新教材浙教版八年級(jí)下冊(cè)初中數(shù)學(xué)全冊(cè)教案

新教材浙教版八年級(jí)下冊(cè)初中數(shù)學(xué)全冊(cè)教案（教學(xué)設(shè)計(jì)）

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科目：【數(shù)學(xué)】

適用版本：【新教材浙教版】

適用范圍：【教師教學(xué)】

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第1章二次根式

1.1二次根式

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能

1.理解二次根式的概念。

2.使學(xué)生掌握用簡(jiǎn)單的一元一次不等式解決二次根式中字母的取值范圍.

過程與方法

1.經(jīng)歷探究二次根式意義的過程，并能觀察思考得出二次根式的特點(diǎn)。

2.通過探究，進(jìn)一步發(fā)展觀察、歸納、概括等能力。

3.培養(yǎng)與提高靈活運(yùn)用知識(shí)的能力、準(zhǔn)確計(jì)算能力以及語言表達(dá)能力。

情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.通過探究二次根式，讓學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。

2.通過探究，鼓勵(lì)學(xué)生敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，尊重與理解他人的見解，從交流中獲益。

3.通過對(duì)二次根式特點(diǎn)的歸納，提高學(xué)生的邏輯思維能力.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：二次根式的概念和二次根式有意義的條件。

難點(diǎn)：確定較復(fù)雜的二次根式中字母的取值范圍。

【教學(xué)過程】

知識(shí)回顧

求一求：（1）3的平方根是；

（2）3的算術(shù)平方根是;

（3）日有意義嗎？為什么？J5呢？

歸納：①一個(gè)正數(shù)有一個(gè)平方根，負(fù)數(shù);

②一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根可以表示為—。

情景導(dǎo)入

根據(jù)圖1.1-1的直角三角形、正方形和圓的條件，完成以下填空:

圖1.1-1

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直角三角形的斜邊長(zhǎng)是:正方形的邊長(zhǎng)是;圓的半徑是

學(xué)生寫出表示算術(shù)平方根的式子。問：你認(rèn)為所得的各代數(shù)式的共同特點(diǎn)是什么？

學(xué)生通過觀察，感知二次根式的特征，從而引出課題。

探究新知

1.二次根式的概念

引導(dǎo)學(xué)生概括二次根式的概念:像Vfl2+4,7^3,二這樣表示算術(shù)平方根的代

71

數(shù)式叫做二次根式。

2.深化二次根式的概念:

①提問：H,G+1是不是二次根式？呢？

②議一議：二次根式表示什么意義？此算術(shù)平方根的被開方數(shù)是什么？被開

方數(shù)必須滿足什么條件的二次根式才有意義？其中字母。需滿足什么條件？為什么？

經(jīng)學(xué)生討論后，讓學(xué)生回答，并讓其他學(xué)生點(diǎn)評(píng)。

③教師總結(jié)：強(qiáng)調(diào)二次根式根號(hào)內(nèi)字母的取值范圍必須滿足被開方數(shù)大于或等于0。

④鞏固練習(xí)一：下列式子，哪些是二次根式？

V5,J3x,y/—14,

3.講解例題

例1求下列二次根式中字母a的取值范圍:

(1)Ja+1；(2)J3—4a；(3)J-x.

教師提問，學(xué)生回答，教師板書解題過程。

①被開方數(shù)需滿足什么？

②由此可得怎樣的不等式?

例2求下列代數(shù)式中字母x的取值范圍:

-2

(2)⑶

2—3/2-x

可以轉(zhuǎn)化為解怎樣的不等式?

交流歸納，總結(jié)：二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)是——被開方數(shù)不小于0,當(dāng)

分母中有字母時(shí)，要保證分母不為0。

鞏固練習(xí)二：求下列二次根式中字母x的取值范圍。

,J—3%,V1—2x,J-(x-1)2

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例3當(dāng)44時(shí)，求二次根式Jl-2x的值。

教法：（1）引導(dǎo)學(xué)生回顧代數(shù)式的值的概念和如何求代數(shù)式的值。

（2）指出二次根式也是一種代數(shù)式，求二次根式的值與求其他代數(shù)式的值的方法相同.

鞏固練習(xí)三：當(dāng)x分別取下列值時(shí)，求二次根式j(luò)4—2x的值。

x=0；x=\；x=-l<>

例4一艘輪船先向東北方向航行2小時(shí)，再向西北方向航行f小時(shí)，船的航速是

25千米/時(shí)。

（1）用關(guān)于，的代數(shù)式表示船離出發(fā)地的距離。

（2）求當(dāng)仁3時(shí)，船離出發(fā)地多少千米？（精確到0.01千米）

教法：引導(dǎo)學(xué)生畫圖，讓學(xué)生注重?cái)?shù)形結(jié)合思想。

知識(shí)梳理

由學(xué)生總結(jié)，談一談：本節(jié)課你有什么收獲或困惑？教師適當(dāng)提問并補(bǔ)充。

一個(gè)概念:二次根式五'（a20）。

兩類題型:1.求代數(shù)式所含字母的取值范圍。

2.求二次根式的值。

三點(diǎn)注意:1.二次根式的雙重非負(fù)性右>0,a>0?

2.分母不能為0。

3.轉(zhuǎn)化思想。1.2二次根式的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷二次根式的性質(zhì)的探索過程，體驗(yàn)歸納、猜想的思想方法.

2.會(huì)運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解二次根式的性質(zhì).

難點(diǎn)：運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.

教學(xué)過程

1.引入新課

知識(shí)回顧：

動(dòng)動(dòng)腦筋：你能把一張三邊長(zhǎng)分別為石，石，亞的三角形紙片放入4x4方格內(nèi),

使它的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)上嗎？

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板書課題

1.正方形的邊長(zhǎng)是右.

參考圖1-2,完成以下填空:

你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

二次根式的性質(zhì)1：(Va)'=?(a>0).

2.填空：

V?~_______>|2|=；

7^5?=，|-5|=；

=_______,|o|=.

比較左右兩邊的式子，議一議：病與同有什么關(guān)系？當(dāng)生0時(shí)，;當(dāng)。

<0時(shí)，病=.

二次根式的性質(zhì)2：值=同=「(：之?：

'\-a{a<0).

例1計(jì)算：

(1)J(T0)2-(回2；

(2)[夜-"(-2)2].夜+2-.

例2計(jì)算：

3.我們繼續(xù)來探究二次根式的其他性質(zhì)：填空(可用計(jì)算器計(jì)算)

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J4>9=>V4xM=；

J4>5=x逐=；

Viooxo.oi=,ViooxV(LOT=

比較左右兩邊的等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

1.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：

積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積(各因式必須是非負(fù)數(shù))，即

?fab=4ax-Jb[a>0,b>0).

2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):

商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根(被除式必須是非負(fù)

數(shù)，除式必須是正數(shù))，即(a>0,h>0).

例3化簡(jiǎn):

(1)7121x225；⑵“2x7；(3)J|；(4)R

像J7,石,舊,右，后這樣，在根號(hào)內(nèi)不含分母，不含開得盡方的因數(shù)或因式，這

樣的二次根式我們就說它是最簡(jiǎn)二次根式.

例4化簡(jiǎn):

18).(-24)；⑵小臉；(3)70.001x0.5.

3.課堂小結(jié)

1二次根式的性質(zhì)：⑴(煬2=皿*0)

⑵行用

[-4(Q<0).

“)>0,/?>0),

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(4).^(a>0,b>0).

2.最簡(jiǎn)二次根式的特點(diǎn)：根號(hào)內(nèi)不含分母，不含開得盡方的因數(shù)或因式.

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1.3二次根式的運(yùn)算

課時(shí)1二次根式的乘除運(yùn)算

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解二次根式的運(yùn)算法則是由二次根式的性質(zhì)得到的.

2.會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的乘除運(yùn)算.

【教學(xué)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：二次根式的運(yùn)算法則.

難點(diǎn)：將二次根式的運(yùn)算結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根式.

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)引入

1.二次根式有哪些性質(zhì)？

2.化簡(jiǎn)下列二次根式：

疵，3g'K，a?

3.計(jì)算：VoJxVlO,

V3

教師根據(jù)二次根式的性質(zhì)公式引導(dǎo)學(xué)生思考二次根式的乘除運(yùn)算，進(jìn)而引入新課.

二、探究新知

1.例題教學(xué)

例1計(jì)算：(1)V2xy/6；(2)./l—xyl——；1』.

V3V10V1.3xl09

分析：(2)中一個(gè)二次根式的被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行運(yùn)算.

解：(1)V2x^6=42x6=>/\2=2V3.

2,二次根式乘除運(yùn)算的一般步驟：

(1)運(yùn)用法則，轉(zhuǎn)化為根號(hào)內(nèi)的實(shí)數(shù)運(yùn)算;

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（2）完成根號(hào)內(nèi)相乘、相除運(yùn)算;

（3）化簡(jiǎn)二次根式.

3.教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)教材P13例2.

二、鞏固練習(xí)

教材P14課內(nèi)練習(xí)第3題，學(xué)生完成后，出示答案.

三、課堂小結(jié)

（1）二次根式的乘除運(yùn)算法則:

y[axy/b=y[ab[a>Q,b>0）;

（）

忑Ya>0,b>0.

（2）注意：二次根式的乘除運(yùn)算中被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行運(yùn)算.

二次根式運(yùn)算的結(jié)果，如果能夠化簡(jiǎn)，那么應(yīng)把它化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式.

（3）運(yùn)用二次根式解決實(shí)際問題.

四、布置作業(yè)

教材P14作業(yè)題第1,2,4,6題.

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課時(shí)2二次根式的四則混合運(yùn)算

【教學(xué)目標(biāo)】

1.會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的四則混合運(yùn)算.

2.通過整式運(yùn)算的某些法則在二次根式四則運(yùn)算中的運(yùn)用，體驗(yàn)遷移、化歸等數(shù)學(xué)思

想.

【教學(xué)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：二次根式的四則混合運(yùn)算.

難點(diǎn)：二次根式的四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序.

【教學(xué)過程】

一、課題引入

計(jì)算2a——a——a

33

并回答問題：

（1）你是運(yùn)用什么知識(shí)解決上面的計(jì)算？（學(xué)生回答后，教師板書解題過程）

c12小12、

2a--a--a=（2------）a=a

3333

2V2--V2--V2=（2----）V2=V2

（2）上題中的〃若用'2替代，即：3333你

認(rèn)為運(yùn)算是否正確？

K教師歸納』我們發(fā)現(xiàn)整式中的合并同類項(xiàng)法則在二次根式的運(yùn)算中也適用.

猜想：那么整式中的其他運(yùn)算法則或運(yùn)算律或運(yùn)算順序是否也適用于二次根式的運(yùn)

算呢？（教師作肯定回答后）導(dǎo)出課題：二次根式的加減運(yùn)算.

二、探究新知

1.二次根式的加減運(yùn)算

教材P15例3化簡(jiǎn)：

啟發(fā)提問：⑴這是一道二次根式的什么運(yùn)算?能否適用合并同類項(xiàng)的方法進(jìn)行合并？

⑵上面的二次根式是否還可以化簡(jiǎn)?請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈幌?，再回答問題⑴（最

后教師板書解題過程）

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歸納：二次根式加減運(yùn)算之前,應(yīng)先化簡(jiǎn)二次根式，再把所含二次根式完全相同的項(xiàng)合

并成一項(xiàng).

2.練一練：化簡(jiǎn)：

3.二次根式的四則混合運(yùn)算

例計(jì)算：

⑴J27—3A/6x2V2,

(：-3揚(yáng)?新

⑵V8.

(3)(質(zhì)-同+6.

啟發(fā)提問：⑴第⑴題有哪些運(yùn)算?運(yùn)算順序是什么?系數(shù)-3和2如何處理？

⑵第⑵⑶題可否用運(yùn)算律？用到哪些運(yùn)算律？

⑶第⑵⑶題能否先做括號(hào)內(nèi)的?(教師板書解題過程)

學(xué)以致用：計(jì)算：

—V24-2-73xV2V3(l—V15^)—3./—

(1)2；⑵2

教師帶領(lǐng)學(xué)生一起學(xué)習(xí)教材例題.

教材P15例5計(jì)算：

(1)(2V2-373)(373+2V2),⑵(2-五)(3+2后).

提問:(1)這兩題的計(jì)算與整式中的什么運(yùn)算類似？

⑵第⑴題又有什么特征？(教師板書解題過程)

三、鞏固練習(xí)

計(jì)算：

(1)(1+V2)(2-V2)；(2)(3V5-5V2)；

四、課堂小結(jié)

1.二次根式的加減運(yùn)算：先化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式.

2.二次根式的四則混合運(yùn)算順序：先算乘除，再算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

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五、布置作業(yè)

教材P16作業(yè)題.

課時(shí)3二次根式及其運(yùn)算的應(yīng)用

【教學(xué)目標(biāo)】

1.會(huì)運(yùn)用二次根式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

2.進(jìn)一步體驗(yàn)二次根式及其運(yùn)算的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值.

【教學(xué)重難點(diǎn)】

重難點(diǎn)：二次根式及其運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用.

【教學(xué)過程】

一、課題引入

二次根式的知識(shí)在實(shí)際生活中有廣泛的用途.

h

如圖，我們規(guī)定斜坡的鉛直高h(yuǎn)與水平長(zhǎng)度/的比叫做坡比（或坡度），即坡比1=

C

已知斜坡的坡比為3:4,且其高CE=2dm,寬AB=1dm.一只螞蟻DT

h

從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，最短路程是多少?±

E

說明:設(shè)計(jì)本題有以下目的:

⑴介紹預(yù)備知識(shí)“坡比”;

⑵激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;

⑶會(huì)用二次根式表示未知量.在RtABCE中,BCRBE2+CE2.

二、應(yīng)用舉例

K例（教材P17例6）如圖，扶梯AB的坡比為1:0.8,滑梯CD的坡比為1:1.6,AE=|

m,BC^CD.一男孩從扶梯走到滑梯的頂部，然后從滑梯滑下，經(jīng)過的總路程是多少米（要

求先化簡(jiǎn)，再取近似值，結(jié)果精確到0.01m）?

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3

分析：由題意知BE:AE=1:0.8,AE=^m,所以BE=-2-=—(m).因?yàn)锽E=CF="m,

20.888

CF:FD=1:1.6,所以FD=1.6x—=3(m).由勾股定理，得

8

AB=ylAE2+BE2=^(1)2+(y)2=率(m),

22

CD=VCF+FD=廬)2+32=三晝(?1).因?yàn)锽C=|CD,所以Bcgx空羽=亞區(qū)m).所

V8822816

以這個(gè)男孩經(jīng)過的總路程約為AB+BC+CD=^+嚕+嚕=嗎巫R(shí)Tm）.

說明:以上的分析過程顯示了求解問題的格式化的程序，學(xué)生必須養(yǎng)成這樣的思維習(xí)

慣.

練習(xí)一：（教材P19作業(yè)題T3）

K例22（教材P17例7）如圖㈠是一張等腰直角三角形彩色紙,AC=BC=40cm.將斜邊上

的高CD四等分，然后截出3張寬度相等的長(zhǎng)方形紙條.

⑴分別求出3張長(zhǎng)方形紙條的長(zhǎng)度.

⑵若用這些紙條為一幅正方形美術(shù)作品鑲邊（紙條不重疊）,如圖㈡，正方形美術(shù)作品的

面積為多少平方厘米？

C

ADB

圖㈠圖㈡

分析:⑴①如圖㈠,從已知能得到什么？

在RtAABC中,CDJ_AB,AC=BC=40cm,易求得AB和CD的長(zhǎng)（讓學(xué)生求），則

CE3=E3F3=F3G3=G3D=ICD,紙條的寬度可求.

②怎樣求紙條的長(zhǎng)度？

紙條的總長(zhǎng)度=E|E2+F|F2+G|G2，怎樣求E|E2（讓學(xué)生想一想）？F|F2和G1G2呢？

由等腰三角形的性質(zhì)知E1E2=2CE3,FE=2CF3,GIG2=2CG3.

⑵如圖㈡，由⑴得紙條的總長(zhǎng)度為6072cm,它被四等分，則AC=15啦cm,它們所圍成的

正方形的邊長(zhǎng)AB=AC-BC,則這幅正方形美術(shù)作品的面積可求出.

三、布置作業(yè)

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教材P19作業(yè)題第2,4,5題.

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2.1一元二次方程

教學(xué)內(nèi)容

一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式及有關(guān)概念.

教學(xué)目標(biāo)

了解一元二次方程的概念；一般式以及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方

程的概念解決一些簡(jiǎn)單題目.

1.通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程的概念給一元二次方程下定義.

2.一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念.

3.解決一些概念性的題目.

4.通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

重難點(diǎn)

重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決

問題.

難點(diǎn)：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到

一元二次方程的概念.

教學(xué)過程

一、情景導(dǎo)入

學(xué)生活動(dòng)：列方程.

問題(1)古算趣題：“執(zhí)竿進(jìn)屋”

笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭.

有個(gè)鄰居聰明者，教他斜竿對(duì)兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足.

借問竿長(zhǎng)多少數(shù)，誰人算出我佩服.

如果假設(shè)門的高為x尺，那么這個(gè)門的寬為尺，長(zhǎng)為尺.

根據(jù)題意，得.

整理、化簡(jiǎn)，得.

二、探索新知

學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)口答下面問題.

(1)上面方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？

(2)按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它的最高次數(shù)是幾次？

(3)有等號(hào)嗎？還是與多項(xiàng)式一樣只有式子？

老師點(diǎn)評(píng)：(1)只含一個(gè)未知數(shù)x；(2)它的最高次數(shù)是2；(3)有等號(hào)，是方程.

因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)

是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式以2+6x+c=0

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3W0).這種形式叫做一元二次方程的一般形式.

一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成以2+bx+c=0(aW0)后，其中ox2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系

數(shù)；法是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).

例1把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和

常數(shù)項(xiàng).

(1)9必=54；⑵(2㈤(3x+4)=3.

例2已知一元二次方程2/+區(qū)+c=0的兩個(gè)根分別為為=2和X2=-3,求這個(gè)方程.

2

三、鞏固練習(xí)

判斷下列方程是否為一元二次方程？

(l)3x+2=5y-3；(2)x2-4；(4)^-4=(%+2)2；(5)ax2+bx+c=0.

x

四、應(yīng)用拓展

求證：關(guān)于x的方程(/-&〃+17)x2+2/〃x+1=0,不論取何值，該方程都是一元二次方程.

分析：要證明不論，"取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明蘇-8〃?+17#0即可.

證明：，“2-8，〃+17=(m-4)2+1.

V(/n-4)2^0,

.,.(m-4)2+l>0,即(*4)2+1r0,

不論，“取何值，該方程都是一元二次方程.

練習(xí)：1.方程(2a—4)/一2法+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下

此方程為一元一次方程？

2.當(dāng)初為何值時(shí)，方程⑺+1廿"2+273+5=0是關(guān)于x的一元二次方程

五、歸納小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，教師點(diǎn)評(píng))

本節(jié)課要掌握：

(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式以2+法+片0(“#0)和二次項(xiàng)、二次

項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的概念及其運(yùn)用.

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2.2一元二次方程的解法

教學(xué)目標(biāo)

會(huì)利用因式分解法、開平方法、配方法、公式法解一元二次方程；能利用一元二次方程

根的判別式判斷一元二次方程根的情況.

重難點(diǎn)

重點(diǎn)：四種一元二次方程的解法和一元二次方程根的判別式的意義.

難點(diǎn)：用因式分解法和配方法解一元二次方程.

教學(xué)過程

一、探究新知

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的有關(guān)概念，同學(xué)們還記得嗎？誰能說一說？

教師：我們知道“能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(或

根)”，那么我們?cè)趺辞笠辉畏匠痰慕饽兀?/p>

學(xué)生思考，教師引入新課.

二、例題導(dǎo)學(xué)

1.因式分解法

例1解下列方程：

(D/SRO.(2)25/=16.

解：(1)將原方程的左邊分解因式，得x(x-3)=0,則x=0,或x-3=0,解得由=0,也=3.

(2)移項(xiàng),得25/-16=0.將方程的左邊分解因式,得(5x-4)(5x+4)=0,則“4=0,

44

或5x+4=0,解得，%2=-y.

像上面這種利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.這種方法把解一個(gè)一

元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程.

例2解下列一元二次方程：

(l)(x-5)(3x-2)=10.

(2)(3x-4)2=(4x-3)2.

學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視、指導(dǎo).

2.開平方法

一般地，對(duì)于形如產(chǎn)=。320)的方程，根據(jù)平方根的定義，可得*1=布，*2=-八.這種

解一元二次方程的方法叫做開平方法.

例3用開平方法解下列方程：

(1)3x2-48=0.(2)(2X-3)2=7.

解：⑴移項(xiàng)，得3/=48.方程的兩邊同除以3,得/=16.解得制=4,及=-4.

(2)由原方程，得2x4=百，或然-3=-近，解得x尸過正，尬=三區(qū).

22

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3.配方法

將一元二次方程的左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊為一個(gè)非負(fù)數(shù)，然后用開平方法求

解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

例4用配方法解下列一元二次方程：

(1)x2+6r=1.(2)x2+5x-6=0.

解：(1)方程的兩邊同加上9,得/+6X+9=1+9,即(1+3)2=10.則］+3="。,或x+3=?JiU,

解得汨=-3+，16,X2=-3-Vio.

(2)移項(xiàng)，得3+546?方程的兩邊同加上§)2,得f+5x+g)2=6+($2,即(x+》2=?.

5757

貝ljx+—=—,或X+—=,解得汨=1,X2=-6.

2222

4.公式法

(l)ar2—7x+3=0.⑵加+云+3=0.

(3)如果這個(gè)一元二次方程是一般形式以2+公+片03/0),你能否用上面配方法的步驟求

出它們的兩根，請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問題.

問題：已知a/+〃x+c=0(aW0),試推導(dǎo)它的兩個(gè)根xi=北上—"-4〃c,%2=

2a

』一,伊一4ac(這個(gè)方程一定有解嗎?什么情況下有解？)

2a

解：移項(xiàng)，得ax2+bx=?c.

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得好+巳b戶.上c.

aa

、bb、cb、

配方，得/+—x+(——)2=--+(——)2,

a2'aa2a

.b、，h2-4ac

n即n(x+丁六------

2a4a~

A2—4ac

V4tz2>0,當(dāng)時(shí),

4a2

/6、2/JU-4ac、2

(x+—)-=(-------------------------)2,

2a2a

byjb2-4ac日n-h±y1b2-4ac

直接開平方，得*+丁=±---------------,u|JX------------------------

2a2a2a

._-b+yjb2-4ac-b-\Jb2-4ac

??X[-------------------,X2=----------------------

2a2a

由上可知，一元二次方程加+bx+c=0(aH0)的根由方程的系數(shù)小〃，c?而定，因此:

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(1)解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式以2+公+,=0,當(dāng)加-4碇20時(shí)，將。，

b,c代入式子x=-b±7'-4ac就得到方程的根.(公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)過

2a

的六種運(yùn)算，力口、減、乘、除、乘方、開方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性)

(2)這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

例5用公式法解下列一元二次方程：

、31

(2)4x2+l=-4x；(3)—x2-2x--=0.

42

5)±

解：(1)對(duì)方程2f-5x+3=0,a=2,b=-5,c=3,b2-4〃c=(-5)2-4x2x3=l,：.x=^^=—9

2x24

(2)移項(xiàng)，得4/+以+1=0,則。=4/=4,c=l/2-4〃c=42~4x4xl=0,二,“丘=」

2x42

2

??Xj=%2=—

2

(3)方程的兩邊同乘4,得.則。=3/=-8,c=-2/2-4oc=(-8)2-4x3x(-2)=88,

?_4+V22_4-V22

??x-,?X1=-，x

2x32=-~

從一元二次方程以2+法+-0(〃金0)的求根公式的推導(dǎo)過程中不難看出，方程的根的

情況由代數(shù)式爐4/C的值來決定.因此岳-4〃c叫做一元二次方程的根的判別式，它的值與

一元二次方程的根的關(guān)系是：

於-4a>0則方程or2+Zzx+c=0(qW0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

〃2?4。。=0貝！J方^,ax2+bx+c=0(aW0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

b2-4ac<0則方程a￥2+〃x+c=0(q豐0)沒有實(shí)數(shù)根.

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2.3一元二次方程的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生在經(jīng)歷運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題的過程中體會(huì)一元二次方程的應(yīng)用價(jià)

值.

2.在運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題的過程中，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

重難點(diǎn)

重點(diǎn)：建立一元二次方程模型解決實(shí)際問題.

難點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成一元二次方程模型.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

1、回顧：不解一元二次方程，你如何判斷根的情況？

2、復(fù)習(xí)列方程解應(yīng)用題的一般步驟：

(1)審題：仔細(xì)閱讀題目，分析題意，明確題目要求，弄清已知數(shù)、未知數(shù)以及它們之

間的關(guān)系；

(2)設(shè)未知數(shù)：用字母(如x)表示題中的未知數(shù)，通常是求什么量，就設(shè)這個(gè)量為x；

(3)列方程：根據(jù)題中已知量和未知量之間的關(guān)系列出方程；

(4)解方程：求出所給方程的解：

(5)檢驗(yàn)：既要檢驗(yàn)所求方程的解是否滿足所列出的方程，又要檢驗(yàn)它是否能使實(shí)際問

題有意義；

(6)作答：根據(jù)題意，選擇合理的答案.

二、講解例題

例1某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，每盆花的盈利與每盆株數(shù)構(gòu)成一定的

關(guān)系.當(dāng)每盆植入3株時(shí)，平均單株盈利3元；以同樣的栽培條件，若每盆每增加1株，平均單

株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利為10元，則每盆應(yīng)植多少株？

分析：本題涉及的主要數(shù)量有每盆的花苗株數(shù)，平均單株盈利，每盆花苗的盈利，主要

數(shù)量關(guān)系有：平均單株盈利x株數(shù)=每盆盈利；平均單株盈利=3-0.5x每盆增加的株數(shù).

解：設(shè)每盆花苗增加x株，則每盆花苗有(3+x)株，平均單株盈利為(3-0.5%)元.

由題意，得(x+3)(3-0.5%)=10.

化簡(jiǎn)、整理，得f-3x+2=0.

解這個(gè)方程，得汨=1,及=2.

經(jīng)檢驗(yàn)，xi=l,及=2都是方程的解，且符合題意.

答：要使每盆的盈利為10元，則每盆應(yīng)植入4株或5株.

教師：想一想，列一元二次方程解應(yīng)用題的基本步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題相同

嗎？列一元二次方程解應(yīng)用題時(shí)，你認(rèn)為有哪些地方更需引起注意？

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學(xué)生：列一元二次方程解應(yīng)用題的基本步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題相同.列一元二

次方程解應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)該注意求出來的根是否滿足題意.

教師引導(dǎo)做教材P40例2和教材P41例3.

三、課堂小結(jié)：

列一元二次方程解決實(shí)際問題的步驟，審、設(shè)、找、歹h解、檢、答，注意一定要檢驗(yàn)

求出的根是否滿足題意.

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2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

教學(xué)目標(biāo)

1、了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)用.

2、能通過對(duì)根與系數(shù)關(guān)系的探索，提高代數(shù)推理的能力與意識(shí).

教學(xué)重難點(diǎn)

1.了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)用.

2.能通過對(duì)根與系數(shù)關(guān)系的探索，提高代數(shù)推理的能力與意識(shí).

教學(xué)設(shè)計(jì)

探索發(fā)現(xiàn)

觀察下表，你能發(fā)現(xiàn)下列一元二次方程根與系數(shù)有什么關(guān)系嗎？

ax2+Z?x+c=OXIX2

W—3x+2=012

元2+3%+2=0-1-2

x2-5%+6=023

x2+5尤+6=0-2-3

X2-3X=003

解釋規(guī)律

你能解釋剛才的發(fā)現(xiàn)嗎？

一元二次方程分2+bx+c=O(aWO),如果加一4〃C20,它的兩個(gè)根分別是X”x?.

總結(jié)發(fā)現(xiàn)

一元二次方程如果加一4〃c20,它的兩個(gè)根分別是汨，了2.

bc

那么X]+方=---,玉?/=一?

aa

例題精講

11

例1設(shè)X”X2是一元二次方程5d-7x-3=0的兩個(gè)根，求》『+及2和一+一的值.

X|x2

例2已知一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是3,它的兩個(gè)根分別是:，1.寫出這個(gè)方程.

嘗試與交流

小明在一本課外讀物中讀到如下一段文字：

“一元二次方程/一*=0的兩個(gè)根分別是2+6和2-6”，

你能寫出這個(gè)方程中被墨跡污染的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)嗎？

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達(dá)標(biāo)練習(xí)

教材P46課內(nèi)練習(xí)第1,2題.

課堂小結(jié)

1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x”X2是一元二次方程以2+灰+c=0的兩個(gè)根,

那么X|+X2=b；X'X2~C,

aa

2.運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，先要把方程化成一般形式.

3.運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要特別注意，方程有實(shí)根的條件，即當(dāng)且僅

當(dāng)加一4小?0時(shí)，才能運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

課后作業(yè)

適當(dāng)補(bǔ)充針對(duì)性練習(xí).

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3.1平均數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能

1.在實(shí)際情境中理解平均數(shù)的概念和意義，會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).

2.理解加權(quán)平均數(shù)的意義，會(huì)進(jìn)行加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算.

過程與方法

初步經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、加工整理的過程，能利用算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)解決一些實(shí)際

問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

情感、態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生互相合作與交流的能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

教學(xué)重點(diǎn)

算案平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的意義和計(jì)算方法.

教學(xué)難點(diǎn)

算采平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法.

教學(xué)設(shè)計(jì)

一.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題.

圖片欣賞

（出示課件：水果在收獲前，果農(nóng)常會(huì)先估計(jì)果園里果樹的產(chǎn)量，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣估計(jì)

呢？）

二,啟發(fā)誘導(dǎo)，探索新知.

］合作學(xué)習(xí)

某果農(nóng)種植的100棵蘋果樹即將收獲.果品公司在付給果農(nóng)定金前，需要對(duì)這些果樹的蘋

果總產(chǎn)量進(jìn)行估計(jì).

（1）果農(nóng)任意摘下20個(gè)蘋果，稱得這20個(gè)蘋果的總質(zhì)量為4千克.這20個(gè)蘋果的平均質(zhì)量是

多少千克？

（2）果農(nóng)從100棵蘋果樹中任意選出10棵，數(shù)出這10棵蘋果樹上的蘋果數(shù)，得到以下數(shù)據(jù)

（單位:個(gè)）：

154,150,155,155,159,150,152,155,153,157.你能估計(jì)出平均每棵樹的蘋果

個(gè)數(shù)嗎？

（3）根據(jù)上述兩個(gè)問題，你能估計(jì)出建100棵蘋果樹的蘋果總產(chǎn)量嗎？

2.引出平均數(shù)的概念，平均數(shù)用符號(hào)工表示，讀做“X拔”，計(jì)算平均數(shù)的公式

-1,

x=-（x+x+-+x）.

ni2n

指出：在實(shí)踐中，常用樣本的平均數(shù)來估計(jì)總體的平均數(shù).例如，在上面的例子中，用

20個(gè)蘋果的平均質(zhì)量0.2千克來估計(jì)100棵蘋果樹上蘋果的平均質(zhì)量，用10棵蘋果樹的平均蘋

果個(gè)數(shù)（154個(gè)）來估計(jì)100棵蘋果樹的平均蘋果個(gè)數(shù).

3.完成教材P54做一做.

三、學(xué)以致用，體驗(yàn)成功.

1.例題講解

例1統(tǒng)計(jì)一名射擊運(yùn)動(dòng)員在某次訓(xùn)練中15次射擊的中靶環(huán)數(shù)，獲得如下數(shù)據(jù)：

6,7,8,7,7,8,10,9,8,8,9,9,8,10,9.

方法（一）：直接根據(jù)平均數(shù)的意義來計(jì)算，這里的王，々，…，x"指的是什么？〃等

于多少？

方法（二）：15個(gè)數(shù)據(jù)中有幾個(gè)6,幾個(gè)7,幾個(gè)8,幾個(gè)9,幾個(gè)10?〃=15與這些相同數(shù)

的個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？所求的平均數(shù)i的算式還可以寫成怎樣的算式？

2.由上例中的方法（二）概括出加權(quán)平均數(shù)的概念和權(quán)的意義.

3.例題講解

例2某校在一次廣播體操比賽中，801班，802班，803班的各項(xiàng)得分如下表.

||服裝統(tǒng)一|動(dòng)作整齊|動(dòng)作灌贏

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801班808487

802班987880

803班908283

(1)如果根據(jù)三項(xiàng)得分的平均數(shù)從高到低確定名次，那么三個(gè)班的排名順序怎樣？

(2)如果學(xué)校認(rèn)為這三個(gè)項(xiàng)目的重要程度有所不同，而給予“服裝統(tǒng)一”“動(dòng)作整齊”

“動(dòng)作準(zhǔn)確”三個(gè)項(xiàng)目在總分中所占的比例分別為15%,35%,50%,那么三個(gè)班的排名順

序又怎樣？

分析：(1)求算術(shù)平均數(shù).(2)涉及加權(quán)平均數(shù)，不妨以801班為例，表中相應(yīng)的3個(gè)數(shù)據(jù)為

再=80,超=84,七=87,給定三個(gè)項(xiàng)目的權(quán)的比為15：35：50,即表示工：&：力=

15：35：50,因此可設(shè)工=15k,=35k?f3=50k(k>0),加權(quán)平均數(shù)

-15Ax80+35火x84+50左x8715x80+35x84+50x87八、

X=-------------------------=----------------------=84.9(分).

15k+35k+5Qk15+35+50

4.完成教材P56課內(nèi)練習(xí)第1,2題.

四、總結(jié)回顧，反思內(nèi)化.

1.學(xué)習(xí)了平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，會(huì)計(jì)算平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù).

2.會(huì)用樣本的平均數(shù)來估計(jì)總體的平均數(shù).

五、作業(yè)

教材P57作業(yè)題第1,2,4,5,6題.

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3.2中位數(shù)和眾數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能

理解中位數(shù)、眾數(shù)的概念和意義，會(huì)求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù).

過程與方法

通過數(shù)據(jù)的整理與分析，體會(huì)統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)思想.

情感態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生互相合作與交流的能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

教學(xué)重點(diǎn)

理解中位數(shù)、眾數(shù)的概念和意義，會(huì)求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù).

教學(xué)難點(diǎn)

求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù).

教學(xué)設(shè)計(jì)

1.情境創(chuàng)設(shè)

(1)課本提供的情境，是為了說明“平均數(shù)”不能準(zhǔn)確反映“平均水平”，教學(xué)中也可設(shè)

計(jì)其他的情境，只要一組數(shù)據(jù)中，個(gè)別數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)有很大的差異即可.

(2)結(jié)合課本中的“討論”，還可選用以下的情境：一家鞋店在一段時(shí)間內(nèi)銷售了某種女

鞋111雙，其中各種尺碼的鞋銷售量如下:

尺碼373839404142

雙數(shù)5104030206

這些數(shù)據(jù)的平均數(shù)約等于39.6碼，中位數(shù)等于39.5碼.事實(shí)上，根本就不存在39.6碼和3

9.5碼的鞋子，此時(shí)平均數(shù)和中位數(shù)并沒有什么意義.在這個(gè)問題中，鞋店比較關(guān)心什么？

2.探索活動(dòng)

通過探索活動(dòng)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到此時(shí)平均數(shù)和中位數(shù)并沒有什么意義，從而引進(jìn)眾數(shù).一

般來說，商店應(yīng)多進(jìn)眾數(shù)所對(duì)應(yīng)的尺碼的鞋子.為了便于學(xué)生理解眾數(shù)的概念，可考慮補(bǔ)充

一些應(yīng)用眾數(shù)的實(shí)例.

3課堂探討

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的關(guān)系？

平均數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的一種常用指標(biāo)，反映了這組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)的平均大小.

中位數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的另一種指標(biāo)，如果將一組數(shù)據(jù)按由小到大的順序排列(有相等

的數(shù)據(jù)也要全部參加排列)，那么中位數(shù)的左邊和右邊恰有一樣多的數(shù)據(jù).

眾數(shù)告訴我們，這個(gè)值出現(xiàn)的次數(shù)最多.一組數(shù)據(jù)可以有不止一個(gè)眾數(shù)，也可以沒有眾

數(shù).

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)從不同的側(cè)面概括了一組數(shù)據(jù)，我們應(yīng)根據(jù)不同情況，選擇這一

個(gè)指標(biāo)中的一個(gè)作為一組數(shù)據(jù)的代表.

4.例題教學(xué)

例1某工程咨詢公司技術(shù)部門員工一月份工資報(bào)表如下(單位：元).

技術(shù)部總工工程技術(shù)技術(shù)技術(shù)技術(shù)技術(shù)技術(shù)技術(shù)見習(xí)

員工程師師員A員B員C員D員E員F員G生H

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工資1000060004000400030002800280028002400800

(1)求該公司技術(shù)部員工一個(gè)月工資的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

(2)作為一般技術(shù)員，若考慮該公司技術(shù)部門工作，該如何看待工資情況？

5.小結(jié)

(1)一般地，設(shè)有"個(gè)數(shù)據(jù)，首先將這"個(gè)數(shù)據(jù)由小到大(或由大到小)的順序排列.

若〃是奇數(shù)