高中階段12種常見函數(shù)的圖像及其性質

高中階段12種常見函數(shù)的圖像及其性質匯報人：XXX2024-01-22目錄函數(shù)概念與基本性質一次函數(shù)與二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)與反三角函數(shù)冪函數(shù)與分式函數(shù)超越函數(shù)與其他特殊函數(shù)CONTENTS01函數(shù)概念與基本性質CHAPTER函數(shù)定義設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。函數(shù)的表示方法解析法、列表法和圖象法。函數(shù)定義及表示方法單調性一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1<x2時都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；當x1<x2時都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。奇偶性設函數(shù)y=f（x）的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有x∈D，且f(-x)=-f(x)，則這個函數(shù)叫做奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。函數(shù)單調性與奇偶性反函數(shù)與復合函數(shù)一般地，如果x與y關于某種對應關系f（x）相對應，y=f（x），則y=f（x）的反函數(shù)為y=f^(-1)(x)。存在反函數(shù)的條件是原函數(shù)必須是一一對應的（不一定是整個數(shù)域內的）。反函數(shù)設函數(shù)y=f(u)的定義域為Du，值域為Mu，函數(shù)u=g(x）的定義域為Dx，值域為Mx，如果Mx∩Du≠?，那么對于Mx∩Du內的任意一個x經(jīng)過u；有唯一確定的y值與之對應，則變量x與y之間通過變量u形成的一種函數(shù)關系，這種函數(shù)稱為復合函數(shù)，記為：y=f[g(x)]。復合函數(shù)02一次函數(shù)與二次函數(shù)CHAPTER性質斜率k決定了直線的傾斜程度。一次函數(shù)在整個定義域內都是連續(xù)的。截距b決定了直線在y軸上的位置。圖像：一次函數(shù)的圖像是一條直線。當斜率k>0時，直線從左至右上升；當k<0時，直線從左至右下降。一次函數(shù)圖像及性質二次函數(shù)圖像及性質系數(shù)a決定了拋物線的開口方向和寬度。性質圖像：二次函數(shù)的圖像是一個拋物線。當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下。系數(shù)b和c共同決定了拋物線的位置。二次函數(shù)的對稱軸是x=-b/2a，頂點坐標可以通過公式求得。

二次函數(shù)最值問題最值存在性由于二次函數(shù)圖像是一個拋物線，因此在其定義域內必然存在最大值或最小值。最值求解二次函數(shù)的最值發(fā)生在其對稱軸上，即x=-b/2a處。將x值代入原函數(shù)即可求得最值y。應用二次函數(shù)最值問題在實際生活中有廣泛應用，如求解最大利潤、最小成本等優(yōu)化問題。03指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)CHAPTER

指數(shù)函數(shù)圖像及性質指數(shù)函數(shù)的一般形式為$y=a^x$，其中$a>0$且$aneq1$。指數(shù)函數(shù)的圖像是一條從原點出發(fā)，隨著$x$的增大而無限增大的曲線。當$a>1$時，曲線上升；當$0<a<1$時，曲線下降。指數(shù)函數(shù)的性質包括：過定點$(0,1)$；在定義域內單調；當$a>1$時，函數(shù)值隨著$x$的增大而增大；當$0<a<1$時，函數(shù)值隨著$x$的增大而減小。對數(shù)函數(shù)的一般形式為$y=log_a{x}$，其中$a>0$且$aneq1$。對數(shù)函數(shù)的圖像是一條從負無窮大出發(fā)，隨著$x$的增大而無限增大的曲線。當$a>1$時，曲線上升；當$0<a<1$時，曲線下降。對數(shù)函數(shù)的性質包括：過定點$(1,0)$；在定義域內單調；當$a>1$時，函數(shù)值隨著$x$的增大而增大；當$0<a<1$時，函數(shù)值隨著$x$的增大而減小。對數(shù)函數(shù)圖像及性質03指數(shù)對數(shù)混合方程求解根據(jù)題目特點，靈活運用指數(shù)和對數(shù)的性質和運算法則進行求解。01指數(shù)方程求解通過兩邊取對數(shù)或者換元法等方法，將指數(shù)方程轉化為代數(shù)方程進行求解。02對數(shù)方程求解通過消去對數(shù)或者換底公式等方法，將對數(shù)方程轉化為代數(shù)方程進行求解。指數(shù)對數(shù)方程求解04三角函數(shù)與反三角函數(shù)CHAPTER正弦函數(shù)$y=sinx$圖像為周期性的波浪線，周期為$2pi$，振幅為1，值域為$[-1,1]$。余弦函數(shù)$y=cosx$圖像為周期性的波浪線，周期為$2pi$，振幅為1，值域為$[-1,1]$。正切函數(shù)$y=tanx$圖像為周期性的不連續(xù)曲線，周期為$pi$，值域為$R$（除去間斷點）。三角函數(shù)圖像及性質反正弦函數(shù)$y=arcsinx$圖像為單調遞增的曲線，定義域為$[-1,1]$，值域為$[-frac{pi}{2},frac{pi}{2}]$。反余弦函數(shù)$y=arccosx$圖像為單調遞減的曲線，定義域為$[-1,1]$，值域為$[0,pi]$。反正切函數(shù)$y=arctanx$圖像為單調遞增的曲線，定義域為$R$，值域為$(-frac{pi}{2},frac{pi}{2})$。反三角函數(shù)圖像及性質$sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny$，$cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny$。和差化積公式$sinxcosy=frac{1}{2}[sin(x+y)+sin(x-y)]$，$cosxsiny=frac{1}{2}[sin(x+y)-sin(x-y)]$。積化和差公式$sin2x=2sinxcosx$，$cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x$。倍角公式$sinfrac{x}{2}=pmsqrt{frac{1-cosx}{2}}$，$cosfrac{x}{2}=pmsqrt{frac{1+cosx}{2}}$。半角公式三角恒等式變換技巧05冪函數(shù)與分式函數(shù)CHAPTER冪函數(shù)的一般形式為y=x^n，其中n為實數(shù)。冪函數(shù)的導數(shù)可以通過求導公式得到，即y'=nx^(n-1)。當n>0時，冪函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，且隨著x的增大而增大；當n<0時，冪函數(shù)的圖像也經(jīng)過原點，但隨著x的增大而減小。冪函數(shù)具有可加性、可乘性和可微性，但不具有可積性（除非n=-1）。冪函數(shù)圖像及性質010204分式函數(shù)圖像及性質分式函數(shù)的一般形式為y=(ax+b)/(cx+d)，其中a、b、c、d為常數(shù)，且ad-bc≠0。分式函數(shù)的圖像通常是一個雙曲線，其中心位于點(-d/c,a/c)。分式函數(shù)的導數(shù)可以通過求導公式得到，即y'=(ad-bc)/(cx+d)^2。分式函數(shù)具有可加性、可乘性和可微性，但不具有可積性。03對于形如x^n=a/b或a/b=x^n的冪分式方程，可以先將其轉化為標準形式，然后利用換元法或配方法求解。配方法：通過配方將原方程轉化為完全平方形式，然后利用開平方法進行求解。換元法：令y=x^n，將原方程轉化為關于y的整式方程進行求解。在求解過程中需要注意定義域和值域的限制，以及解的實際意義。冪分式方程求解方法06超越函數(shù)與其他特殊函數(shù)CHAPTER如正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等，其圖像是周期性的波浪線。三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)如自然指數(shù)函數(shù)e^x，其圖像是遞增的指數(shù)曲線。如自然對數(shù)函數(shù)ln(x)，其圖像是遞增的對數(shù)曲線。030201超越函數(shù)簡介及圖像展示如x^n(n為實數(shù))，其圖像根據(jù)n的取值不同而有所變化。冪函數(shù)如雙曲正弦、雙曲余弦等，其圖像類似于三角函數(shù)但具有不同的性質。雙曲函數(shù)一種擴展了階乘概念到實數(shù)和復數(shù)的特殊函數(shù)，其圖像具有遞增性質。伽馬函數(shù)其他特殊函數(shù)簡介及圖像展示