高考數學一輪復習 練案（7）第二章 函數、導數及其應用 第四講 函數的奇偶性與周期性（含解析）-人教版高三數學試題

[練案7]第四講函數的奇偶性與周期性A組基礎鞏固一、單選題1．下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是(D)A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x2＋sinx[解析]選項A是奇函數，B、C都是偶函數，故選D.2．(2020·西藏山南二高模擬)下列函數中，是偶函數且在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減的函數是(D)A．y＝2x B．y＝eq\r(x)C．y＝|x| D．y＝－x2＋1[解析]A選項，根據y＝2x的圖象知該函數非奇非偶，可知A錯誤；B選項，由y＝eq\r(x)的定義域為[0，＋∞)，知該函數非奇非偶，可知B錯誤；C選項，當x∈(0，＋∞)時，y＝|x|＝x為增函數，不符合題意，可知C錯誤；D選項；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知該函數為偶函數，根據其圖象可看出該函數在(0，＋∞)上單調遞減，可知D正確．故選D.3．已知f(x)為奇函數，當x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于(B)A．－x(1－x) B．x(1－x)C．－x(1＋x) D．x(1＋x)[解析]當x<0時，則－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．4．(2020·山東師大附中模擬)函數f(x)在R上是偶函數，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上單調遞減，則函數f(x)在[3,5]上是(D)A．增函數 B．減函數C．先增后減的函數 D．先減后增的函數[解析]因為f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是周期為2的函數，又f(x)在R上是偶函數，且在[－1,0]上單調遞減，所以f(x)在[0,1]單調遞增．所以f(x)在[3,5]上是先減后增的函數，故選D.5．(2020·廣東佛山一模，7)已知f(x)＝2x＋eq\f(a,2x)為奇函數，g(x)＝bx－log2(4x＋1)為偶函數，則f(ab)＝(D)A．eq\f(17,4) B．eq\f(5,2)C．－eq\f(15,4) D．－eq\f(3,2)[解析]由f(x)＝2x＋eq\f(a,2x)為奇函數，得f(－x)＋f(x)＝0，即(2x＋eq\f(a,2x))＋(2－x＋eq\f(a,2－x))＝0，可得a＝－1；由g(x)＝bx－log2(4x＋1)為偶函數，得g(x)＝g(－x)，即bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)，可得b＝1，則ab＝－1，f(ab)＝f(－1)＝2－1－eq\f(1,2－1)＝－eq\f(3,2)，故選D.6．設偶函數f(x)對任意x∈R都有f(x＋3)＝－eq\f(1,fx)，且當x∈[－3，－2]時，f(x)＝4x，則f(107.5)等于(B)A．10 B．eq\f(1,10)C．－10 D．－eq\f(1,10)[解析]因為f(x＋3)＝－eq\f(1,fx)，所以f(x＋6)＝－eq\f(1,fx＋3)＝f(x)，所以函數f(x)的周期為6.又f(x)是偶函數，所以f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝－eq\f(1,f2.5)＝－eq\f(1,f－2.5)＝－eq\f(1,4×－2.5)＝eq\f(1,10).7．(2020·甘肅天水一中階段測試)已知函數f(x)＝e|x|＋x2，(e為自然對數的底數)，且f(3a－2)>f(a－1)，則實數aA．(eq\f(1,2)，＋∞) B．(－∞，eq\f(1,2))C．(－∞，eq\f(1,2))∪(eq\f(3,4)，＋∞) D．(0，eq\f(1,2))∪(eq\f(3,4)，＋∞)[解析]顯然f(x)為偶函數且在[0，＋∞)上單調遞增，∴f(3a－2)>f(a－1)?|3a－2|>|a－1|?(3a－2)2>(a－1)2?a>eq\f(3,4)或a<eq\f(1,2)，故選C.二、多選題8．若函數f(x)(x∈R)是奇函數，函數g(x)(x∈R)是偶函數，則下列結論中正確的是(ABC)A．函數f(g(x))是偶函數B．函數g(f(x))是偶函數C．函數f(x)·g(x)是奇函數D．函數f(x)＋g(x)是奇函數[解析]對于選項A，f[g(x)]是偶函數，A正確；對于選項B，g[f(x)]是偶函數，B正確；對于選項C，設h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(huán)(x)是奇函數；對于選項D，f(x)＋g(x)不一定具備奇偶數，故選A、B、C.9．若函數y＝f(x)(x∈R)是奇函數，則下列坐標表示的點一定在函數y＝f(x)圖象上的是(BC)A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(a，－f(－a)) D．(a，f(－a))[解析]∵函數y＝f(x)為奇函數，∴f(－a)＝－f(a)，－f(－a)＝f(a)．即點(－a，－f(a))和點(a，－f(－a))一定在函數y＝f(x)的圖象上．故選B、C.10．(2020·山東普通高校招生春季考試)奇函數y＝f(x)的局部圖象如圖，則下列結論不正確的是(BCD)A．f(2)>0>f(4)B．f(2)<0<f(4)C．f(2)>f(4)>0D．f(2)<f(4)<0[解析]因為奇函數y＝f(x)，所以f(－4)＝－f(4)，f(－2)＝－f(2)．因為f(－4)>0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．故選B、C、D.三、填空題11．若函數f(x＋1)為偶函數，則函數f(x)的圖象的對稱軸方程為__x＝1__.[解析]解法一：由已知得f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以y＝f(x)關于x＝1對稱．解法二：將y＝f(x＋1)右移1個單位，得到y(tǒng)＝f(x)圖象，關于x＝1對稱．12．設f(x)是周期為3的函數，當1≤x≤3時，f(x)＝2x＋3，則f(8)＝__7__.－2≤x≤0時，f(x)＝__2x＋9__.[解析]因為f(x)是周期為3的函數，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.當－2≤x≤0時，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.13．已知定義在R上的奇函數y＝f(x)在(0，＋∞)內單調遞增，且f(eq\f(1,2))＝0，則f(x)>0的解集為(－eq\f(1,2)，0)∪(eq\f(1,2)，＋∞).[解析]由已知可造構y＝f(x)的示意圖象，所以f(x)>0的解集為(－eq\f(1,2)，0)∪(eq\f(1,2)，＋∞)．14．(2018·課標全國Ⅲ，16)已知函數f(x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1，f(a)＝4，則f(－a)＝__－2__.[解析]本題考查函數的奇偶性．易知f(x)的定義域為R，令g(x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)，則g(x)＋g(－x)＝0，∴g(x)為奇函數，∴f(a)＋f(－a)＝2，又f(a)＝4，∴f(－a)＝－2.B組能力提升1．(多選題)(2020·陜西西安中學模擬改編)設f(x)－x2＝g(x)，若函數f(x)為偶函數，則g(x)的解析式可能為(BC)A．g(x)＝x3 B．g(x)＝cosxC．g(x)＝x2＋1 D．g(x)＝xex[解析]因為f(x)＝x2＋g(x)，且f(x)為偶函數，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)為偶函數，由選項可知，只有選項B、C中的函數為偶函數，故選B、C.2．(2020·吉林長春月考)已知函數f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝eq\f(2,3)，則f(－a)＝(C)A．eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)[解析]根據題意，f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)＝1＋eq\f(x,x2＋1)，而h(x)＝eq\f(x,x2＋1)是奇函數，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(huán)(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).故選C.3．(2020·黑龍江哈爾濱六中高三月考)若f(x)＝ex－ae－x為奇函數，則f(x－1)<e－eq\f(1,e)的解集為(A)A．(－∞，2) B．(－∞，1)C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)[解析]∵f(x)＝ex－ae－x為奇函數，∴f(0)＝0，即f(0)＝1－a＝0.則a＝1，即f(x)＝ex－e－x，則函數f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數，又f(1)＝e－eq\f(1,e)，則不等式f(x－1)<e－eq\f(1,e)等價于f(x－1)<f(1)，即x－1<1，解得x<2，即不等式的解集為(－∞，2)．故選A.4．(2019·課標Ⅲ，11,5分)設f(x)是定義域為R的偶函數，且在(0，＋∞)單調遞減，則(C)A．f(log3eq\f(1,4))>f(2－eq\f(3,2))>f(2－eq\f(3,2))B．f(log3eq\f(1,4))>f(2－eq\f(2,3))>f(2－eq\f(3,2))C．f(2－eq\f(3,2))>f(2－eq\f(2,3))>f(log3eq\f(1,4))D．f(2－eq\f(2,3))>f(2－eq\f(3,2))>f(log3eq\f(1,4))[解析]∵f(x)是定義域為R的偶函數，∴f(－x)＝f(x)．∴f(log3eq\f(1,4))＝f(－log34)＝f(log34)．∵log34>log33＝1，且1>2－eq\f(2,3)>2－eq\f(3,2)>0，∴l(xiāng)og34>2－eq\f(2,3)>2－eq\f(3,2)>0.∵f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，∴f(2－eq\f(3,2))>f(2－eq\f(2,3))>f(log34)＝f(log3eq\f(1,4))．故選C.5．(2020·河北省“五個一名校聯盟”高三)已知奇函數f(x)滿足f(x＋1)＝f(1－x)，若當x∈(－1,1)時，f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，且f(2018－a)＝1，則實數a的值可以是(A)A．eq\f(9,11) B．eq\f(11,9)C．－eq\f(9,11) D．－eq