高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題過關(guān)檢測(cè)（十五）空間幾何體與空間位置關(guān)系 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

專題過關(guān)檢測(cè)（十五）空間幾何體與空間位置關(guān)系A(chǔ)級(jí)——“12＋4”提速練1．已知直線a與直線b平行，直線a與平面α平行，則直線b與α的關(guān)系為()A．平行 B．相交C．直線b在平面α內(nèi) D．平行或直線b在平面α內(nèi)解析：選D依題意，直線a必與平面α內(nèi)的某直線平行，又a∥b，因此直線b與平面α的位置關(guān)系是平行或直線b在平面α內(nèi)．2.如圖，正方形O′A′B′C′的邊長(zhǎng)為2cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長(zhǎng)是()A．12cm B．16cmC．4(1＋eq\r(3))cm D．4(1＋eq\r(2))cm解析：選B由直觀圖可得原圖如圖所示，且OA＝2cm，OB＝2O′B′＝4eq\r(2)cm，所以AB＝6cm，所以周長(zhǎng)為16cm.3．(2019·廣東省七校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AC與A1B所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C如圖，連接CD1，AD1，則A1B∥CD1，∴∠ACD1是異面直線AC與A1B所成的角或其補(bǔ)角．易知△ACD1是等邊三角形，∴∠ACD1＝60°，∴異面直線AC與A1B所成的角為60°.故選C.4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則其表面積為()A．2π B．5πC．8π D．10π解析：選C由題得幾何體原圖是球被切割后剩下的eq\f(1,4)，所以它的表面積由三個(gè)部分組成，所以S＝eq\f(1,4)×4π×22＋eq\f(1,2)×π×22＋eq\f(1,2)×π×22＝8π.5．已知α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，則下列命題中錯(cuò)誤的是()A．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥βB．如果m?α，α∥β，那么m∥βC．如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥lD．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β解析：選D對(duì)于A，如果m⊥n，m⊥α，則n∥α或n?α，因?yàn)閚⊥β，則α⊥β，故正確；對(duì)于B，如果m?α，α∥β，那么m與β無公共點(diǎn)，則m∥β，故正確；對(duì)于C，如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，則m∥l，故正確；對(duì)于D，如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α與β的關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤．6．《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中間的實(shí)線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為()A．2 B．4＋2eq\r(2)C．4＋4eq\r(2) D．4＋6eq\r(2)解析：選C由三視圖知，該幾何體是直三棱柱ABC-A1B1C1，其直觀圖如圖所示，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝eq\r(2)，∠C＝90°，側(cè)面為三個(gè)矩形，故該“塹堵”的側(cè)面積S＝(2＋2eq\r(2))×2＝4＋4eq\r(2).7.如圖，在三棱錐P-ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：選BA中，因?yàn)锳P⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因?yàn)槠矫鍮PC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC.又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出AP⊥BC，故選B.8．如圖，圓錐形容器的高為h，容器內(nèi)水深為h1，且h1＝eq\f(1,3)h，若將圓錐形容器倒置，水深為h2，則h2＝()A.eq\f(2,3)h B.eq\f(19,27)hC.eq\f(\r(3,6),3)h D.eq\f(\r(3,19),3)h解析：選D設(shè)圓錐形容器的底面積為S，則倒置前水面的面積為eq\f(4,9)S，所以水的體積V＝eq\f(1,3)Sh－eq\f(1,3)×eq\f(4,9)S(h－h(huán)1)＝eq\f(19,81)Sh.設(shè)倒置后水面的面積為S′，則eq\f(S′,S)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h2,h)))2，所以S′＝eq\f(Sh\o\al(2,2),h2)，所以水的體積V＝eq\f(1,3)S′h2＝eq\f(Sh\o\al(3,2),3h2)，所以eq\f(19,81)Sh＝eq\f(Sh\o\al(3,2),3h2)，解得h2＝eq\f(\r(3,19),3)h.9．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(7),2)解析：選C如圖，連接BE，因?yàn)锳B∥CD，所以AE與CD所成的角為∠EAB.在Rt△ABE中，設(shè)AB＝2，則BE＝eq\r(5)，則tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2)，所以異面直線AE與CD所成角的正切值為eq\f(\r(5),2).10．(2019·貴州適應(yīng)性考試)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下面四個(gè)命題：①若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ；②若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n；③若m∥α，n?α，則m∥n；④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，則m∥n.其中正確命題的序號(hào)是()A．①④ B．①②C．②③④ D．④解析：選D對(duì)于①，同垂直于一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能相交，命題①錯(cuò)誤；對(duì)于②，在兩個(gè)互相垂直的平面內(nèi)的兩條直線可能互相平行，可能相交，也可能異面，命題②錯(cuò)誤；對(duì)于③，直線m與n可能異面，命題③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由面面平行的性質(zhì)定理知命題④正確．故正確命題的序號(hào)是④，選D.11．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D-ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的結(jié)論是()A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④解析：選B由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，結(jié)合②知③正確；由①知④不正確．故選B.12.如圖，已知△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，則多面體E-ABCD的外接球的表面積為()A.eq\f(16π,3) B．8πC．16π D．64π解析：選C由題知△EAB為等邊三角形，設(shè)球心為O，O在平面ABCD的射影為矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影為△EAB的重心G，又由平面EAB⊥平面ABCD，則△OGA為直角三角形，OG＝1，AG＝eq\r(3)，所以R2＝4，所以多面體E-ABCD的外接球的表面積為4πR2＝16π.13．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：________________________.解析：已知l，m是平面α外的兩條不同直線，由①l⊥m與②m∥α，不能推出③l⊥α，因?yàn)閘可以與α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m與③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α與③l⊥α可以推出①l⊥m.故正確的命題是②③?①或①③?②.答案：若m∥α且l⊥α，則l⊥m成立(或若l⊥m，l⊥α，則m∥α)14.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)．若AA1＝4，AB＝2，則四棱錐B-ACC1D的體積為________．解析：取AC的中點(diǎn)O，連接BO(圖略)，則BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D.因?yàn)锳B＝2，所以BO＝eq\r(3).因?yàn)镈為棱AA1的中點(diǎn)，AA1＝4，所以AD＝2，所以S梯形ACC1D＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以四棱錐B-ACC1D的體積為eq\f(1,3)×6×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)15．在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P在線段BD1上，且eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，點(diǎn)M為線段B1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐M-PBC的體積為________．解析：因?yàn)閑q\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，所以點(diǎn)P到平面BCC1B1的距離是D1到平面BCC1B1距離的eq\f(1,3)，即三棱錐P-MBC的高h(yuǎn)＝eq\f(D1C1,3)＝1.M為線段B1C1上的動(dòng)點(diǎn)，所以S△MBC＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，所以VM-PBC＝VP-MBC＝eq\f(1,3)×eq\f(9,2)×1＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)16．(2020屆高三·廣東七校聯(lián)考)在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則該球半徑的最大值為________．解析：由題意知，球內(nèi)切于四棱錐P-ABCD時(shí)半徑最大．設(shè)該四棱錐的內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，OD，OP，則VP-ABCD＝VO-ABCD＋VO-PAD＋VO-PAB＋VO-PBC＋VO-PCD，即eq\f(1,3)×2a×2a×2a＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a2＋2×\f(1,2)×2a×2a＋2×\f(1,2)×2a×2\r(2)a))×r，解得r＝(2－eq\r(2))a.答案：(2－eq\r(2))aB級(jí)——拔高小題提能練1．(2019·沈陽質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，且球的表面積為16π，點(diǎn)P在球面上，則四棱錐P-ABCD體積的最大值為()A．8 B.eq\f(8,3)C．16 D.eq\f(16,3)解析：選D設(shè)球的半徑為R，由題知4πR2＝16π，則R＝2，再設(shè)大圓內(nèi)的矩形長(zhǎng)、寬分別為x，y，由題知x2＋y2＝16，則矩形面積xy≤eq\f(x2＋y2,2)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)上式取等號(hào)，即底面為正方形時(shí)，底面面積最大．四棱錐P-ABCD的高的最大值為2，故四棱錐P-ABCD體積的最大值為eq\f(1,3)×8×2＝eq\f(16,3)，選D.2．(2019·合肥第二次質(zhì)量檢測(cè))如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A．2對(duì) B．3對(duì)C．4對(duì) D．5對(duì)解析：選C由三視圖知該幾何體是一個(gè)四棱錐，它有一個(gè)側(cè)面與底面垂直，且頂點(diǎn)在底面上的射影在底面的一條邊的中點(diǎn)處，即如圖所示的四棱錐S-ABCD，平面SCD⊥平面ABCD.因?yàn)锳D⊥DC，BC⊥DC，且平面SCD∩平面ABCD＝DC，所以AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，所以平面SAD⊥平面SCD，平面SBC⊥平面SCD.又由三視圖知SC⊥SD，同時(shí)由AD⊥平面SCD，知AD⊥SC，又SD∩AD＝D，所以SC⊥平面SAD，所以平面SBC⊥平面SAD.綜上可知，該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì)，故選C.3．(2019·沈陽質(zhì)量監(jiān)測(cè))如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下面結(jié)論中正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③異面直線AC與A1B成60°角；④AC1與底面ABCD所成角的正切值是eq\r(2).解析：對(duì)于①，BD∥B1D1，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1，①正確；對(duì)于②，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，連接A1C1，又A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，同理B1C⊥AC1，∴AC1⊥平面CB1D1，②正確；對(duì)于③，易知AC∥A1C1，異面直線AC與A1B所成的角為∠BA1C1，連接BC1，又△A1C1B為等邊三角形，∴∠BA1C1＝60°，異面直線AC與A1B成60°角，③正確；對(duì)于④，AC1與底面ABCD所成的角的正切值是eq\f(CC1,AC)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)≠eq\r(2)，故④不正確．故正確的結(jié)論為①②③.答案：①②③4．已知在正四棱錐S-ABCD中，SA＝6eq\r(3)，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為________．解析：設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長(zhǎng)為a，高為h，因?yàn)樵谡睦忮FS-