數(shù)學(xué)丨2023屆高考全國(guó)甲卷乙卷全真模擬（二）數(shù)學(xué)試卷及答案

2023年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷二（全國(guó)卷）

理科數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘；試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)符合題目要求）

1.復(fù)數(shù)2=?型的虛部為（）

1-1

A.3iB.-3iC.-3

2.某高中為促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，秋季學(xué)期合唱團(tuán)、朗

會(huì)、脫口秀、街舞社、音樂社等五個(gè)社團(tuán)面向1200名高

年級(jí)同學(xué)招新，每名同學(xué)依據(jù)自己興趣愛好最多可參加

中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中

加音樂社社團(tuán)的同學(xué)有15名，參加脫口秀社團(tuán)的有20

則（）

A.高一年級(jí)同學(xué)參加街舞社社團(tuán)的同學(xué)有120名

B.脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%

C.高一年級(jí)參加這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占全年級(jí)人數(shù)的12%

D.高一年級(jí)同學(xué)參加這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為200名

3.已知全集0=%集合M={xeZ卜一1|<3},7V={-4,-2,0,1,5}

則下列Venn圖中陰影部分的集合為（）

A.{0,1}B.{-3,1,4}C.{-1,2,3}

4.如圖，網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,粗的實(shí)線和虛線畫

出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（)

A.2B.4C.8

(x+1)2+sinx

5.函數(shù)/(%)=的大致圖象為（）

X2+1

試卷第1頁，共4頁

6.曲線/(x)=(2x-l)sinx在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程為()

A.x+y=OB.x-y=O

C.x+y+l=OD.x-y+\=0

7.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，過點(diǎn)4作平面

48。的垂線，垂足為點(diǎn)〃，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.點(diǎn)”是48D的垂心B.4”的延長(zhǎng)線經(jīng)過點(diǎn)G

C.AH_L平面D.直線/”和所成的角為45。

8.過點(diǎn)（五0）引直線/與曲線y=相交于Z、8兩點(diǎn)，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，直線/的斜率等于（）.

A.3B.-巫C.±—D.-如

333

9.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為布，底面邊長(zhǎng)為2,則該四棱錐的內(nèi)切球的體積為（）

.4^3D△4兀r-

A.—^―B.——C.—D.4A/3

3273

22

10.己知點(diǎn)耳，工分別為橢圓C:—+2=1（〃>6>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)/在直線/:x=-a上

運(yùn)動(dòng)，若N耳蟠的最大值為60。，則橢圓。的離心率是（）

A.-B.；C.在D.3

3223

11.關(guān)于函數(shù)/。卜^^足上一^+忖豈有下述四個(gè)結(jié)論：①〃x）的最小正周期為乃；

②“X）的最大值為1+&；③/（x）的最小值為也；④〃x）在區(qū)間仁，9上單調(diào)遞增；其

中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①②④B.①③④C.①③D.②④

12.已知e"=1.02,6=71^-1,/）'=1.01,則（）

A.a<b<cB.h<a<cC.b<c<aD.c<a<b

第II卷（非選擇題）

試卷第2頁，共4頁

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知同=5,何=8,且」與)的夾角為150°,則曰3=.

22

14.已知雙曲線C：—.....匚=1的離心率e=2,則雙曲線C的漸近線方程為___________.

加-12-m

15.一支醫(yī)療小隊(duì)由3名醫(yī)生和6名護(hù)士組成，將他們?nèi)糠峙涞饺裔t(yī)院，使每家醫(yī)院分

到醫(yī)生1名和護(hù)士1至3名，其中護(hù)士甲和護(hù)士乙必須分到同一家醫(yī)院，則不同的分配方法

有種.

16.在48C中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,a=4,36cos/-acosC=ccosN,

點(diǎn)D在線段BC上，2BD=DC,過點(diǎn)D作DEqAB,DF1AC,垂足分別是E,F,貝UDEF

面積的最大值是.

三、解答題(本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?

21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答)

(-)必考題：共60分

17.在數(shù)列｛對(duì)｝中，ai—\,an—2anj+n-2(n>2).

(1)證明：數(shù)列｛%+〃｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛麗｝的前n項(xiàng)和Sn.

18.如圖所不，在直三棱柱/8C-中,

是4G的中點(diǎn)，BC=CA=2,CCt=1.

(1)求異面直線AF.與CB,所成角的余弦值；

(2)求直線與平面BCC崗所成的角.

19.近些年來，學(xué)生的近視情況由高年級(jí)向低年級(jí)漫延，為調(diào)查某小學(xué)生的視力情況與電子

產(chǎn)品的使用時(shí)間之間的關(guān)系，調(diào)查者規(guī)定：平均每天使用電子產(chǎn)品累計(jì)5小時(shí)或連續(xù)使用2

小時(shí)定義為長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品，否則為非長(zhǎng)時(shí)間使用.隨機(jī)抽取了某小學(xué)的150名學(xué)生，其

中非長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的100名，長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的50名，調(diào)查表明非長(zhǎng)時(shí)間使用電

子產(chǎn)品的學(xué)生中有95人視力正常，長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生中有40人視力正常.

(1)是否有99.5%的把握認(rèn)為視力正常與否與是否長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品有關(guān)？

(2)如果用這150名學(xué)生中，長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生和非長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生視力

正常的在各自范圍內(nèi)所占比率分別代替該校長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生和非長(zhǎng)時(shí)間使用電子

產(chǎn)品的學(xué)生視力正常的概率，且每位學(xué)生視力正常與否相互獨(dú)立，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3

人(2個(gè)非長(zhǎng)時(shí)間使用和1個(gè)長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品)，設(shè)隨機(jī)變量X表示“3人中視力正?！钡?/p>

人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

試卷第3頁，共4頁

附:,=")(:%?)(?)

,n=a+b+c=d.

pQ%0)0.100.050.0250.010.005

k。2.7063.8415.0246.6357.879

20.已知直線x+2y-2=0過拋物線C:x?=2加(p>0)的焦點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程；

(2)動(dòng)點(diǎn)/在拋物線C的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)力作拋物線C的兩條切線分別交x軸于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)

NMN的面積是在時(shí)，求點(diǎn)力的坐標(biāo).

2

21.已知函數(shù)/O)=(x-4)e'-i+6%,g(x)=lnx-(a+l)x,a>-\.

(1)求的極值;

⑵若存在對(duì)任意的馬€“2］］,使得不等式g(%)>/(王)成立，求實(shí)數(shù)。的取值

范圍.(e3?20.09)

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

fx=3+3cos。，,

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為，.。(。為參數(shù))，直線/的參數(shù)方程

［y=3sm”

71

x=fcos—,

為a為參數(shù)).

/.n

y=6+/sin—

I3

(1)判斷直線/和圓。的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵設(shè)尸是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，4(4,0),若點(diǎn)尸到直線/的距離為地，求0.麗的值.

2

［選修4-5：不等式選講］

23.已知a>0,b>0,c>0.

(1)當(dāng)a+b=2時(shí)，求證：+22；

(2)求/+/+1+仕+，+』丫的最小值

\ahcI

試卷第4頁，共4頁

2023年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷二（全國(guó)卷）

理科數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘；試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)符合題目要求）

一、單選題

1.復(fù)數(shù)2=登?的虛部為（）

1-1

A.3iB.-3iC.-3D.3

【答案】c

【分析】將復(fù)數(shù)Z=衿化簡(jiǎn)為一般形式，即可判斷虛部.

1-1

2-8i（2-8i）（l+i）10-6i

【詳解】Z=L===631,虛部為-3.故選：C.

1-1（1-1）（1+1）2

2.某高中為促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，秋季學(xué)期合唱團(tuán)、朗誦會(huì)、脫口秀、街舞社、音樂

社等五個(gè)社團(tuán)面向1200名高一年級(jí)同學(xué)招新，每名同學(xué)依據(jù)自己興趣愛好最多可參加

其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加音樂社社團(tuán)的同學(xué)有15

名，參加脫口秀社團(tuán)的有20名，則（）

A.高一年級(jí)同學(xué)參加街舞社社團(tuán)的同學(xué)有120名

B.脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%

C.高一年級(jí)參加這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占全年級(jí)人數(shù)的12%

D.高一年級(jí)同學(xué)參加這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為200名

【答案】B

【分析】根據(jù)餅狀圖逐一判斷即可.

【詳解】參加音樂社社團(tuán)或者脫口秀社團(tuán)的同學(xué)共有35名，結(jié)合扇形圖知：其占這五

試卷第1頁，共17頁

個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的35%,

所以高一加這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)為3急5=100名，故AD均錯(cuò)，

35%

脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占這五個(gè)社團(tuán)總比為2益0=20%,故B對(duì)，

參加這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占全年級(jí)人數(shù)的占比為黑=卷=8.33%,故C錯(cuò).故選：B

3.已知全集0=酊集合M={xeZ|x-l|<3},N={-4,-2,0,1,5},則下列花〃〃圖中

陰影部分的集合為（）

A.{0,1}B.{-3,1,4}C.{-1,2,3}D.{-1,0,2,3)

【答案】C

【分析】由給定條件求出集合M,再由Venn圖中陰影部分表示的意義求解即得.

【詳解】集合

M={xeZ||x-l|<31={xeZ|-3<x-l<3}={xeZ|-2<x<4}力-1,0,1,2,^,

Venn圖中陰影部分表示的集合是={-1,2,3}.故選：C

4.如圖，網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,粗的實(shí)線和虛線畫出的是某幾何體的

C.8D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，再計(jì)算即可

【詳解】根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，其底面面積

S=4x4-；x2x2-；x2x4-b2x4=6,高為4,故體積為展;x6x4=8

試卷第2頁，共17頁

5.函數(shù)〃x)=(x+"+：nx的大致圖象為()

【答案】C

【分析】根據(jù)特質(zhì)排除法和誘導(dǎo)公式可得答案.

x+l)~+sinx

【詳解】/")=

x2+l

-j+1]+sin(《)兀2

-------71

因?yàn)?(￡)=_4____專竺＜0,根據(jù)圖象可知，A和B不正

22

兀-17+4

+1—+1

4

確;

,〃(-7t+l)2+sin(-7t)

!兀2—2兀+1

因?yàn)榘艘粺o)=~/、，>0,根據(jù)圖象可知，D不正確.故選：C

(-兀)+17U2+1

6.曲線〃x)=(2x-l)sinx在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程為()

A.x+y=0B.x-y=0

C.x+y+l=0D.x-y+l=0

【答案】A

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)后計(jì)算導(dǎo)數(shù)值/'(0),再求得/(0)后，由斜截點(diǎn)斜式得直線方程

【詳解】/'(x)=2sinx+(2x-Dcosx,所以/'(0)=2sin0+(0-l)cos0=-I,又/(0)=0,

所以切線方程為y=-x,即x+y=0.故選：A.

試卷第3頁，共17頁

7.如圖，正方體力88-45￡0的棱長(zhǎng)為1,過點(diǎn)X作平面/田。的垂線，垂足為點(diǎn)

A.點(diǎn)，是4?。的垂心B.4”的延長(zhǎng)線經(jīng)過點(diǎn)G

C.AH_L平面C4RD.直線和所成的角為45。

【答案】D

【分析】根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)判斷A、B,根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷C,求出異面直線

所成角的正弦值判斷D.

對(duì)于A,因?yàn)槿忮F是正三棱錐，故頂點(diǎn)A在底面的射影是底面正48。的

中心，所以點(diǎn)〃是也是△48。的垂心，故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)槿忮FG-48。是正三棱錐，而//是底面的中心，故G，_L平面48。，

由己知得AH±平面AtBD,因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)H與平面A}BD垂直的直線有且只有一條,故A、

H、G三點(diǎn)共線，即力”的延長(zhǎng)線經(jīng)過點(diǎn)G，故B正確；

對(duì)于?,；媚〃42，皿=42,，品'24為平行四邊形，，。。〃84，

又8/]U平面48￡>,CR(Z平面48。，則CR平面

同理8Q平面48。，又CRu平面C8Q,8Qu平面C8Q,B^CDy=Dit

:.平面CBQ1平面48。，又AH_L平面48。，平面C'42，故C正確；

試卷第4頁，共17頁

對(duì)于D,?；BB、44，??.一①〃是直線4H和網(wǎng)所成的角,

在正月田。中，AtB=5/2,貝?。?//=J7x■^■x,

又Rj/0中，A4=l,:.血卬//=萼寫故D錯(cuò)誤.故選：D.

AAt32

8.過點(diǎn)（a,0）引直線/與曲線卜=^］二「相交于力、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB

的面積取最大值時(shí)，直線/的斜率等于（）.

A.—B.-立C.+—D.-73

333

【答案】B

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，用d的代數(shù)式表示再利用基本不等式求出

最大值即可.

【詳解】設(shè)直線/方程：x=my+6,如圖所示:

曲線y=7i=｝表示圓心為（。，0），半徑為1的半圓,

則原點(diǎn)（0,0）到直線x=my+>/2的距離d=,

Vl+w

???\AB\=2Ji-d2=2y/］-d2,

s3;?網(wǎng)

當(dāng)且僅當(dāng)d=VTN，即d=q時(shí)，s“陰有最大值9

此時(shí),m=±-73>

Vl+w22

此時(shí)直線斜率％='=土正，

m3

由圖可知，當(dāng)卜=3時(shí)，直線與半圓無交點(diǎn)，所以k=-3.故選：B

33

9.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為行，底面邊長(zhǎng)為2,則該四棱錐的內(nèi)切球的體積為（）

.4A/J4A/5兀_47i/—

A.—DB.——C.-D.4j3

3273

【答案】B

試卷第5頁，共17頁

【分析】求得四棱錐的高和斜高，利用等體積法求得內(nèi)切球的半徑，即可求得其體積.

【詳解】如圖，設(shè)O為正四棱錐的底面中心，E為BC的中點(diǎn)，連接,PO,OE,PE,

則PO為四棱錐的高，PE為側(cè)面三角形PBC的高，

因?yàn)?c=2,尸8=石，故尸E=JT萬=2，則尸。="二7=6，

設(shè)該四棱錐的內(nèi)切球的半徑為r,

則§,SABCD-P。=3(S“BCD+4SPBC)1")

BP-x4xV3=-(4+4x-x2x2)xr,解得，

3323

故內(nèi)切球的體積為(曰)3=室，故選：B

10.已知點(diǎn)不入分別為橢圓。]+/=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在直線

/:x=-a上運(yùn)動(dòng)，若/《奶的最大值為60。，則橢圓C的離心率是()

.1?「也門拒

A.~BR.~C.—D.—

3223

【答案】C

【分析】設(shè)直線孫，"鳥的傾斜角分別為“，B,陰(-“)(，>0),且《必瑪=夕-。，

利用差角正切公式、基本不等式求(tan4]A/E)a關(guān)于橢圓參數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合已知求

橢圓參數(shù)的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求離心率.

【詳解】由題意知，々(-c,0),g(c,0),直線/為x=-a,設(shè)直線/E，加&的傾斜角

分別為a,P,

由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)M為第二象限的點(diǎn)，即M(-aJ),(/>0),貝ljtana='一，

c-a

tan/=------.

c+a

???HMF?=p-a9

試卷第6頁，共17頁

tan/Tana二+2a

tanZFMF=tan(y5-cr)=

}22

1+tancrtanp1t

當(dāng)且僅當(dāng)f=Q,即f=6時(shí)取等號(hào)，又tanN￡A心得最大值為：=tan60。=石,

11.關(guān)于函數(shù)/（x）=75sin卜-?J+|sin*有下述四個(gè)結(jié)論:①/（x）的最小正周期為萬;

②“X）的最大值為1+JL③“X）的最小值為也；④〃x）在區(qū)間（上單調(diào)遞增;

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①②④B.①③④C.①③D.②④

【答案】B

【解析】由題意，當(dāng)xe[0,句時(shí),

cosx,,0,—,

XGL4)

/(x)=|sinx-cosA|+|sin.不進(jìn)而逐一判斷對(duì)錯(cuò)即可.

2sinx-cosx,xe—,71

4

【詳解】解：了=應(yīng)sin|x-?J和y=|sinx|的最小正周期均為乃,

+|sin*的最小正周期為7,故①正確;

cosx,x,0,—.

GL4)

當(dāng)XE[0,句時(shí)，/(x)=|sinx-cosA|4-|sin

2sinx-cosx,xG—,71

4

試卷第7頁，共17頁

當(dāng)xe0,?j時(shí)，/（x）在上單調(diào)遞減,〃x)e

當(dāng)xeR時(shí),/(x)=2sinx-cosx=V5sin(x-(p^其中tan0=

2

3=卜,.1可設(shè)/由一二4》一夕47，^-—+(p<x<—+(p,

2222

7r71

又T7丁婷展乃，

???/（x）在（，1+夕）上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

"卜）而=氐/（/=#，?.?②錯(cuò)誤，③正確；

??.（?，5卜，，5+。），,/（X）在（?，?上單調(diào)遞增，二④正確.故選：B.

12.已知e"=1.02,6=AO?-1,(而'=1.01，則()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=21n(x+l)-癡TT+l,xe|b,l],

/?(x)=ln(x+l)-S7，T+l,xe區(qū)1]利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合題意即可容易比較大

小.

【詳解】由題可得：a=lnl.02,c=21n1.01,

令/(x)=21n(x+l)-j4x+l+l,xe|0,11,貝----/2=2(.4x+^,

x+1V4x+1(x+l)v4x+l

當(dāng)xe[0,l]時(shí)，<4x+l>0,x+l>0,又(J4x+I)-(x+1)-=-x(x-2)>0,

貝IJQTT-X-I",即/'。）20,故〃X）在［0,1］單調(diào)遞增，〃x）2/（O）=O,

則當(dāng)x=0.01時(shí)，21n(1.01)-VT^+l>0,gp21n(1.01)>^/^(j4-l,c>b

令g)=In(x+1)一標(biāo)+Lxe[0,1],則“?=士-^=T=(=;J；]，

當(dāng)xe[0,l]時(shí)，V2x+1>0,x+l>0,X(V2X+1)2-(X+1)2=-X2<0,

則岳幣'4x+1,即/（x）W0,故〃（x）在［0,1］單調(diào)遞減，A（x）<A（0）=0,

故當(dāng)x=0.02時(shí)，lnl.02-5/T04+l<0,BPlnl.02<VL04-l.a<b;

綜上所述，Q<b<c.故選：A.

第II卷（非選擇題）

試卷第8頁，共17頁

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知同=5,問=8,且值與石的夾角為150',則@4=.

【答案】-20也

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義可直接求得結(jié)果.

【詳解】）石=|斗Wcosl5（T=5x8x［-曰］=-206.故答案為：一20分

\7

14.已知雙曲線C：工——士=1的離心率e=2,則雙曲線C的漸近線方程為

tn—12？

【答案】y=±y/3x

【分析】分焦點(diǎn)在X軸上和焦點(diǎn)在y軸上進(jìn)行討論即可求出結(jié)果.

【詳解】若焦點(diǎn)在y軸上，則加-1<0且2-時(shí)，加不存在，

若點(diǎn)在R軸上，貝?。菁右?>0且2—〃？>0,得1<加<2,e2=—~——=4=>/??=—,

tn-\4

所以〃=b=B,雙曲線漸近線的方程為"士"v.故答案為：尸士gx.

L2

15.一支醫(yī)療小隊(duì)由3名醫(yī)生和6名護(hù)士組成，將他們?nèi)糠峙涞饺裔t(yī)院，使每家醫(yī)

院分到醫(yī)生1名和護(hù)士1至3名，其中護(hù)士甲和護(hù)士乙必須分到同一家醫(yī)院，則不同的

分配方法有種.

【答案】684

【分析】先將護(hù)士和醫(yī)生分別分成三組，再將分好的三組護(hù)士和三組醫(yī)生安排到三家醫(yī)

院，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，分3步完成：

第一步：將6名護(hù)士分成3組，每組1至3人，其中護(hù)士甲和護(hù)士乙分到同一組，

若甲和乙一組，將其他4人分成2組即可，有;C；+C：=7種分組方法；

若甲乙組恰有3人,從其他4人中選1人分到甲乙組,剩下的3人分成2組，有4C；=12

種分組方法；

則護(hù)士有7+12=19種分組方法；

第二步：將3名醫(yī)生分成3組，每組1人，有1種分組方法；

第三步：將分好的三組護(hù)士和三組醫(yī)生安排到三家醫(yī)院，有人？；=6、6=36種安排方

法；

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得19x1x36=684種分配方法.故答案為：684.

試卷第9頁，共17頁

16.在ABC^p,內(nèi)角力，8,C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,a=4,3bcosA-acosC=ccosA,

點(diǎn)。在線段8c上，1BD=DC,過點(diǎn)。作。E248,DF1AC,垂足分別是E,F,

則。砂面積的最大值是.

【答案】處

81

【分析】先由%cos力-acosC=ccos/結(jié)合正弦定理求得cos/,sin/,再由余弦定理

2

可得加=16,結(jié)合不等式〃+c，222稅證得bcW12,又由28。=。。得

2

5”0=2$力和=§5少/，從而求得。E，DF,由此得。所面積的關(guān)于b,c的表達(dá)式，

進(jìn)而求得其最大值.

【詳解】因?yàn)榉纁os/-acosC=ccosA,所以由正弦定理得

3sinBcos-sinJcosC=sinCcosA,

則3sin8cos力=sinCcos/+sin力cosC=sir(4+g=si《兀-§=sin2,

因?yàn)?<8<九，所以sin8〉0,

所以cos力=：,貝!Isin/=馬旦，

33

2

222

由余弦定理可得a=b+c-2bccos/,即。2=〃+,2一§慶二16,

2

因?yàn)椤?C2*2A,所以2bc-§6cW16,則加412,當(dāng)且僅當(dāng)c=6=2行時(shí)，等號(hào)成立,

2

連結(jié)，因?yàn)?3。=。(7,所以44C0=力=,

所以Lb?D產(chǎn)=2X—exDE=-X—bex-^3,則DE=?近b,DF=48c,

2232399

則SA%=-DEDFsinNEDF=」DE.OFsinAbe

△團(tuán)2224381

三、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第

17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答）

（一）必考題：共60分

試卷第10頁，共17頁

17.在數(shù)列｛%｝中，a/=1,an=2anj+n-2(n>2).

⑴證明：數(shù)列｛〃"+〃｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛?！ǎ那皀項(xiàng)和Sn.

【答案】(1)證明見解析，4=2"-〃

⑵S.=2向—"2+；+4(〃eN*)

【分析】(1)根據(jù)定義法證明｛%+小是等比數(shù)列，然后求出數(shù)列｛“,,+〃｝的通項(xiàng)公式即

可得到｛g｝的通項(xiàng)公式

(2)根據(jù)｛q,,｝數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)先分組，再采用公式法求和即可

(2a”-i+"-2)+〃_2%+2"2

【詳解】(1)明：因?yàn)橐欢〔?/p>

%+"-13+〃-1

/.數(shù)列｛an+n｝是首項(xiàng)為al+l=2,公比為2的等比數(shù)列,

那么%+〃=22'T=2",即an=r-n.

(2)由(1)知5?=(2'+22+23+---2')-(1+2+3+--+?)

,J

_2x(1-2)HX(H+1)_+|w+n+4.

------------------------------------------------------Z------------------------(A?G/V)

1-222

18.如圖所示，在直三棱柱/8C-4耳G中，N8C/=90。，點(diǎn)片是4G的中點(diǎn),

BC=CA=2,CC,=1.

C

(1)求異面直線N片與C4所成角的余弦值；

(2)求直線AF,與平面BCCe所成的角.

【答案】(1)嚕；

嗚

【分析】(1)建立空間坐標(biāo)系，利用向量夾角公式即可得到結(jié)果；

(2)利用向量夾角公式即可得到直線AFt與平面BCCB所成的角.

【詳解】(1)如圖所示，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，以C/,CB,cq所在直線為x軸、y軸、？軸

試卷第11頁，共17頁

建立空間直角坐標(biāo),

由8C=C/=2,CC,=1,得4(2,0,0),8(0,2,0),G=(0,0,1),4=(2,0,1),8,=(0,2,1),

因?yàn)辄c(diǎn)耳是4G的中點(diǎn)，所以點(diǎn)(1,0,1),

所以西=(0,2,1),亞=(-1,0,1),

西.斯(0,2,1卜(-1,0,1)二

所以cos(函，否)=M

|CB'|.|^；|V5XV2-10

(2)因?yàn)樵谥比庵鵄BC-44G中，8用，平面/sc,ZCu平面N8C,

所以因?yàn)閆8C/=90。，所以8c1AC,

因?yàn)锽CCBB]=B,BC,BB\u平面BCQB、,

所以AC_L平面BCC、B,，所以第=(2,0,0)是平面BCC,B、的一個(gè)法向量，

7T

設(shè)直線"；與平面所成的角?！?,-,

貝!)疝0=卜05(福,卜二日，所以。=：,

所以直線g與平面BCC、B1所成的角為￡.

19.近些年來，學(xué)生的近視情況由高年級(jí)向低年級(jí)漫延，為調(diào)查某小學(xué)生的視力情況與

電子產(chǎn)品的使用時(shí)間之間的關(guān)系，調(diào)查者規(guī)定：平均每天使用電子產(chǎn)品累計(jì)5小時(shí)或連

續(xù)使用2小時(shí)定義為長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品，否則為非長(zhǎng)時(shí)間使用.隨機(jī)抽取了某小學(xué)的

150名學(xué)生，其中非長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的100名，長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的50名，調(diào)

查表明非長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生中有95人視力正常，長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生

中有40人視力正常.

(1)是否有99.5%的把握認(rèn)為視力正常與否與是否長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品有關(guān)？

(2)如果用這150名學(xué)生中，長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生和非長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生

視力正常的在各自范圍內(nèi)所占比率分別代替該校長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生和非長(zhǎng)時(shí)

間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生視力正常的概率，且每位學(xué)生視力正常與否相互獨(dú)立，現(xiàn)從該校

試卷第12頁，共17頁

學(xué)生中隨機(jī)抽取3人（2個(gè)非長(zhǎng)時(shí)間使用和1個(gè)長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品），設(shè)隨機(jī)變量X表

示“3人中視力正?！钡娜藬?shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附.八_______________________

/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

尸年溫）0.100.050.0250.010.005

k。2.7063.8415.0246.6357.879

【答案】⑴有

（2）2.7

【分析】（1）列出列聯(lián)表，計(jì)算/的值，比較后得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，求出X的可能取值為0,1,2,3,分別計(jì)算概率，得到分布列和期望即可.

【詳解】（1）根據(jù)題意，列出如下列聯(lián)表：

視力正常視力不正常總計(jì)

長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品401050

非長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品955100

總計(jì)13515150

…當(dāng)黑蔡察—.8”,

所以有99.5%的把握認(rèn)為視力正常與否與是否長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品有關(guān).

（2）長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品視力正常的概率是非長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品視力正常

的概率是9麗5=為19，由題意可知：X的可能取值為01,2,3,

/>(^=0)=(—)2xi=—!—；P(Z=1)=C'X—X—xl+(—)2x-=42

20520002202052052000

c/叱C、小1914,19，1513c?八/9、241444

P(X=2)=C>x—x—x—F(—x-=----?P(X=3)=(—)-x-二-----

22020520520002052000

所以X的分布列為:

X0123

1425131444

P

2000200020002000

試卷第13頁，共17頁

14251314445400_

貝(]E(X)=Ox+lx+2x+3x2.7.

20002000200020002000~

20.已知I直線x+2y-2=0過拋物線C:/=2力(p>0)的焦點(diǎn).

(1)求拋物線。的方程；

(2)動(dòng)點(diǎn)A在拋物線C的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A作拋物線C的兩條切線分別交x軸于M,N兩

點(diǎn)，當(dāng)/MN的面積是且時(shí)，求點(diǎn)”的坐標(biāo).

2

【答案】⑴/=49

⑵力(1,-1)或(-1,-1)

【分析】(1)求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),從而得到。=2,求出拋物線方程；

(2)設(shè)出力(加1),過點(diǎn)A的拋物線的切線方程設(shè)為了=-1+人(》-加)，與拋物線方程

聯(lián)立，根據(jù)△=()得到16/一16加左-16=0,設(shè)過點(diǎn)A的拋物線的兩條切線方程的斜率

分別為KA，求出勺+&=機(jī)，板2=-1，表達(dá)出|〃叫='-司=月-左I，

SM=1J/+4,列出方程上廂77=正，求出，”=±1，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)?

222

【詳解】⑴x+2y-2=0中令x=0得：y=l,

故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),故5=1，解得：P=2,故拋物線方程為》2=4y；

(2)拋物線準(zhǔn)線方程為：J=-l,

設(shè)義外-1),過點(diǎn)A的拋物線的切線方程設(shè)為y=T+Mx-M，

聯(lián)立得：x2—4kx+4km+4=0,

由A=16^-16^-16=0,設(shè)過點(diǎn)A的拋物線的兩條切線方程的斜率分別為人,左2，

故占+k2=m9k]k2=-i,

令y=-1+%(工一加)中，令y=0得：x=：+

不妨設(shè)西=；+機(jī)=；+加，^\MN\=\x^77^=l^2-A：|If

t-X2\=Y-Y-=

則SAMN=；|胸卜1=gh-%卜+儲(chǔ))2-映自=2+4=￡-,

解得：，"=±1,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為4(1,7)或(-1,-1).

21.已知函數(shù)/(》)=(》一4卜'-/+6》，g(x)=lnx-(a+l)x,a>-\.

⑴求/(x)的極值;

試卷第14頁，共17頁

⑵若存在國(guó)對(duì)任意的馬6乒4］,使得不等式g(x2)>/(xJ成立，求實(shí)數(shù)。的

取值范圍.(eJ~20.09)

【答案】⑴極大值-(ln2y+81n2-8,極小值為9-e，

【分析】(1)求出了(X),令/'(x)=0,得x=3或x=ln2,再列出xj'(x)J(x)的變化

關(guān)系表，根據(jù)表格和極值的概念可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)(1)求出“X)在［,3］上的最小值為"3)=9-小，則將若存在(41,3］,對(duì)

任意的》2?5，叫，使得不等式成立，轉(zhuǎn)化為〃+1<，*-9+=在卜2曾［

上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)/7。)=比二”《，xeFe2,^］,轉(zhuǎn)化為。+1</心濡，利用導(dǎo)

X

數(shù)求出〃(X)mm代入可得解

【詳解】(1)由/(x)=(x-4)e=/+6x,

^.f(x)=ex+(x-4)eI-2x+6=(x-3)e'-2x+6=(x-3)(ex-2),

令/'(x)=0,得x=3或x=In2,

x,f(x),f(x)的變化關(guān)系如下表：

X(—00,In2)In2(In2,3)3(3,+8)

(卜)+0——0+

/(X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

由表可知，當(dāng)x=ln2時(shí)，/(x)取得極大值，為

/(ln2)=(In2-4)eln2-(ln2)2+61n2=-(ln2)2+81n2-8,當(dāng)x=3時(shí)，/(x)取得極小值,

為〃3)=(3-4戶—32+18=9—e3.

(2)由(1)知，/(x)在［1,3］上單調(diào)遞減，所以當(dāng)xe［l,3］時(shí)，/(x)min=/(3)=9-^,

于是若存在對(duì)任意的X2e|>2,e］,使得不等式g(》2)>/(國(guó))成立，則

1內(nèi)-(.+1.>9-4">-1)在/,叫上恒成立，

試卷第15頁，共17頁

即°+1<巫等￡在后2?]上恒成立，

令/?(x)=Ex-9+e,》《『普?],貝I]a+1<〃。"府，

--x-(lnx-9+e3)10-e3+lnx

l(x)=^----------.-----------=—P

X

因?yàn)楣ぁ瓴?普3],所以inxe[2,3],10-e3+Inxe[12-e\13-e3],

因?yàn)閑〃20.09,所以13七=13-20.09=-7.09<0,所以〃

3

所以〃(x)單調(diào)遞減，故/,(x)min=A(e)=M/-9=1-^,

ee

于是a+l<l—r,得a<—r,又a>—1,

ee

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是卜，娟.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做

的第一題計(jì)分.

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]