建筑力學(xué)(第三講)

建筑力學(xué)（主干課）東南大學(xué)繼續(xù)教育主講教師：張平

zhangping@

第3講4-3、平面彎曲時梁的撓度與截面轉(zhuǎn)角計算（1）、積分法求梁的變形對其積分一次：根據(jù)撓曲線的近似微分方程：再對其積分一次：積分常數(shù)C、D需根據(jù)梁在支承處的邊界條件以及撓曲線的連續(xù)性和光滑性條件來確定。原理：先用積分法分別計算出每個荷載單獨作用時梁的轉(zhuǎn)角和撓度，再求出它們的代數(shù)和，即為梁在所有荷載共同作用下的轉(zhuǎn)角和撓度。（2）、用疊加法求梁的變形（3）、變形比較法求解超靜定梁的應(yīng)用圖示連續(xù)梁為一次超靜定體系。豎向有三個未知反力，應(yīng)用靜力平衡方程無法全部求出?？紤]體系受約束限制，變形的趨勢是在三個豎向支座處的豎向位移即撓度均為零：利用梁變形的相關(guān)概念，選取相應(yīng)的基本體系如圖。1）在荷載與反力RC共同作用下yC=02）在荷載與反力RB共同作用下yB=0例2-3-11作連續(xù)梁的內(nèi)力圖。EI是常數(shù)。解：1)由疊加法求梁的變形可知在荷載與反力RC共同作用下yC=0的情況相對求解簡單。yC=0可按照圖示分解，應(yīng)用已有的疊加法表求解。2)由疊加法求梁的變形3)由疊加法求q和RC共同作用時的彎矩圖簡單圖形的慣性矩（對截面形心軸）矩形（或平行四邊形）：水平軸為Z軸，寬度b，高度h：圓形：圓環(huán)形：其中：圓環(huán)形極慣性矩：五、平面圖形的幾何性質(zhì)六、組合變形

組合變形：受力構(gòu)件產(chǎn)生的變形是由兩種或兩種以上的基本變形組合而成的。土木工程常見組合變形的類型：（A）斜彎曲（B）拉伸（壓縮）與彎曲組合

---偏心拉伸（壓縮）先分解----應(yīng)先分解為各種基本變形，分別計算各基本變形。后疊加----將基本變形計算某量的結(jié)果疊加即得組合變形的結(jié)果。計算方法：彈性范圍小變形情況下梁在發(fā)生彎曲變形時，其彎曲平面（即撓曲軸線所在平面）將與外力的作用平面相重合，這種彎曲叫做平面彎曲。

外力所在平面與變形曲線所在平面不重合的彎曲稱為斜彎曲。

6-1、斜彎曲變形的應(yīng)力和強度計算斜彎曲研究方法：首先將外力分解為在梁的二形心主慣性平面內(nèi)的分量，然后分別求解由每一外力分量引起的梁的平面彎曲問題，將所得的結(jié)果疊加起來，即為斜彎曲問題的解答。

兩個互相垂直方向的平面彎曲的組合受力特點：外力垂直桿軸且通過形心但未作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。變形特點：桿軸彎曲平面與外力作用平面不重合。平面彎曲斜彎曲（1）、強度計算：Ⅱ.內(nèi)力計算：Ⅰ.外力分解：應(yīng)力計算：

最大應(yīng)力：D1點：D2點：強度條件：撓度：正方形PPzPy新的中性軸

（2）、梁在斜彎曲時荷載作用平面、撓曲線平面不重合。產(chǎn)生新的中性軸平面。6-2、軸向拉伸（或壓縮）與彎曲的組合變形計算

桿件同時受橫向力和軸向力的作用而產(chǎn)生的變形為拉（壓）彎組合變形PxzPMzxzPMzMyyy內(nèi)力：N=P,M=Pe概念---受力特點：外力與桿軸線平行但不重合變形特點：軸向拉壓與純彎曲組合的變形（1）、單向偏心壓縮的應(yīng)力計算：例6-2圖示為一廠房的牛腿柱，設(shè)由房頂傳來的壓力P1=100KN，由吊車梁傳來壓力P2=30KN，已知e=0.2m，b=0.18m，問截面邊h為多少時，截面不出現(xiàn)拉應(yīng)力。并求出這時的最大壓應(yīng)力。解：1.求內(nèi)力：

2.求應(yīng)力：M=P2e=6KN.m

N=P1+P2=100+30=130KNP169-8-6解：n-n截面：形心在60mm處例6-1（2）、雙向偏心拉伸（壓縮）的應(yīng)力計算外力作用線與桿軸線平行，且作用點不在截面的任何一個形心主軸上，而且位于Z、Y軸的距離分別為和的某一點K處。這類偏心稱為雙向偏心拉（壓）。下圖為雙向偏心拉伸：Ⅰ、軸向力P的作用：Ⅱ、的作用：Ⅲ、的作用：強度條件：在雙向偏心拉（壓）時，桿件橫截面上任一點正應(yīng)力計算方法與單向偏心拉（壓）類似。

PxzPMzxzPMzMy矩形柱的雙向偏心壓縮：yy+矩形柱截面橫向尺寸b、h矩形柱的橫截面軸心受壓，各點壓應(yīng)力相同：繞Z軸彎曲，橫截面Y軸正向半截面受壓：繞Y軸彎曲，橫截面Z軸正向半截面受壓：橫截面上的最大壓應(yīng)力點就是危險點：例6-2

廠房的牛腿柱受到吊車豎向輪壓力P=220kN，屋面架傳至柱頂?shù)乃搅=8kN，水平風(fēng)荷載q=1kN/m的作用，P力的作用線離底部柱的中心線的距離e=40mm，柱子底部截面尺寸為1mX0.3m，計算底部危險點的應(yīng)力。mmePFq3m6.5m解：1）組合變形內(nèi)力分析qFPPe右側(cè)受壓右側(cè)受壓左側(cè)受壓受壓①②③④①2）組合變形應(yīng)力分析②③④3）組合變形危險點在柱底部的右側(cè)例6-3廠房牛腿柱截面偏心受壓如圖，試求柱的最大壓應(yīng)力。長邊=900mm，短邊=400mm，屋架傳遞水力平F=10kN，吊車豎向輪壓P=210kN，其作用線離底部柱的中心線偏心距e=40mm，計算柱橫截面危險點的應(yīng)力。H=12m。hmmePbm---meFP作用點HP例6-4圓形截面水塔柱如圖，水塔外徑D=2m，壁厚為0.5m，高度25m。風(fēng)荷載q=1kN/m，水塔滿水時的重力P=1800kN。材料的[σ]=8Mpa，校核其強度。q七、需注意的相關(guān)問題7-1、材料的性質(zhì)（1）、塑性材料與脆性材料的確定為塑性材料；為脆性材料延伸率：（2）、材料力學(xué)性能的指標屈服強度；抗拉強度；材料強度指標：（脆性材料僅有此項）材料塑性指標:斷后延伸率（伸長率）斷面收縮率塑性材料極限應(yīng)力:（屈服極限）脆性材料極限應(yīng)力:（強度極限）塑性材料的危險應(yīng)力---屈服極限。脆性材料的危險應(yīng)力---強度極限。（3）、材料的極限應(yīng)力（4）、低碳鋼的拉伸實驗的四個階段及相應(yīng)特征指標a)彈性階段：sp——材料的比例極限（應(yīng)力）se——材料的彈性極限（應(yīng)力）b)屈服階段：ss——材料的屈服極限（應(yīng)力）c)強化階段：——材料的強化極限（應(yīng)力）sbd)頸縮破壞階段（5）、鑄鐵的拉伸實驗及相應(yīng)特征指標強度極限為鑄鐵拉斷時的最大應(yīng)力。應(yīng)力與應(yīng)變不成比例，無屈服、頸縮現(xiàn)象，變形很小且sb很低。（6）、卸載定律及冷作硬化（屈服階段以后）1、彈性范圍內(nèi)卸載、再加載2、過彈性范圍卸載、再加載即材料在卸載過程中應(yīng)力和應(yīng)變是線形關(guān)系，這就是卸載定律。材料的比例極限增高，脆性增加，延伸率降低，稱之為冷作硬化或加工硬化（退火可消除）。7-2、切應(yīng)力互等定理：

該等式表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。---切應(yīng)力互等定理

a’c’d’dxb’dy′′

在圖示的單元體中有：（2）、剪切胡克定律：

當切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（τ≤τp)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系：

對于各向同性材料有：（1）、切應(yīng)力互等定理7-3、壓桿穩(wěn)定（1）、壓桿穩(wěn)定與壓桿失穩(wěn)破壞

細長桿件承受軸向壓縮載荷作用時，將會由于平衡的不穩(wěn)定性而發(fā)生失效，這種失效稱為穩(wěn)定性失效，又稱為屈曲失效。（2）、壓桿的穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡F橫向擾動F橫向擾動穩(wěn)定平衡——若干擾力撤消，直桿能回到原有的直線狀態(tài)不穩(wěn)定平衡——若干擾力撤消，直桿不能回到原有直線狀態(tài)理想壓桿：材料絕對純，軸線絕對直,壓力絕對沿軸線平衡構(gòu)形—壓桿的兩種平衡形態(tài)

(equilibriumconfiguration)PkPk（3）、判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準則

P<Pk:在擾動作用下，直線平衡形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶庑螒B(tài)，擾動除去后，能夠恢復(fù)到直線平衡形態(tài)，則稱原來的直線平衡形態(tài)是穩(wěn)定的。（staticalcriterionforelasticstability）P>Pk:在擾動作用下，直線平衡形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶庑螒B(tài)，擾動除去后，不能恢復(fù)到直線平衡形態(tài)，則稱原來的直線平衡形態(tài)是不穩(wěn)定的。PPkA.剪切變形的影響可以忽略不計B.不考慮桿的軸向變形①兩端鉸支軸心受壓細長直桿兩端固定鉸支的細長桿，軸心受壓，桿長L，EI為已知。設(shè)桿長二分之一處有受壓后撓度。建立如圖坐標系。（4）、桿端約束對細長壓桿臨界力的影響2一端固定另端絞支C為拐點

lkPl7.01兩端固定

lkPD2lkPll3一端固定另端自由μ(柔度系數(shù)factoroflength)②歐拉公式Pk歐拉公式(Eulerformula)③桿端約束對壓桿臨界力的影響---臨界應(yīng)力在線彈性范圍內(nèi)④壓桿的臨界應(yīng)力公式（臨界應(yīng)力歐拉公式）壓桿受臨界力Pk作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡時，橫截面上的壓應(yīng)力可按

=P/A計算。按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應(yīng)力為：為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑工程實際中，常將圖形對某軸的慣性矩，表示為圖形面積與某一長度平方的乘積，即式中iz、iy分別稱定義為平面圖形對z軸和y軸的慣性半徑，常用單位為米（m）或毫米（mm)。慣性半徑(radiusofgyrationofanarea)稱為壓桿的柔度（長細比）。反映壓桿長度，桿端約束，截面尺寸和形狀對臨界應(yīng)力的影響。

越大，相應(yīng)的k越小，壓桿越容易失穩(wěn)。相當長度（equivalentlength)

l

的物理意義(5)、壓桿的臨界應(yīng)力（Criticalstress)總圖根據(jù)柔度的大小可將壓桿分為三類:Ⅰ.大柔度桿或細長桿

壓桿將發(fā)生彈性屈曲.此時壓桿在直線平衡形式下橫截面上的正應(yīng)力不超過材料的比例極限.

當

≥

p（大柔度壓桿或細長壓桿（slendercolumn)）時，應(yīng)用歐拉公式?；颌?中長桿

壓桿亦發(fā)生屈曲.此時壓桿在直線平衡形式下橫截面上的正應(yīng)力已超過材料的比例極限.截面上某些部分已進入塑性狀態(tài).為非彈性屈曲.不能用歐拉公式需應(yīng)用經(jīng)驗公式。A.直線型經(jīng)驗公式

P<

<

S

時：bass-=sl

PPEspl2

=臨界應(yīng)力總圖（totaldiagramofcriticalstress)我國建筑業(yè)常用：

P<

<

s

時：o經(jīng)驗公式B.拋物線型經(jīng)驗公式臨界應(yīng)力總圖（totaldiagramofcriticalstress)Ⅲ.粗短桿

壓桿不會發(fā)生屈曲.

S<

時：此時壓桿不會發(fā)生屈曲,視為軸向受壓變形。①影響壓桿承載能力的因素:Ⅰ.細長桿影響因素較多,與彈性模量E，截面形狀，幾何尺寸以及約束條件等因素有關(guān)。Ⅱ.中長桿影響因素主要是材料常數(shù)a和b，以及壓桿的長細比及壓桿的橫截面面積。Ⅲ.粗短桿影響因素主要取決于材料的屈服強度和桿件的橫截面面積。（6）提高壓桿穩(wěn)定性的措施壓桿的合理截面②提高壓桿承載能力的主要途徑

為了提高壓桿承載能力，必須綜合考慮桿長、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影響?？赡艿拇胧┯幸韵聨追矫妫孩?盡量減少壓桿桿長對于細長桿，其臨界荷載與桿長平方成反比。因此，減少桿長可以顯著地提高壓桿承載能力，在某些情形下，通過改變結(jié)構(gòu)或增加支點可以達到減小桿長從而提高壓桿承載能力的目的。兩種桁架中的①、④桿均為壓桿，但圖b中壓桿承載能力要遠遠高于圖a中的壓桿。支承的剛性越大，壓桿長度系數(shù)值越低，臨界載荷越大。如，將兩端鉸支的細長桿，變成兩端固定約束的情形，臨界載荷將呈數(shù)倍增加。Ⅱ.增強支承的剛性當壓桿兩端在各個方向彎曲平面內(nèi)具有相同的約束條件時,壓桿將在剛度最小的平面內(nèi)彎曲.這時如果只增加截面某個反方向的慣性矩,并不能提高壓桿的承載能力,最經(jīng)濟的辦法是將截面設(shè)計成空的,且盡量使從而加大截面的慣性矩.并使截面對各個方向軸的慣性矩均相同.因此,對一定的橫截面面積,正方形截面或圓截面比矩形截面好,空心截面比實心截面好.Ⅲ.合理選擇截面形狀當壓桿端部在不同的平面內(nèi)具有不同的約束條件時,應(yīng)采用最大與最小慣性矩不等的截面,并使慣性矩較小的平面內(nèi)具有較強剛性的約束.在其他條件均相同的條件下，選用彈性模量大的材料，可以提高細長壓桿的承載能力。例如鋼桿臨界載荷大于銅、鑄鐵或鋁制壓桿的臨界載荷。但是，普通碳素鋼、合金鋼以及高強度鋼的彈性模量數(shù)值相差不大。因此，對于細長桿，若選用高強度鋼，對壓桿臨界載荷影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費。Ⅳ合理選用材料

對于粗短桿或中長桿，其臨界載荷與材料的比例極限或屈服強度有關(guān)，這時選用高強度鋼會使臨界載荷有所提高。例7-1

圖示各桿材料和截面均相同，試問哪一根桿能承受的壓力最大，哪一根的最小？aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a因為又可知（1）桿承受的壓力最小，最先失穩(wěn)；（3）桿承受的壓力最大，最穩(wěn)定。壓桿穩(wěn)定問題中的長細比反應(yīng)了桿的尺寸，（）和（）對臨界壓力的綜合影響。截面形狀約束例7-2

兩根細長壓桿a與b的長度、橫截面面積、約束狀態(tài)及材料均相同，若其橫截面形狀分別為正方形和圓形，則二壓桿的臨界壓力Fak和Fbck的關(guān)系為（）。A.Pak=Pbk；B.Pak＜FPk；C.Pak＞Pbk；D.不確定C例7-3

材料和柔度都相同的兩根壓桿（）。A.臨界應(yīng)力一定相等，臨界壓力不一定相等；B.臨界應(yīng)力不一定相等，臨界壓力一定相等；C.臨界應(yīng)力和壓力都一定相等；D.臨界應(yīng)力和壓力都不一定相等。A例7-4

圖示兩端鉸支壓桿的截面為矩形。當其失穩(wěn)時（）。A.臨界壓力Pk＝π2E