應(yīng)用隨機(jī)過程課程設(shè)計(jì)-綜述

HarbinInstituteofTechnology課程設(shè)計(jì)〔論文〕課程名稱：應(yīng)用隨機(jī)過程設(shè)計(jì)題目：通信系統(tǒng)中的隨機(jī)過程院系：電子與信息技術(shù)研究院班級：通信工程一班設(shè)計(jì)者：學(xué)號：指導(dǎo)教師：田波平設(shè)計(jì)時(shí)間：2023-12-20哈爾濱工業(yè)大學(xué)摘要通信系統(tǒng)中用于表示信息的信號不可能是單一確實(shí)定的，而是具有不確定性和隨機(jī)性的。這種具有不確定性，隨機(jī)性的信號即稱為隨機(jī)信號。同時(shí)通信系統(tǒng)中存在各種干擾和噪聲，這些干擾和噪聲的波形更具有隨機(jī)性，是不可預(yù)測的。我們稱其為隨機(jī)干擾，或者隨機(jī)噪聲。盡管隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲都是不可預(yù)測的，隨機(jī)的，，但是它們具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。研究隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)工具是隨機(jī)過程理論，隨機(jī)過程是隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲的數(shù)學(xué)模型。隨機(jī)過程是與時(shí)間相關(guān)的隨機(jī)變量，在確定的時(shí)刻它是隨機(jī)變量。隨機(jī)過程的具體取值稱作其實(shí)現(xiàn)〔樣函數(shù)〕，是時(shí)間函數(shù)，所有實(shí)現(xiàn)構(gòu)成的集合稱作隨機(jī)過程的樣本函數(shù)空間，所有樣本函數(shù)空間及其統(tǒng)計(jì)特性即構(gòu)成了隨機(jī)過程。我們可以對通過研究隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性的探究，來研究隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的分析。關(guān)鍵字：隨機(jī)過程、通信系統(tǒng)、線性系統(tǒng)1.通信中研究隨機(jī)過程的重要性通信就是互通信息。從這個(gè)意義上說，通信在遠(yuǎn)古時(shí)代就已經(jīng)存在。人之間的對話是通信，用手勢表達(dá)情緒也可以算通信。以后用烽火傳遞戰(zhàn)事情報(bào)是通信，快馬與驛站傳送文件也是通信。但是現(xiàn)在的通信一般指的是電信，國際上稱為遠(yuǎn)程通信(telecommunication)，即通過電信號或者光信號傳送信息。圖1是通信系統(tǒng)模型。從信息論的角度來說，通信的過程就是不確定度減小的過程。而不確定性就是過程的隨機(jī)性，所以從這個(gè)角度來說通信過程的研究可以歸結(jié)到對于隨機(jī)過程特性的研究過程。圖1通信系統(tǒng)模型從圖中可以看到，通信系統(tǒng)中用于表示信息的信號不可能是單一確實(shí)定的，而是具有不確定性和隨機(jī)性的。這種具有不確定性，隨機(jī)性的信號即稱為隨機(jī)信號。同時(shí)通信系統(tǒng)中存在各種干擾和噪聲，這些干擾和噪聲的波形更具有隨機(jī)性，是不可預(yù)測的。我們稱其為隨機(jī)干擾，或者隨機(jī)噪聲。盡管隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲都是不可預(yù)測的，隨機(jī)的，，但是它們具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。研究隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)工具是隨機(jī)過程理論，隨機(jī)過程是隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲的數(shù)學(xué)模型。隨機(jī)過程整個(gè)學(xué)科的理論根底，最早是由柯爾莫哥洛夫和杜布奠定的。這一學(xué)科最早源于對物理學(xué)的研究，如吉布斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對統(tǒng)計(jì)力學(xué)的研究，及后來愛因斯坦、維納、萊維等人對布朗運(yùn)動的開創(chuàng)性工作。1907年前后，馬爾可夫研究了一系列有特定相依性的隨機(jī)變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。1923年維納給出布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)定義，直到今日這一過程仍是重要的研究課題。隨機(jī)過程一般理論的研究通常認(rèn)為開始于20世紀(jì)30年代。1931年，柯爾莫哥洛夫發(fā)表了《概率論的解析方法》，1934年A·辛飲發(fā)表了《平穩(wěn)過程的相關(guān)理論》，這兩篇著作奠定了馬爾可夫過程與平穩(wěn)過程的理論根底。1953年，杜布出版了名著《隨機(jī)過程論》，系統(tǒng)且嚴(yán)格地表達(dá)了隨機(jī)過程根本理論。隨機(jī)過程的概念很廣泛，因而隨機(jī)過程的研究幾乎包括概率論的全部。雖然不能給出一個(gè)有用而又狹窄的定義，但是概率論工作者在使用隨機(jī)過程這個(gè)術(shù)語時(shí)，通常想到的是其隨機(jī)變量具有某種有意義的相互關(guān)系的隨機(jī)過程，例如，獨(dú)立性就是這樣一種關(guān)系。在提出隨機(jī)過程這個(gè)術(shù)語之前，獨(dú)立變量序列就是研究了很長時(shí)間的一類隨機(jī)過程。由于歷史上的原因，一般不把這樣的序列看做是隨機(jī)過程。2.編碼過程中隨機(jī)過程理論的重要作用在通信系統(tǒng)中，編碼過程分為信源編碼和信道編碼兩種，信源編碼是為了壓縮信息之間的相關(guān)性，最大限度提高傳信率，目的在于提高通信效率；而信道編碼那么相反，通過引入相關(guān)性，使信息具有一定的糾錯(cuò)和檢錯(cuò)的能力從而提高傳輸信息的可靠性。對于信源編碼，實(shí)現(xiàn)降低相關(guān)性有兩種途徑，一種是信源概率分布均勻化，另一種是信源獨(dú)立化。從概率論和隨機(jī)過程的角度來說，概率分布均勻化就是每個(gè)事件發(fā)生的概率大致相同，這樣就會使每個(gè)信源攜帶的信息量根本相同，那么不確定性就到達(dá)最大，即傳輸過程中產(chǎn)生的信息量就最大；類似的信源獨(dú)立化是通過對信源進(jìn)行擴(kuò)展到達(dá)的，通過信源的高次擴(kuò)展，是擴(kuò)展信源中每個(gè)符號出現(xiàn)的概率大致相同，這樣也實(shí)現(xiàn)信息量最大化。對于信道編碼，由于信道中存在隨機(jī)噪聲，或者隨機(jī)干擾，使得經(jīng)過信道傳輸后所接收到的碼元與發(fā)送碼元之間存在差異，這種差異就是傳輸產(chǎn)生的過失。一般，信道噪聲，干擾越大，碼元產(chǎn)生過失的概率也就越大。所以信道編碼的任務(wù)就是構(gòu)造出以最小冗余度代價(jià)換取最大抗干擾性能的碼字組合。從信道編碼的構(gòu)造方法看，其根本思路是根據(jù)一定的規(guī)律在待發(fā)送的信息碼中參加一些人為多余的碼字。這些碼字的引入時(shí)信息之間具有相關(guān)性，雖然降低了信息所能攜帶的信息量，但是通過相關(guān)性可以克服由于隨機(jī)噪聲引入的誤碼情況。3.線性系統(tǒng)中的隨機(jī)過程通信的目的在于傳輸信號，信號和系統(tǒng)總是聯(lián)系在一起的。通信系統(tǒng)中的信號或噪聲一般都是隨機(jī)的，因此在以后的討論中我們必然會遇到這樣的問題：隨機(jī)過程通過系統(tǒng)〔或網(wǎng)絡(luò)〕后，輸出過程將是什么樣的過程？這里，我們只考慮平穩(wěn)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的情況。隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的根底之上的。我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)vo(t)等于輸入信號vi(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即式〔1〕假設(shè)線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，那么式〔2〕如果把vi(t)看作是輸入隨機(jī)過程的一個(gè)樣本，那么vo(t)可看作是輸出隨機(jī)過程的一個(gè)樣本。顯然，輸入過程ξi(t)的每個(gè)樣本與輸出過程ξo(t)的相應(yīng)樣本之間都滿足式〔1〕的關(guān)系。這樣，就整個(gè)過程而言，便有式〔3〕假定輸入ξi(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，現(xiàn)在來分析系統(tǒng)的輸出過程ξo(t)的統(tǒng)計(jì)特性。我們先確定輸出過程的數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度，然后討論輸出過程的概率分布問題。1〕輸出過程ξo(t)的數(shù)學(xué)期望對式〔3〕兩邊取統(tǒng)計(jì)平均，有式〔4〕化簡得：E［ξo(t)］=a·H(0)由此可見,輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且E［ξo(t)］與t無關(guān)2〕輸出過程ξo(t)的自相關(guān)函數(shù)式〔5〕式〔6〕根據(jù)平穩(wěn)性：E［ξi(t1-α)ξi(t1+τ-β)］=Ri(τ+α-β)可有：Ro(t1,t1+τ)=h(α)h(β)Ri(τ+α-β)dαdβ=Ro可見,ξo(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時(shí)間間隔τ而與時(shí)間起點(diǎn)t1無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)證明，假設(shè)線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。所以平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)之后仍是平穩(wěn)隨機(jī)過程，這在通信系統(tǒng)分析中非常重要，例如高斯白噪聲通過線性系