE與△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），

∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEO，∵∠CEO+∠DEO=180°，∴∠CEO＝∠DEO=90°，∴OE⊥CD，∴OP是CD的垂直平分線．

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．20．如圖，，，，．(1)求證：；(2)連接EC，AO，求證：AO垂直平分EC．【解析】(1)證明：在和中，∵，，∴，∴．∵，，∴，∵，∴，∴；(2)證明∶如圖，由（1）可知，，．∴，∴，即，∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上．又∵，∴點(diǎn)也在的垂直平分線上，∴垂直平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵．21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一點(diǎn)，EF∥AD交CA的延長(zhǎng)線于F．求證：AF＝AE．【解析】證明：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EFAD，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．22．已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求證：點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．【解析】證：如圖，在BC上截取BE＝BA，連接DE，∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴AD＝CD，∴點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直平分線的判定等，學(xué)會(huì)做輔助線找出全等三角形是解題的關(guān)鍵．23．在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．(1)如圖①，求證：△ADE是等腰三角形；(2)如圖②，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中所有與∠CDE相等的角（∠CDE除外）．【解析】(1)證明：是的一個(gè)外角，又，，在和中，，，是等腰三角形．(2)解：由（1）得，，，DE平分∠ADC，，又∠BAD＝∠CDE，，，，所以圖中與∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于熟練掌握其相關(guān)證明的判定及性質(zhì)．24．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直角邊在AD的右側(cè)作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．(1)如果∠BAC＝90°，AB＝AC．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，線段CE與BD的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖3，若△ABC是銳角三角形，∠ACB＝45°，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明：CE⊥BD．【解析】（1）解：①∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又BA＝CA，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B，CE＝BD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．故答案為：CE⊥BD；CE＝BD．②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，①的結(jié)論仍成立．∵∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，又AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）證明：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，∵∠ACB＝45°，∴∠AGC＝45°，∴AC＝AG，即△ACG是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，∴∠GAD＝∠CAE，又∵DA＝EA，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD