用三角函數(shù)解決函數(shù)問題-2023年中考數(shù)學(xué)考點微

考向5.11用三角函數(shù)解決函數(shù)問題

例1、（2020?山東濟南?中考真題）如圖，矩形O4BC的頂點A,C分別落在x軸，y軸

的正半軸上，頂點8（2,2^3）,反比例函數(shù)‘一》（x>0）的圖象與BC,4B分別交于。,

E,BD=2

（1）求反比例函數(shù)關(guān)系式和點E的坐標；

（2）寫出力￡與AC的位置關(guān)系并說明理由；

（3）點尸在直線AC上，點G是坐標系內(nèi)點，當四邊形BCFG為菱形時，求出點G的

坐標并判斷點G是否在反比例函數(shù)圖象上.

解：(1)；B(2,2>/3),則8c=2,

而BD-g,

?**CD=2-y=y,故點D(-,25/3),

4

將點。的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：2G=8,解得2=36,

2

故反比例函數(shù)表達式為），=地，

X

當x=2時，①，故點E（2,空）;

22

（2）由（1）知，D（1,2石），點E（2,乎），點8（2,2打），

貝BE=B,

29

1

BD-

如-2

BC-

2

：.DE//AC；

(3)①當點F在點C的下方時，如下圖,

過點F作F”，)，軸于點兒

四邊形BCFG為菱形，則BC=CF=FG=BG=2,

在RTAOAC中，OA=BC=2,OB=AB=2g,

則tanNOCA="=j=3,故/OCA=30。，

CO25/33

則FH=；FC=1,CH=CF?cosNOCA=2x立=5

22

故點F(I,%),則點G(3,6)，

當x=3時，y=±叵=G，故點G在反比例函數(shù)圖象上；

X

②當點F在點C的上方時，

同理可得，點G(1,36)，

同理可得，點G在反比例函數(shù)圖象上；

綜上，點G的坐標為(3,73)或(1,36),這兩個點都在反比例函數(shù)圖象上.

本題主要考查反比例函數(shù)，解題關(guān)鍵是過點F作軸于點H.

解題中利用三角函數(shù)角的轉(zhuǎn)化把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系，往往比三角形相似更加方

便。

一、單選題

1.（2021?重慶萬州?模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCC的頂點A在y軸上，

點C坐標為（-4,0）,E為8c上靠近點C的三等分點，點B、E均在反比例函數(shù)y='（k

X

<0,x<0）的圖象上，若tanNO4Q=g,則攵的值為（）

-275C.-6D.-472

2.（2019?山東濟南?中考模擬）如圖，菱形0A8C的一條邊OA在x軸上，將菱形0A8C繞

原點。順時針旋轉(zhuǎn)75。至。AEC的位置，若OA=2,ZC=120°,則點夕的坐標為（）

A.（R,-a）B.（a,>/6）C.（3,x/3）D.（3,一6）

3.（2019?湖北武漢?中考模擬）如圖，平面直角坐標系X。），中，四邊形0ABe的邊。4在x

軸正半軸上，3C〃x軸，NO43=90°,點C（3,2）,連接OC以O(shè)C為對稱軸將。4

翻折到OA',反比例函數(shù)y=上k的圖象恰好經(jīng)過點A'、B,則％的值是（）

x

13-169

A.9B.C.—D.

T15

4.（2020?浙江?育海外國語學(xué)校一模）如圖，在RSABC中，ZABC=90°,tan/BAC=2,

A（0,a）,B（b,0）,點C在第二象限，BC與y軸交于點D（0,c）,若y軸平分/BAC,

則點C的坐標不能表示為（）

B.(-b-2c,2b)

D.(a-c,-2a-2c)

5.（2017?河南?中考模擬）如圖，在平面直角坐標系系中，直線y=kix+2與x軸交于點A,

與y軸交于點C,與反比例函數(shù)理在第一象限內(nèi)的圖象交于點B,連接BO.若S.X1,

tanZBOC=1,則k?的值是()

D.3

6.（2019?廣東?中考模擬）如圖，在平面直角坐標系系中，直線y=kix+2與x軸交于點A,

與y軸交于點C,與反比例函數(shù)y=-在第一象限內(nèi)的圖象交于點B,連接BO.若SAOBC=1,

X

)

C.2D.3

（1），點E為矩形ABCD邊AD上一點，點P,Q同時從

點B出發(fā)，點P沿BETEDTDC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，它們的

運動速度都是Icm/s,設(shè)P,Q出發(fā)ts時，ABPQ的面積為yen?,已知y與t的函數(shù)關(guān)系的

圖象如圖（2）則下列正確的是（）

圖⑴圖(2)

A.AE=6cm；B.sin/EBC=一

5

C.當0<tW10時，1D.當仁12時，ZiBPQ是等腰三角形

“5

8.(2014?江蘇蘇州?二模)如圖，直線y=gx+2交x軸于A(-4,0)點，將一塊等腰直角

三角形紙板的直角頂點置于原點O,另兩個頂點M、N恰落在直線y=gx+2上，若N點在

4

9.(2014?江蘇無錫?一模)如圖，點A在反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖像上，點B在反比例

x

9

函數(shù)y=-----(x<0)的圖像上，且ZAOB=90°,則lanNOAB().

x

二、填空題

10.(2022?浙江溫州?一模)如圖，矩形0ABe的邊。。分別在x軸、y軸上，點B在

反比例函數(shù)yJ（&>0,x>0）的圖象上，且AB=0.將矩形O4BC沿x軸正方向平

移!■個單位得矩形。A5C,A9交反比例函數(shù)圖象于點。，且ND4A'=30。，則%的值為

B___、B'

O'AA

11.（2021?廣東?東莞市石龍第二中學(xué)一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（10,0）,

繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到。8,連接AB,雙曲線y='（x>0）分別與AB,OB交于

點C,。（C,。不與點B重合）.若CD_LOB,則k的值為

y*

12.（2020?廣東?深圳市龍崗區(qū)布吉賢義外國語學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，RJABC中，/A=30。,

NC=90。，BCLy軸，交），軸于點F,點C在第一象限，斜邊AB與x軸，y軸分別相交于E、

D兩點，且皿）.砥=石，設(shè)過C點的雙曲線為y=A,則上.

F_\C

13.（2019?浙江溫州?一模）如圖，矩形。48c的邊。4,OC分別在x軸、y軸上，點B的

坐標為（石,5）,△4CD與△4C。關(guān)于直線4c對稱（點。和。對應(yīng)），反比例函數(shù)y

=七（AW0）的圖象與A8,BC分別交于E,F兩點，連結(jié)OE,若。E〃x軸，則點F的坐

標為

14.（2019?吉林吉林?一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+x的對稱軸為x=2,

頂點為A.點P為拋物線的對稱軸上一點，連接OA、OP.當OAJ_OP時，點P的坐標為

15.（2019?廣東深圳?一模）如圖，在AABC中，ZACB=90°,BC在x軸中，且點B與點

C關(guān)于原點對稱，AB=5,AO=A,邊AC上的點P滿足/COP=NCAO,且雙曲線y=與經(jīng)過

X

P點,則k值等于.

16.（2018?四川成都?中考模擬）如圖，直線產(chǎn)百x-8分別交x軸，y軸于點A和點B,點C

是反比例函數(shù)y=±（x>0）的圖象上位于直線上方的一點，軸交A8于。，CEA.CD

x

交A8于E,ADBE=4,則k的值為.

17.（2016?河南?模擬預(yù)測）如圖，點P（a,a）是反比例函數(shù)y=3在第一象限內(nèi)的圖象上

X

的一個點，以點P為頂點作等邊APAB,使A、B落在x軸上（點A在點B左側(cè)），則aPOA

的面積是.

18.（2017?廣東深圳?中考模擬）如圖，矩形AOC8的兩邊OC、0A分別位x軸、），軸上，

點3的坐標為B（-f,5）,。是AB邊上的一點.將4人。。沿直線0。翻折，使A點恰好落

在對角線08上的點E處，若點E在一反比例函數(shù)的圖象上，那么該函數(shù)的解析式是.

19.（2015?河北石家莊?一模）如圖，拋物線y=；x2-速x+3與x軸交于A,B兩點，與

33

y軸交于點C,點M的坐標為（26，1）.以M為圓心，2為半徑作。M.則下列說法正

確的是（填序號）.

①tan/OAC=6；

②直線AC是。M的切線；

③。M過拋物線的頂點；

④點C到。M的最遠距離為6；

⑤連接MC,MA,則zkAOC與AAMC關(guān)于直線AC對稱.

IfVJ

20.（2022?河南信陽?一模）如圖，點P為函數(shù)y=+l與函數(shù)），=一。〉0）圖象的交點，

2x

點P的縱坐標為4,依LK軸，垂足為點反

（1）求機的值；

（2）點M是函數(shù)y=匚（x>0）圖象上一動點，過點M作Affi）13P于點力，若tanZPMD=-,

x2

求點M的坐標.

21.（2021.四川成都?二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線），=“/+次-3過點4-3,

0）,8（1,0）,與y軸交于點C,頂點為點。，連接4C,BC.

（I）求拋物線的解析式；

（2）在直線8上是否存在點P,使NPBC=NBCO?若存在，求出點P的坐標；若不存

在，請說明理由；

（3）若點M為拋物線對稱軸/上一點，點N為拋物線上一點，當直線4c垂直平分線段MN

時.，請直接寫出點M和點N的坐標.

一、單選題

1.（2013?四川樂山?中考真題）如圖，己知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)y=2的圖象上,

X

A,與y軸交于點C,與反比例函數(shù)y=占在第一象限內(nèi)的圖象交于點B,連接BO.若

X

SAOBC-1,tanZBOC=1,則k2的值是（）

3.（2021?遼寧鞍山?中考真題）如圖，ABC是等邊三角形，AB=6cm,點M從點C出發(fā)

沿CB方向以Icm/s的速度勻速運動到點B,同時點N從點C出發(fā)沿射線。方向以2cm/s的

速度勻速運動，當點加停止運動時，點N也隨之停止.過點M作交AB于點P,

連接MN,NP,作△MNP關(guān)于直線MP對稱的MN'P,設(shè)運動時間為ts,MN'P與_BMP

重疊部分的面積為Sen?,則能表示S與f之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象為（）

4.（2020?遼寧遼寧?中考真題）如圖，在RtMBC中，Z4CB=9O°,AC=BC=20，CD1AB

于點。.點尸從點A出發(fā)，沿AfDfC的路徑運動，運動到點C停止，過點P作「ELAC

于點E,作于點尸.設(shè)點P運動的路程為x,四邊形CEP尸的面積為則能反映

y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

5.（202。黑龍江牡丹江.中考真題）如圖，在菱形OABC中，點B在x軸上，點A的坐標

為（2,2百），將菱形繞點0旋轉(zhuǎn)，當點A落在x軸上時，點C的對應(yīng)點的坐標為（)

A.（-2,-26）或（26,-2）B.（2,2百）

C.（-2,2拘D.（-2,-2折或（2,2折

6.（2020.貴州黔西.中考真題）如圖，在菱形ABOC中，AB=2,NA=60。，菱形的一個

頂點C在反比例函數(shù)y=V（kR）的圖象上，則反比例函數(shù)的解析式為（）

X

7.（2019?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，點尸是反比例函數(shù)y=V（kH0）的圖象上任意一點,

過點P作軸，垂足為M.若的面積等于2,則女的值等于（）.

8.（2015?山東煙臺?中考真題）如圖，R3ABC中NC=9O。,ZBAC=30°,AB=8,以2百為

邊長的正方形DEFG的一邊GD在直線AB上，且點D與點A重合，現(xiàn)將正方形DEFG沿

A-B的方向以每秒1個單位的速度勻速運動，當點D與點B重合時停止，則在這個運動過

程中，正方形DEFG與AABC的重合部分的面積S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是

9.（2021?湖南懷化?中考真題）如圖，菱形ABCZ）的四個頂點均在坐標軸上，對角線AC、

8。交于原點O,AELBC于E點,交BD于M點,反比例函數(shù)y=^（x>0）的圖象經(jīng)過線

3x

段。C的中點N,若8￡>=4,則用E的長為（）

542

A.ME=—B.ME=—C.ME=1D.ME=—

333

二、填空題

10.（2016?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點4在第二象限內(nèi)，點B

在x軸上，NAO8=30。，AB=BO,反比例函數(shù)y=$（x<0）的圖象經(jīng)過點4,若S.4OB

X

=G,則％的值為.

11.（2021?海南?中考真題）如圖，43c的頂點3、C的坐標分別是（1,（））、（0,6），且

RfVOAB斜邊上的高為1,

N4QB=3O。，將RrVOAB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90。得到長△08,點A的對應(yīng)點C恰好在函數(shù)

y=&(&wO)的圖象上,若在y=（的圖象上另有一點M使得ZMOC=30°,則點M的坐標

XX

△48。和^AQC是兩個邊長不相等的等邊三

角形，點"、C'、B、C都在直線/上，△ABC固定不動，將△49C在直線/上自左向右平

移.開始時，點C與點8重合，當點夕移動到與點C重合時停止.設(shè)AA，6C移動的距離為

X,兩個三角形重疊部分的面積為y,y與X之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，則△ABC的邊

長是_.

14.（2021?遼寧本溪?中考真題）如圖，A8是半圓的直徑，C為半圓的中點，4（2,0）,8（0,1）,

15.（2020?湖南永州?中考真題）ZAO8在平面直角坐標系中的位置如圖所示，且403=60。,

在NAOB內(nèi)有一點P（4,3）,M,N分別是0AOB邊上的動點，連接PM,PN,MN,則PMN

周長的最小值是.

16.（2020.湖南懷化?中考真題）如圖，△。巨A,△4用&,△483A3,…，△2,A，

都是一邊在X軸上的等邊三角形，點4，層，B,,紇都在反比例函數(shù)y=3（x>0）的

X

圖象上，點A，4,4,…，A“，都在X軸上，則A“的坐標為.

17.（2019?遼寧鐵嶺?中考真題）如圖，RtAOB^RtCOD,直角邊分別落在x軸和），軸上,

斜邊相交于點E,且tan/Q鉆=2.若四邊形O4EC的面積為6,反比例函數(shù)y=%x>0）的

圖象經(jīng)過點E,則上的值為.

18.（2019?福建?中考真題）如凰菱形ABCD頂點A在例函數(shù)產(chǎn)工（Q0）的圖象上，函數(shù)

X

y=，k>3,x>0）的圖象關(guān)于直線AC對稱，且經(jīng)過點8、。兩點，若4B=2,/D4B=30。,

X

則上的值為.

19.（2018?湖南郴州?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的一個頂點在原

點O處，且NAOC=60。，A點的坐標是（0,4）,則直線AC的表達式是.

20.(2018?湖北隨州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形OABC的邊長為2,

點A在第一象限，點C在x軸正半軸上，ZAOC=60°,若將菱形OABC繞點0順時針旋轉(zhuǎn)

75°,得到四邊形OAB'C,則點B的對應(yīng)點B，的坐標為.

三、解答題

21.(2021?山東泰安?中考真題)如圖，點尸為函數(shù)丁=71+1與函數(shù)y=—。>0)圖象的交

2x

點，點尸的縱坐標為4,軸，垂足為點8.

(1)求加的值；

(2)點M是函數(shù)y=—(x>0)圖象上一動點，過點M作于點若tanZ.PMD=-,

x2

求點M的坐標.

22.（2019?江蘇宿遷?中考真題）如圖，拋物線y=Y+法+c交x軸于A、B兩點，其中點A

坐標為（1,0），與丁軸交于點。（0,-3）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）如圖①，連接AC,點P在拋物線上，且滿足NPA8=2NACO.求點尸的坐標；

（3）如圖②，點。為x軸下方拋物線上任意一點，點。是拋物線對稱軸與x軸的交點，直

線AQ、8。分別交拋物線的對稱軸于點M、N.請問。0+DN是否為定值？如果是，請

求出這個定值；如果不是，請說明理由.

23.（2013?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC=12,

tanZACO=^-,

3

（1）求B、C兩點的坐標；

（2）把矩形沿直線DE對折使點C落在點A處，DE與AC相交于點F,求直線DE的解析

式；

（3）若點M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點N,使以0、F、M、N為頂點的四邊形是

菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案

1.C

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件運用點8,E都在反比例函數(shù)圖象匕再運用S〃NOAO=g即可求解.

【詳解】

如圖所示，過點B作BNJ_x軸，過點E作EM，x軸

:.EM//BN

：.4ECMs/\BCN

為BC三等分點

：.EC=-BC

3

.ECEMCM1

'?正一所—南

設(shè)B點的坐標為：(加，〃)

VC(-4,0)

：.0C=4

，ON=m,BN=n

則CN=4-m

：.EM=-BN=-

33

14

CM=—CN=—

33

0M=0CCM=4C

33

8+mn

丁3)

VtanZOAD=^-

OF1

(anZOAD=----=—

OA2

則0A=20F

/.IanZAFO=2

???四邊形ABC。是平行四邊形

：.AD//BC

工NECM=NAFO

EM

tanZECM=-----=2

CM

即葭蟲=2

33

n=S-2m

；,B(?m,8-2，〃)E(--m-,-―,兩點都在y="」

33x

8+m8-2%

-m(8-2/n)=-x

33

解得m=l

:?B(-1,6)

/.k=-1x6=-6

故選：C.

【點撥】本題考查了反比例函數(shù)上點的坐標特征平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形，本題的

解題關(guān)鍵是確定8,E點的坐標，利用tan/O4D=3的關(guān)系即可得出答案.

2.A

【解析】

【分析】

首先根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求得NAO8的度數(shù)，求出08的長，又由將菱形O48C繞原點。

順時針旋轉(zhuǎn)75°至OA'B1C的位置，可求得N*的度數(shù)，然后在Rt△夕0E中，

利用三角函數(shù)即可求得。尸與夕尸的長，則可得點）的坐標.

【詳解】

解：連接AC交08于G,過點3作3EJ_O4于E,過點用作"FLOA于R

,

：.ZBE0=ZBFO=90°1

???四邊形OABC是菱形，

:.OA//BCZAOB=-ZAOC,OG=BG,

92

ZAOC+ZC=180°,

VZC=120°,

???ZAOC=60°,

,NAO8=30。，

.\AG=—OA=\,

2

OG-43AG=73>

：.08=2^3'

?.?菱形048C繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)75。至的位置，

.../80夕=75°,。8'=08=2<3，

ZB'OF=45°,

在RtAB'OF中，

OF=O8'?cos45°=243x逗=46，

2

；.B，F(xiàn)=76,

；?點8’的坐標為：（46，-）6）.

【點撥】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)與三角函數(shù)的性

質(zhì)等知識.此題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.C

【解析】

【分析】

設(shè)B（；,2）,由翻折知0C垂直平分AA',A，G=2EF,AG=2AF,由勾股定理得0C=屈,

根據(jù)相似三角形或銳角三角函數(shù)可求得人，（得，得），根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)k=xy建立方

程求k.

【詳解】

如圖，過點C作CD，x軸于D,過點A，作A，G，x軸于G,連接AA，交射線0C于E,過E

作EF±x軸于F,

在RIAOCD中，OD=3,CD=2,ZODC=90°,

OC=yJoD2+CD2=J32+2?=A/13，

由翻折得，AAf±OC,AV=AE,

.?,AE=CDO42x2_Vi3.,

OCV1313

VZOAE+ZAOE=90°,ZOCD+ZAOE=90°,

.'.ZOAE=ZOCD,

FFOD

.*.sinZOAE=——=—=inZOCD,

AEOCs

.sODAE3Vl3,3,

??EF=----------=-j=xk=—K,

OCV131313

Ap

VcosZOAE=——=——=cosZOCD,

AEOC

.?.A八絲AE=/>巫

OC71313

???EF_Lx軸,A，G_Lx軸,

???EF〃A'G,

.EF_AF_AE

??布一茄一衣—5'

64

A,G=2EF=—k,AG=2AF=—k,

1313

145

/.OG=OA-AG=-k——k=—k,

21326

>'.A*(—k,—k),

2613

：.-k--k=k,

2613

Vk^O,

k,1=-69

15

故選C.

【點撥】本題是反比例函數(shù)綜合題，常作為考試題中選擇題壓軸題，考查了反比例函數(shù)點的

坐標特征、相似三角形、翻折等，解題關(guān)鍵是通過設(shè)點B的坐標，表示出點A，的坐標.

4.C

【解析】

【分析】

作CHJ_x軸于H,AC交OHT-F.|±IACBH^ABAO,推出些=絲=變=2,推出BH=

AOBOAB

-2a?CH=2b,推出C(b+2a,2b)?由題意可證△CHFco4BOD,可得——■=——，推出--=---

BOODbc

推出FH=2c,可得C(-b-2c,2b),因為2c+2b=-2a,推出2b=-2a-2c?b=-a-c

可得C(a-c,-2a-2c),由此即可判斷;

【詳解】

解：作CHl_x軸于H,AC交OH于F.

AB

：/CBH+NABH=90°,ZABH+ZOAB=90°,

；./CBH=/BAO,VZCHB=ZAOB=90°,

AACBH^ABAO,

?.?-B-H=-C-H=-B-C=2c,

AOBOAB

ABH=-2a,CH=2b,

AC（b+2a,2b）,

由題意可證△CHFSABOD,

,CHHF

??=，

80OD

.2bFH

??—=---,

bc

AFH=2c,

：.C（-b-2c,2b）,

V2c+2b=-2a,

/.2b=-2a-2c,b=-a-c,

C（a-c,-2a-2c）,

故選C.

【點撥】本題考查解直角三角形、坐標與圖形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解

題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

5.D

【解析】

【詳解】

試題分析：先求得直線y=kix+2與y軸交點C的坐標為（0,2）,然后根據(jù)△BOC的面積

求得BD的長為1,然后利用NBOC的正切求得OD的長為3“從而求得點B的坐標為（1,

3）,代入y="求得k2=3.故答案選D.

x

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

6.D

【解析】

【詳解】

試題分析：先求得直線y=kix+2與y軸交點C的坐標為（0,2）,然后根據(jù)△BOC的面積

求得BD的長為1,然后利用/BOC的正切求得OD的長為3,,從而求得點B的坐標為（1,

V

3）,代入y=」求得k2=3.故答案選D.

X

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

7.B

【解析】

【詳解】

4

試題分析：根據(jù)動點和函數(shù)圖象可得sin/EBC=1.

考點：函數(shù)圖形的性質(zhì).

8.B

【解析】

【詳解】

試題分析：過0作OC_LAB于C,過N作ND_LOA于D,

在直線y=gx+2上，

.?.設(shè)N的坐標是(x,gx+2),

貝ijDN=gx+2,OD=-x,

???y=gx+2,

，當x=0時，y=2,

AA(-4,0)，B(0,2)，

即OA=4,OB=2,

在AAOB中，由勾股定理得：AB=V20=2^,

?.?在AAOB中，由三角形的面積公式得：AOxOB=ABxOC,

,2x4=2石OC,

.\OC=—,

5

?.,在RtANOM中，OM=ON,/MON=90。，

.\ZMNO=45°,

..co℃V2

..sin4A5==——,

ON2

.cz45/10

..ON=——

5

在RSNDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2,

I32

即(Jx+2)2+(-X)2=y,

解得：X尸I音?,X2啜37,

412

即ND——,OD——,

2525

**?tanNAON=-----=—.

OD3

故選B.

考點：1,全等三角形的判定與性質(zhì)；2.一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

9.C

【解析】

【詳解】

試題分析：過點A作ACJ_x軸于C,過點B作BD_Lx軸于D,

???ZACO=ZODB=90°,

AZOBD+ZBOD=90°,

ZAOB=90°,

ZBOD+ZAOC=90°,

AZOBD=ZAOC,

AAOBD^AAOC

,SOBD_2

,,士一OA'

49

???點A在反比例函數(shù)y=—的圖象上，點B在反比例函數(shù)y=——的圖象上，

xx

,?SAOBD~4?5,SAAOC=2,

.OB3

OA2

tanZOAB=^^=—.

OA2

故選C.

考點：1.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；2.相似三角形的判定與性質(zhì).

10.至

2

【解析】

【分析】

由矩形的性質(zhì)可得出點8的縱坐標為將*=右代入反比例函數(shù)解析式，即可求出點A

和B的橫坐標為也k.再根據(jù)平移方式可得出點W和。的橫坐標為2”+之，再將

332

*=且4+3代入反比例函數(shù)解析式，可求得點。的縱坐標.最后根據(jù)NW30。，結(jié)合

32

銳角三角形函數(shù)和兩點的距離公式即可求得女的值.

【詳解】

,:AB=0四邊形OA8C為矩形，

?,?點4的縱坐標為

將y=6代入反比例函數(shù)解析式，得：73=-,

X

解得：x=—Z:，

3

???點A和8的橫坐標為立女.

3

，點4和。的橫坐標為3%+3,

32

廠_k_2限

將%=也2+3代入反比例函數(shù)解析式，得：丫飛―4=2人邛，

32—k+~

32

工點」的縱坐標為-迎廠.

2攵+36

'/ZDAAr=30°,

?，小5A，DG

,?tanNZX4A==—?,

A4'3

2也

，上叢）正，即諄叫_=

XL%3V33G3

----KH-------K

323

解得：女=空.

2

故答案為：—.

2

【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，銳角三角形函數(shù)和兩點的

距離公式.根據(jù)各知識點用々表示出各點坐標是解題關(guān)鍵.

11.973

【解析】

【分析】

如圖，作。EJ_x軸于點E,作CT_Lx軸于點R設(shè)OE=m由等邊三角形性質(zhì)及三角函數(shù)

可表示出點。坐標（。，耳）、點C坐標（15-2。，百（2。-5））,因為點。、C在反比

例函數(shù)圖象上，故根據(jù)k=xy建立方程ax耳=（15-左）x6（2a-5）求解滿足要求的。值，

然后得到。點坐標，代入％=孫中計算求解即可.

【詳解】

解：如圖，作OELc軸于點E,作CF_Lx軸于點尸

由題意知^OAB為等邊三角形

ZBOA=ZB=ZBAO=60°

設(shè)OE=a,則。E=&,0D=2a

：.D（a,6a）,80=10-2“

BC=------=2x（10-2。）=20-4a

cos60°

AAC=10-（20-4a）=4a-10

FA=AC*cos60°=y（4c/-10）=2a-5,CF=AC*sin60°=^-（4tz-10）=>/3（2<7-5）

JOF=AO-朋=10-2a+5=15-2a

ZC（15-2a,V3（2?-5））

??,點D、C在反比例函數(shù)圖象上

/.ax>/3a=（15-26z）xV3（2a-5）

解得：a/=3,s=5（不合題意，舍去）

.'.a—3,D（3,373）

&=xy=3x3\/3=9百

故答案為：9出■

【點撥】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，三角函數(shù)值，等邊三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).解題

的關(guān)鍵在于表示出C、。兩點坐標.

12.

4

【解析】

【分析】

過B點作軸于點M,過D點作DN±AC交AC于點N,設(shè)C點的坐標為（x,y）,

則=DN=x,則有AC//8M,DN/IBC,根據(jù)ZMBE=ZA=300,得到

BE=^BM=W》，AD=2DN=2X,再根據(jù)AO.8E=g，化簡即可得孫=1,即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：如圖示，過B點作而_Lx軸于點M,過D點作AC交AC于點N,

設(shè)C點的坐標為（x,y）,則DN=x,

R/ABC中，ZA=30°,ZC=90°,BC_Ly軸，

則有：AC//BM,DN//BC,

：.Z7W6E=ZA=30°,

.BMy/3DNJ

~BE~~T'AD~2"

BE=—BM=—y,AD=2DN=2x,

33

又二ADBE=6,

AD-BE=2x?—）=6，

3

即有：孫=:,

4

???C點在雙曲線y=K上，

X

?.3

..xy=k=—,

4

3

故答案為：J.

【點撥】本題考查了特殊銳角的三角函數(shù)，平行線的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（―,5）

3

【解析】

【分析】

由已知條件可知OA、0C的長，利用勾股定理求出AC,在利用等積法求出0D的值.過點

D作DGLx軸于點G,連接OD,則/OAC=/ODG,利用角的余弦即可求出DG的長，

從而求出E點的坐標，再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，從而求出F點的坐標.

【詳解】

過點。作力GJ_x軸于點G,連接。。，則NO4C=NOOG.

???點B的坐標為（石，5）,

0A=-75,OC—5）山勾股定理得AC=+5?=>/30>

cosZOAC==-cosZODG,

V306

在OOG中，DG=ODxcosZODG=-x逅=9,

363

軸，

???點E在反比例函數(shù)尸;（原0）的圖象上，代入E點坐標得我二歲,

5亞

反比例函數(shù)的解析式為亍，

.點F也在反比例函數(shù)y=人（際0）的圖象上，點廠的縱坐標為5,

點尸的橫坐標為更，點尸的坐標為（更，5）.

故答案為（正，5）.

'O\~~入G>x

【點撥】本題考查了反比例函數(shù)與圖形的綜合，熟練掌握對稱的性質(zhì)、三角函數(shù)定義及待定

系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

14.(2,-4)

【解析】

【分析】

根據(jù)拋物線的對稱軸求出a的值，即可得到拋物線解析式，從而求出頂點A的坐標，根據(jù)

銳角三角函數(shù)的定義求出tanZOAE的值，然后根據(jù)同角的余角相等得到NOAE=NEOP,

再次利用銳角三角函數(shù)的定義求出EP的長，從而求出點P的坐標.

【詳解】

解：如圖

/拋物線y=ax2+x的對稱軸為x=2,

???拋物線y=--x2+x,

4

/.A(2,1)

OE

???在RMAOE中，lanZOAE=—=2,ZOAE+ZAOE=90°,

AE

?:OA±OP,

???ZAOP=ZAOE+ZEOP=90°,

:.ZOAE=ZEOP,

EP

tanZEOP==2,

OE

\"OE=2,

AEP=4,

：.P(2,-4)

故答案為(2,-4).

【點撥】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的時稱軸公式，二次函數(shù)圖象匕點

的坐標特征，銳角三角函數(shù)的定義，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

【解析】

【分析】

4

根據(jù)勾股定理求出0C=2,AC=3,再由tan/COP=tan/CAO,求出PC=§,進而求出P

4

點坐標(2,-),即可求解；

【詳解】

解：：點B與點C關(guān)于原點對稱，

.,.BC=2OC,

在Rt^ABC中，AB2=AC2+BC2,

VAB=5,

；.25=AC2+4OC2,

在RIAAOC中，AO2=AC2+OC2,

'?*AO=\/[3，

/.13=AC2+OC2,

，OC=2,AC=3,

VZCOP=ZCAO,

tanZCOP=tanZCAO,

.PC2

,,TV，

，PC=±,

3

4

：.P(2,-),

3

..8

?.k一屋

Q

故答案為申

【點撥】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形勾股定理，三角函數(shù)值；熟練掌握

直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

16.Y

【解析】

【詳解】

分析：過點E作EM±y軸于點M,過點D作DFJ_x軸于點F,然后求出OA與OB的長度,

即可求出/OAB的正弦值與余弦值，再設(shè)C(x,y),從而可表示出AD與BE的長度，根據(jù)

ADBE=4列出即可求出k的值.

詳解：過點E作EM，y軸于點M,過點D作DFLx軸于點F,

，點B的坐標為(0,—8),點A的坐標為(沔0),.?.OB=8,OA[6,

由勾股定理可知：AB=—y/3,.,.sinZOAB=—=—,cosZ