微積分定積分在幾何中應(yīng)用

(二)定積分在幾何中的應(yīng)用(1)求平面圖形的面積由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于由函數(shù)y=f(x)，x=a，x=b和軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和。由此可知通過(guò)求函數(shù)的定積分就可求出曲邊梯形的面積。例如：求曲線和直線x=l，x=2及x軸所圍成的圖形的面積。分析：由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于由曲線和直線，及軸所圍成的圖形的面積。所以該曲邊梯形的面積為(2)求旋轉(zhuǎn)體的體積(I)由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(a<b)及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為。(Ⅱ)由連續(xù)曲線y=g(y)與直線y=c、y=d(c<d)及y軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為。(III)由連續(xù)曲線y=f(x)()與直線x=a、x=b(<b)及y軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為。例如：求橢圓所圍成的圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。分析：橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)體可以看作是上半橢圓，與x軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)體可以看作是右半橢圓，與y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為(3)求平面曲線的弧長(zhǎng)(I)、設(shè)曲線弧由參數(shù)方程給出其中在上連續(xù)，那么該曲線弧的長(zhǎng)度為。(Ⅲ)設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為，其中在上連續(xù)，那么該曲線弧的長(zhǎng)度為。例如：求曲線從x=l到x=e之間一段曲線的弧長(zhǎng)。解：，于是弧長(zhǎng)微元為，。所以，所求弧長(zhǎng)為：。一、在幾何中的應(yīng)用(一)微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用(1)求曲線切線的斜率由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線等于過(guò)該點(diǎn)切線的斜率。即，由此可以求出曲線的切線方程和法線方程。例如：求曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線方程和法線方程。分析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所求切線的斜率為：，所以，所求切線的方程為y-l=2(x一1)，化解得切線方程為2x-y-1=0。又因?yàn)榉ň€的斜率為切線斜率的負(fù)倒數(shù)，所以，所求法線方程為，化解得法線方程為2y+x-3=0。(2)求函數(shù)值增量的近似值由微分的定義可知，函數(shù)的微分是函數(shù)值增量的近似值，所以通過(guò)求函數(shù)的微分可求出函數(shù)值增量的近似值。