中考數(shù)學(xué)10道必考典型壓軸題詳解

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中考數(shù)學(xué)10道必考典型壓軸題詳解

一、動點型問題：

例1.(基礎(chǔ)題)如圖，已知拋物線y=x2-2x-3與x軸從左至右分別交于A、

B兩點，與y軸交于C點,頂點為D.

(1)求與直線BC平行且與拋物線只有一個交點的直線解析式；

(2)若線段AD上有一動點E,過E作平行于y軸的直線右拋赳在干F當(dāng)錯

段EF取得最大值時，求點E的坐標(biāo).、|/

變式練習(xí)：(2012?杭州模擬)如圖，已知拋物線y=a(x-1)2+W5(a#0)經(jīng)

過點A(-2,0),拋物線的頂點為D,過O作射線OMHAD.過頂點D平行

于x軸的直線交射線OM于點C,B在x軸正半軸上，連接BC.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若動點P從點O出發(fā)，以每秒I個長度單位的速度沿射線OM運動，設(shè)

點P運動的時間為t(s).問：當(dāng)t為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊

形？直角梯形？等腰梯形？

(3)若OC=OB,動點P和動點Q分別從點。和點B同時出發(fā)，分別以每秒

I個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運動,當(dāng)其中一個點停止運動

時另一個點也隨之停止運動設(shè)它們運動的時間為t(s),連接PQ,當(dāng)t為何值

時，四邊形BCPQ的面積最小？并求出最小值.

（4）在（3）中當(dāng)t為何值時，以。，P,Q為頂點的三角形與±OAD相仞?

（直接寫出答案）

蘇州中考題：（2015年?蘇州）如圖，在矩形4比。中，AD=acm,AB=bcm

（a>6>4）,半徑為2s的。。在矩形內(nèi)且與AB.4。均相切.現(xiàn)有動點P

從4點出發(fā)，在矩形邊上沿著4一的方向勻速移動，當(dāng)點"到達。點

時停止移動；0。在矩形內(nèi)部沿4。向右勻速平移，移動到與。相切時立即沿

原路按原速返回，當(dāng)。?；氐匠霭l(fā)時的位置（即再次與48相切）時停止移動.已

知點P與。。同時開始移動，同時停止移動（即同時到達各自的終止位置）.

（1）如圖①,點P尿AB-C-D,全程共移動了―6（用含a、6的代

數(shù)式表示）；

（2）如圖①,已知點戶從4點出發(fā)，移動25到達8點，繼續(xù)移動3s,到達

8c的中點.若點P與。。的移動速度相等,求在這5$時間內(nèi)圓心。移動的距

/

2

（3）如圖②，已知a=20,b=10.是否存在如下情形：當(dāng)。。到達。a的位

置時（此時圓心Q在矩形對角線BD上）,OP與。Q恰好相切？請說明理由.

二、幾何圖形的變換（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）

例2.（遼寧省鐵嶺市）如圖所示,已知在直角梯形048C中，AB\\OC.BC1.

*軸于點C,4（1,8（3,1）.動點戶從。點出發(fā)，沿*軸正方向以每

秒1個單位長度的速度移動.過戶點作PQ垂直于直線OA,垂足為Q.設(shè)夕

點移動的時間為f秒（0<r<4）,0PQ與直角梯形O48U重疊部分的面積為

S.

（1）求經(jīng)過a48三點的拋物線解析式；

（2）求5與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）將，8Q繞著點"順時針旋轉(zhuǎn)90。，是否存在f,使得-。門Q的頂點?；?/p>

Q在拋物線上?若存在，直接寫出，的值；若不存在，請說明理由.

3

變式練習(xí)：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=3x+m與x軸、y

4

2

軸分別交于點A和點B(0,-1),拋物線：/=Ax+bx+,:經(jīng)過點B,且與直線I

另一個交點為C(4,n).

圖1圖2

(1)求n的值和拋物線的解析式；

(2)點D在拋物線上，且點D的橫坐標(biāo)為t(0vt<4).DEliy軸交直線I于

點E,點F在直線I上，且四邊形DFEG為矩形(如圖2).若矩形DFEG的周

長為P,求P與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；

(3加是平面內(nèi)一點［酎AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。后得到,

點A、O、B的對應(yīng)點分別是點Ai*Oi.Bi.若AiOiBi的兩個頂點恰好落在

拋物線上，請直接寫出點Ai的橫坐標(biāo).

蘇州中考題：(2014-2015學(xué)年第一學(xué)期期末?高新區(qū))如圖1,在平面直角坐

標(biāo)系xOy中，直線/:y=：x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B(0,-1),

拋物線y=；x2+bx+c經(jīng)過點B,且與直線/的另一個交點為C(4,n).

(1)求n的值和拋物線的解析式；

(2)點D在拋物線上，且點D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4).DEIIy軸交直線/于點

E,點F在直線/上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2).若矩形DFEG的周長為

P,求P與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；

(3)將'AOB在平面內(nèi)經(jīng)過一定的平移得到AiOaBi,點A、。、B的對應(yīng)點

分別是點Ai、Oi、B「若，AOiBi的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出

點A1的橫坐標(biāo)為.

三、相似與三角函數(shù)問題

例3.(四川省遂寧市)如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點"0,1石),且頂點U的

橫坐標(biāo)為4,該圖象在X軸上截得的線段48的長為6.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)在該拋物線的對稱軸上找一點P,使PA+戶。最小，求出點"的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上是否存在點Q,使Q48與48c相似？如果存在，求出點Q

的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

變式練習(xí)：如圖1,直角梯形OABC中，BCuOA,0A=6,BC=2,zBAO=454.

（l）OC的長為;

（2）D是OA上一點，以BD為直徑作。M,OM交AB于點Q.當(dāng)0M與y

軸相切時，sinzBOQ=;

（3）如圖2,動點P以每秒1個單位長度的速度，從點。沿線段0A向點A

運動；同時動點D以相同的速度，從點B沿折線B-C-O向點。運動.當(dāng)點

P到達點A時，兩點同時停止運動.過點P作直線PEllOC,與折線O-B-A

交于點E.設(shè)點P運動的時間為t（秒）.求當(dāng)以B、D、E為頂點的三角形是直

角三角形時點E的坐標(biāo).

蘇州中考題：（2013年?28題）如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=

10cm,BC=12cm.點E,F,G分別從A,B,C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊

按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為Icm/s，點F的運動速度為3cm/

s,點G的運動速度為1.5cm/s.當(dāng)點F到達點C（即點F與點C重合）時，

三個點隨之停止運動.在運動過程中，-EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是二EB'F,

設(shè)點E,F,G運動的時間為t（單位：s）.

6

（1）當(dāng)t=s時,四邊形EBFB'為正方形；

（2）若以點E,B,F為頂點的三角形與以點F,C,G為頂點的三角形相似，求t

的值；

（3）是否存在實數(shù)t,使得點B'與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，

清說明理由.

<第2醫(yī)）（瑞川圖）

面積與相似：（2012蘇州，29）如圖，已知拋物線y=；xz-；（b+l）x+

2是實數(shù)且b>2）與x軸的正半軸分別交于點4H點4位于點8的左側(cè)）,

與，軸的正半軸交于點C.

⑴點8的坐標(biāo)為,點C的坐標(biāo)為（用含6的代數(shù)式表示）；

（2?青探索在第一象限內(nèi)是否存在點P,使得四邊形"CO8的面積等于2b,且

P8C是以點?為直角頂點的等腰直角三角形?如果存在,求出點戶的坐標(biāo)；如

果不存在，請說明理由；

③請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q,使得QCO、QOA和QAB

中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點

Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

7

四、三角形問題（等腰直角三角形、等邊三角形、全等三角

形等）

例4.（廣東省湛江市）已知矩形紙片O46C的長為4,寬為3,以長04所在

的直線為*軸，。為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系；點P是以邊上的動點（與

點OA不重合）,現(xiàn)將，POC沿"C翻折得到再在48邊上選取適當(dāng)?shù)狞c

D,將月4。沿戶。翻折，得到戶尸。，使得直線PE、PF重合.

（1）若點F落在3U邊上,如圖④，求點"、G。的坐標(biāo)，并求過此三點的

拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若點F落在矩形紙片C46U的內(nèi)部，如圖②，設(shè)0P=*,，當(dāng)*

為何值時，，取得最大值？

（3）在（1）的情況下，過點只C。三點的拋物線上是否存在點Q,使PDQ

是以"。為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的

坐標(biāo).

圖①圖②

變式.（廣東省深圳市）已知：RtABC的斜邊長為5,斜邊上的高為2,將這

個直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與*軸重合（其中OAv

OB）,直角頂點C落在y軸正半軸上（如圖1）.

（1）求線段OA、0B的長和經(jīng)過點A.B、C的拋物線的關(guān)系式.

（2）如圖2,點D的坐標(biāo)為（2,0）,點P（/n,"）是該拋物線上的一個動點

（其中m>0,〃>0）,連接DP交BC于點E.

①當(dāng)BDE是等腰三角形時,直接寫出此時點E的坐標(biāo).

②又連接CD、CP（如圖3）,3CDP是否有最大面積？若有，求出，CDP

的最大面積和此時點P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由.

9

蘇州中考題：（2013年?29題）如圖，已知拋物線y=；x2+bx+c（b,c是

數(shù)，且c<0）與x軸分別交于點A,B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸的負半

軸交于點C,點A的坐標(biāo)為（-1,0）.

（l）b=，點B的橫坐標(biāo)為（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；

（2）連接BC,過點A作直線AEllBC,與拋物線y=；x?+bx+c交于點E.點

D是x軸上一點,其坐標(biāo)為（2,0）,當(dāng)C,D,E三點在同一直線上時，求拋物

線的解析式；

（3）在（2）的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連接PB,PC,設(shè)所

得PBC的面積為S.

①求S的取值范圍；

酒PBC的面積S為整數(shù),則這樣的PBC共有_______個.

（第29通）

五、與四邊形有關(guān)的二次函數(shù)問題

例5.（內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，的頂點坐標(biāo)分別為4（0,右），8（-

；,日），C（1,0）,4ABC=90。，BC與，軸的交點為D,。點坐標(biāo)為（0,

日）,以點。為頂點、y軸為對稱軸的拋物線過點B.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）將48U沿4c折疊后得到點8的對應(yīng)點夕，求證：四邊形4OCS是矩

形，并判斷點鄉(xiāng)是否在（1）的拋物線上；

（3）延長84交拋物線于點E,在線段8F上取一點P,過戶點作"軸的垂線，

變式練習(xí):（2011年蘇州28題）已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形,以

AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動點（不與點A.B重合），連接PA、

PB、PC、PD.

Q）如圖①,當(dāng)PA的長度等于時，/PAB=60。；

當(dāng)PA的長度等于時,-PAD是等腰三角形；

（2）如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖

11

所示的直角坐標(biāo)系（點A即為原點O）,把二PAD、&PAB、iPBC的面積分別記

為Si、Sz.S3.坐標(biāo)為（a,6）,試求2sls3-S?2的最大值，并求出此時a,

。的值.

蘇州中考題：（2011年?29題）已知二次函數(shù)y=a（x:6x+8）（a>0）的圖象與*

軸分別交于點A、B,與N軸交于點C.點D是拋物線的頂點.

Q）如圖①，連接AC,將9AC沿直線AC翻折，若點。的對應(yīng)點?！『?/p>

落在該拋物線的對稱軸上，求實數(shù)a的值；

（2）如圖②，在正方形EFGH中，點E、F的坐標(biāo)分別是（4,4）.（4,3）,

邊HG位于邊EF的右側(cè).，J琳同學(xué)經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個正確的命題：”若點P

是邊EH或邊HG上的任意一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一

個平i亍四邊形的四條邊對應(yīng)相等（即這四條線段不能構(gòu)成平行四邊形）若點P

是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結(jié)論是否也成立？請你積極探索，并寫出

探索過程；

（3）如圖②，當(dāng)點P在拋物線對稱軸上時，設(shè)點P的縱坐標(biāo)1是大于3的常

數(shù)，試問：是否存在一個正數(shù)a,使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個幫亍

12

四邊形的四條邊對應(yīng)相等(即這四條線段能構(gòu)成雜亍四邊形)？請說明理由.

（圖①）

六、初中數(shù)學(xué)中的最值問題

例6.(2014?海南)如圖,對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A(-1,0),C

(0,5)兩點，與x軸另一交點為B.已知M(0,l),E(a,0),F(a+l,

0),點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)當(dāng)a=l時，求四邊形MEFP的面積的最大值,并求此時點P的坐標(biāo)；

(3)若PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時,四邊形PMEF

周長最?。空堈f明理由.

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變式練習(xí).(四川省眉山市)如圖，已知直線y=1*+1與夕軸交于點4,與*

軸交于點D,拋物線y=：*2+以+c與直線y=；x+1交于4F兩點，與*

軸交于民C兩點，且8點坐標(biāo)為(1,0).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)動點戶在x軸上移動，當(dāng),小￡是直角三角形時,求點戶的坐標(biāo)；

(3)在拋物線的對稱軸上找一點M,使用。的值最大，求出點用的坐

標(biāo).

蘇州中考題：(2012江蘇蘇州，27,8分)如圖，已知半徑為2的。。與直線

14

/相切于點A,點P是直徑48左側(cè)半圓上的動點，過點"作直線/的垂線,垂

足為C.PC與。。交于點。，連接24項，設(shè)PC的長為x(2<x<4).

⑴當(dāng)x=*時，求弦月4戶8的長度；

⑵當(dāng)X為何值時,PDCD的值最大?最大值是多少?

CA

七、定值的問題

例7.(湖南省株洲市)如圖，已知ABC為直角三角形,〃CB=90。，AC=

SC,點4C在*軸上，點8的坐標(biāo)為(3,ni](m>0),線段48與y軸相交

于點。，以,0)為頂點的拋物線過點B、D.

(1)求點4的坐標(biāo)(用6表示)；

(2)求拋物線的解析式；

(3)設(shè)點Q為拋物線上點P至點8之間的一動點，連結(jié)做并延長交BC于點

E,連結(jié)8Q并延長交4C于點F,試證明：FC(AC+EQ為定值.

變式練習(xí):(2012江蘇蘇州，28,9分)如圖，正方形48。的邊4。與矩形

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FFG”的邊FG重合,將正方形48。以lcm/s的速度沿FG方向移動，移動

開始前點A與點尸重合.在移動過程中，邊4。始終與邊FG重合，連接GG,

過點A作GG的平行線交線段GH于點P,連接夕2已知正方形48。的邊長

為1cm,矩形的邊下G.G”的長分別為4cm、3cm.設(shè)正方形移動時間

為x(s),線段G"的長為y(cm),其中0VXV25

⑴試求出y關(guān)于”的函數(shù)關(guān)系式，并求出y=3時相應(yīng)X的值;

(2加。6夕的面積為51「。6的面積為52,試說明g-4是常數(shù)；

③當(dāng)線段在。所在直線與正方形48。的對角線4C垂直時，求線段"。的長.

蘇州中考題：(2014年?蘇州)如圖,二次函數(shù)片a(X-2皿-3W)(其中

a.zn是常數(shù)，且a>0,加>0)的圖象與*軸分別交于點48(點4位于點

8的左側(cè))，與V軸交于c(o,-3),點。在二次函數(shù)的圖象上，CDwAB.

連接AD,過點4作射線4￡交二次函數(shù)的圖象于點E.AS平分立8￡.

(1)用含m的代數(shù)式表示a;

(2)求證：”為定值；

(3)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點為尸，探索：在*軸的負半軸上是否存在點G.

連接GF,以線段GAAD、4F的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果

16

存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含6的代數(shù)式表示該點的橫坐

標(biāo)；如果不存在，清說明理由.

八.存在性問題(如：平行、垂直，動點，面積等)

例8.(2008年浙江省紹興市)將一矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，

0(0,0),H(6,0),C(0.3).動點。從點。出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿0c向

終點c運動，運動：秒時，動點P從點4出發(fā)以相等的速度沿.1。向終點”運

動.當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也停止運動.設(shè)點P的運動時間為，(秒).

(1)用含，的代數(shù)式表示。尸，OQ；

(2)當(dāng)，=1時，如圖1,將△OP0沿PQ翻折，點。恰好落在CB邊上的點/＞處，

求點。的坐標(biāo)；

(1)連結(jié)4C,將△OP0沿P0翻折,得到△EP0，如圖2.問：P0與“能

否平行?PE與."能否垂直?若能，求出相應(yīng)的，值；若不能，說明理由.

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變式練習(xí)：如圖,已知拋物線y=ax?+bx+3與x軸交于A(1,O),B(-3,

0)兩點，與y軸交于點C,拋物線的頂點為P,連接AC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在拋物線上找一點D,使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點Q,

求直線DC的解析式；

(3)拋物線對稱軸上是否存在一點M,使得S.MAP=2S.ACP?若存在，求出M

點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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蘇州中考題：(2015年蘇州?本跳滿分10分)如圖，已知二次函數(shù)

)，=/+(1-,”卜-,"(其中0<6<1)的圖像與*軸交于48兩點(點4在

點8的左側(cè))，與y軸交于點C,對稱軸為直線/.設(shè)"為對稱軸/上的點，連

接力4PC,PA=PC.

(1)/48C的度數(shù)為°;

(2)求"點坐標(biāo)(用含加的代數(shù)式表示);

(3)在坐標(biāo)軸上是否存在點Q(與原點。不重合)，使得以Q、B、C為頂點

的三角形與R4C相似目線段PQ

的長度最??？如果存在，求出所有

滿足條件的點Q的坐標(biāo)；如果不存

在，清說明理由.

(第27題)

模擬試題：在如圖的直角坐標(biāo)系中，已知點A(l,0kB(0,-2),將線段

AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。至AC,若拋物線y=-V+bx+2經(jīng)過點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，將拋物線平移，當(dāng)頂點至原點時，過Q(0,-2)作不平行于x軸

的直線交拋物線于E、F兩點，問在y軸的正半軸上是否存在一點P,使PEF

的內(nèi)心在y軸上?若存在,求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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(3)在拋物線上是否存在一點M,使得以M為圓心，以零為半徑的圓與直

線BC相切?若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，清說明理由.

九、與圓有關(guān)的二次函數(shù)綜合題：

例9.如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于點A、B,與y軸

交于點C,其頂點為D,且直線DC的解析式為y=x+3.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求ABC外接圓的半徑及外心的坐標(biāo)；

(3)若點P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，求四邊形ACPB的面積最大值.

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變式練習(xí)：如圖，已知拋物線y=a(x-2)2+1與x軸從左到右依次交于A、

B兩點，與y軸交于點C,點B的坐標(biāo)為(3,0),連接AC、BC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若P為拋物線的對稱軸上的一個動點,連接PA、PB.PC,設(shè)點P的縱

坐標(biāo)表示為m.

試探究：

(D當(dāng)m為何值時，|PA-PC|的值最大？并求出這個最大值.

②在P點的運動過程中，NAPB能否與NACB相等？若能，請求出P點的坐標(biāo);

若不能，清說明理由.

中考題訓(xùn)練：(2014?黔南州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點為(4,-1)

的拋物線交y軸于A點，交x軸于B,C兩點(點B在點C的左側(cè))，已知A

點坐標(biāo)為(0,3).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D,如果以點C為圓心的圓與直線

BD相切，請判斷拋物線的對稱軸I與OC有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；

（3）已知點P是拋物線上的一個動點,且位于A,C兩點之間，問：當(dāng)點P運

動到什么位置時JPAC的面積最大?并求出此時P點的坐標(biāo)和PAC的最大面

積.

蘇州中考題：（2015年?27題）如圖,已知二次函數(shù)》=/+（1-，"）》-，”（其中

0</n<l）的圖像與*軸交于48兩點（點4在點8的左側(cè)），與y軸交于

點C,對稱軸為直線/.設(shè)戶為對稱軸/上的點，連接PAPC,PA=PC.

（1）的度數(shù)為▲°;

（2）求P點坐標(biāo)（用含/n的代數(shù)式表示）；

（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點Q（與原點。不重合），使得以Q、B、C為頂點

的三角形與4IC相似且線段PQ

的長度最?。咳绻嬖?，求出所有

滿足條件的點Q的坐標(biāo)；如果不存

在，請說明理由.

（第27題）

22

十、其它（如新定義型題、面積問題等）:

例10.定義：若拋物線的頂點與X軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形,

則這種拋物線就稱為："美麗拋物線”.如圖，直線I：y=*+b經(jīng)過點M（0,

力一組拋物線的頂點B?,y，），B?（2,y?）,Bs⑶力），.㈤（n,y.）

（n為正整數(shù)），依次是直線I上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是:

Ax(xx,0),A2(x2,0),A3(x3,0),...Antl(xn+1,0)(n為正整數(shù)).A

Xi=d(0<d<l),當(dāng)dR(）時，這組拋物線中存在美麗拋物線.

變式練習(xí)：

1.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A、B兩點，（點A在

點B左側(cè)）.與y軸交于點C,頂點為D,直線CD與x軸交于點E.

（1）請你畫出此拋物線，并求A、B、C、D四點的坐標(biāo)；

（2）將直線CD向左平移兩個單位,與拋物線交于點F（不與A、B兩點重合）,

請你求出F點坐標(biāo)；

（3）在點B、點F之間的拋物線上有一點P,使PBF的面積最大，求此時P

點坐標(biāo)及PBF的最大面積；

23

（4）若平行于x軸的直線與拋物線交于G、H兩點，以GH為直徑的圓與x軸

（第2題）

2.練習(xí)：（2015河池）我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱

為“整圓”.如圖，直線/：y=A+46與x軸、y軸分別交于48/88=30°,

點P在*軸上,0P與/相切,當(dāng)尸在線段0/4上運動時，使得。P成為整圓的

點?個數(shù)是（）

A.6B.8C.10D.12.

蘇州中考題：（2015年?26題）如圖，已知4。是48c的角平分線，0O經(jīng)

過4B、。三點，過點8作8￡必。，交。。于點￡,連接￡D.

（1）求證：￡。必。（2）若8。=2。，設(shè)'￡8。的面積為S-dOC的面積

為邑，且S1-16￡+4=0,求S8C的面積.

24

（第26題）

模擬試題：如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中，。M過點。且與y軸、x軸分別

交于A.B兩點，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點，點C與點M關(guān)于x軸

對稱，已知點M的坐標(biāo)為(2,-2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷直線0C與。M的位置關(guān)系，并證明；

(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線0C上的動點，判斷是否存在以點

P、Q、A.。為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出相應(yīng)的Q點

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案：

例1.【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)根據(jù)x等于零時，可得C點坐標(biāo),

根據(jù)y等于零時，可得A、B的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線BC的斜率，

根據(jù)平行線的斜率相等，可得平行BC的直線的斜率，根據(jù)直線與拋物線有一個

交點，可得直線與拋物線聯(lián)立所得的一元二次方程有一對相等的實數(shù)根，可得判

別式等于零；(2)根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線AD的解析式，根據(jù)E點在線段

AB上,可設(shè)出E點坐標(biāo)，根據(jù)EFiiy軸，F(xiàn)在拋物線上,可得F點的坐標(biāo)，根

據(jù)兩點間的距離，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可得答案.

25

【解答】解：(1)當(dāng)y=0時

當(dāng)x=O時，y=-3,即C(0,-3).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,直線

BC經(jīng)過點B,點C,得：1產(chǎn)+1°,解得?=1。,設(shè)平行于BC且與拋物線只

[b=-3(b=-3

有一個交點的直線解析式為y=x+b,由題意，得：[尸,?-?,

[y=x,；-2x-30

得：X?-3x-3-b=0,只有一個交點，得：A=(-3)2-4x(-b-3)=0,

解得b=-3與直線BC平行且與拋物線只有一個交點的直線解析式丫=乂-烏;

44

(2)y=x2-2x-3,當(dāng)x=--考=1時,

2aZx1

y=她？b2=4Xlx(-丁一(-2)2=-4,即D(1,-4),設(shè)直線AD

4a4X1

的解析式是y=kx+b,AD的圖象過點A、D,得心+”映,

[k+b=-4②

解得了一：，直線AD的解析式是y=-2x-2,線段AD上有一動點E,過E

|b=-2

作平行于y軸的直線交拋物線于F,設(shè)E點坐標(biāo)是(x,-2x-2),F點坐標(biāo)是

(x,x2-2x-3),-1<X<1,

EF的長是：y=(-2x-2)-(X2-2X-3)=-X2+1。當(dāng)x=0B寸，EF最大=1,

即點E的坐標(biāo)是(0,-2),當(dāng)線段EF取得最大值時,點E的坐標(biāo)是(0,-2).

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用了直線與拋物線相切，利用了一元

二次方程的判別式，兩點間的距離公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強.

變式練習(xí)：【考點】二次函數(shù)綜合題.【專題】壓軸題.

26

【分析】（1）將A的坐標(biāo)代入拋物線y=a（x-l）斗35（a#0）可得a的值，

即可得到拋物線的解析式；（2）易得D的坐標(biāo)，過D作DNLOB于N;進而

可得DN、AN、AD的長，根據(jù)平行四邊形.直角梯形，等腰梯形的性質(zhì)，用t

將其中的關(guān)系表示出來,并求解可得答案；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論,易得OCB

是等邊三角形，可得BQ.PE關(guān)于t的關(guān)系式.將四邊形的面積用t表示出來，

進而分析可得最小值及此時t的值，迸而可求得PQ的長（4價別利用當(dāng)AOD

-OQP與當(dāng)AOD—OPQ,得出對應(yīng)邊比值相等，進而求出即可.

【解答】解：（1）拋物線y=a（xl）2+3向（awO）經(jīng)過點A（-2,0）,

..0=9a+3V3,

?.a=-岑,/.y=-2^（x-1）Z+3向；

（2））?-.D為拋物線的頂點rD（136）過D作DN_LOB于N則DN=3?,

AN=3,

.AD=在2+（W5）2=6,.\zDAO=60".OMIIAD,

①當(dāng)AD=OP時,四邊形DAOP是平行四邊形,-OP=6,,.t=6.

②當(dāng)DP±OM時，四邊形DAOP是直角梯形，過。作OH±AD于H,AO=2,

則AH=1（如果沒求出NDAO=60°可由RtOHA-RtDNA（求AH=1）

OP=DH=5,t=5,

⑤當(dāng)PD=OA時，四邊形DAOP是等腰梯形，易證iAOH￥CDP,..AH=CP,

..OP=AD-2AH=6-2=4,,-.t=4.

綜上所述：當(dāng)t=6、5、4時，對應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形.等腰

梯形；

27

(3)D為拋物線的頂點坐標(biāo)為：D(1,36)，過D作DN_LOB于N,則

DN=3V3,AN=3,.AD=必+(/)2=6,"DAO=60°,.NCOB=60°,

OC=OBJOCB是等邊三角形.則OB=OC=AD=6,OP=t,BQ=2t,..0Q=6

-2t(O<t<3)

過作于,則岑爭，

PPE±OQEPEt,.-.SBCPQ=AX6X3V3-(6-2t)x

4(t-微)2+^好當(dāng)￡時，SBCPQ的面積最小值為備巧，

(4)當(dāng)，AOD~-OQP,則,;AO=2,AD=6,QO=6-2t,OP=t,

.2_6

6-2tt/

解得：t=￥,當(dāng)AAODHPQ,則鋁=柒,即2=Jr，解得：t=q,

7OPQOt6-2t5

故t=留學(xué)擬。，P,Q為頂點的三角形與OAD相似.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四

邊形、直角梯形、等腰梯形的判定等知識，將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處

理問題、解決問題是考查重點.

蘇州中考題：解：(1)如圖①，點"從A-B-C-D,全程共移動了a+2bcm

(用含仇6的代數(shù)式表示)；

(2).圓心。移動的距離為2(a-4)s,由題意,得：＞26=2(a-4)

①，

28

..點"移動2秒到達B,即點々s移動了bcm,點戶繼續(xù)移動3s到達8c的

中點，

即點Pi秒移動了\acrn..?.)=岑②由①@解得工24,

223I1>—8

:點/移動的速度為與。。移動速度相同，二。。移動的速度為J=W=4"n

22

(cm/s).

這5秒時間內(nèi)。。移動的距離為5x4=20(cm);

(3)存在這種情況，

設(shè)點—移動速度為v^m/s.OQ移動的速度為v2cmis,由題意，得

11=、2b_2012X10_5

52(a-4)2(20-4)1'

如圖：

設(shè)直線OQ與48交于￡點，與。交于尸點，。Q與4。相切于G點，

若如與。5相切，切點為H.則01G=(\H.

易得DOi(^DO1H，:/ADB=乙BDP.

?:BCzAD,:/ADB二乙CBD,乙BDP二乙CBD,:.BP=DP.

設(shè)BP^xcm,則D—cm，2G(20?*)an,在ROPCD中,由勾股定理，

得

Pd+CU=PD，即(20r)2+1。2=，解得X=苧此時點"移動的距離

為10+專喈(cm),

29

:EF\\ADr-BEC\-BAD“?器二即京,FQ=16c7nQQ=14s7.

①當(dāng)o。首次到達。q的位置時,OO移動的距離為14cm,

45

此時點戶與。。移動的速度比為上=黑，.黑君".此時即與。Q不能相切；

1428284

②當(dāng)0。在返回途中到達OQ位置時，。。移動的距離為2(20?4)-

14=1867,

45

.?此時點"與OO移動的速度比為之=叁=《，此時夕。與。Q恰好相切.

點評：本題考查了圓的綜合題,(1)利用了有理數(shù)的加法,(2)利用了戶與。

。的路程相等，速度相等得出方程組是解題關(guān)腱,再利用路程與時間的關(guān)系，得

出速度，最后利用速度乘以時間得出結(jié)果；(3)利用了相等時間內(nèi)速度的比等

于路程的比，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等時間

內(nèi)速度的比等于路程的比是解題關(guān)犍.

例2.【考點】二次函數(shù)綜合題.【專題】壓軸題；動點型.

【分析】(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,把已知坐標(biāo)代入求出拋物線的解

析式.

(2)求出S的面積，根據(jù)t的取值不同分三種情況討論S與t的函數(shù)關(guān)系式.

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，代入解析式，判斷是否存在.

【解答】解：(1)方法一：由圖象可知：拋物線經(jīng)過原點，設(shè)拋物線解析式為

y=ax2+bx(a/0).

把A(l,1),B(3,1)代入上式得：

30

，解得J...所求拋物線解析式為y=_1X2+JX.

ll=9a+3b033

方法二：vA(1,1),B(3,1),.?.拋物線的對稱軸是直線X=2.

設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)2+h(awO)把O(0,0),A(1,1)代入

2

得=a(0-2)+h解得3「所求拋物線解析式為丫=-**-2產(chǎn)+《.

233

|l=a(l-2)+h懸

(2)分三種情況：

①當(dāng)0＜仁2,重會部分的面積是SOPQ，過點A作AF軸于點F,,A(1,

1),

.?在RtOAF中,AF=OF=1,zAOF=45°,在RtOPQ中，OP=t,zOPQ=

zQOP=45°,

,PQ=OQ=tcos450=^t.S=l(*t)Mt2,

②當(dāng)2＜仁3渡PQ交AB于點G，作GH±x軸于點H/OPQ=NQOP=45°,

則四邊形OAGP是等腰梯形,重疊部分的面積是S梯形OAGP?-AG=FH=t-2,

.-.S=l(AG+OP)AF=1(t+t-2)xl=t-1.

22

③當(dāng)3vtv4,設(shè)PQ與AB交于點M,交BC于點N,重疊部分的面積是S五

邊形。AMNC?

△PNC和LBMN都是等腰直角三角形，重疊部分的面積是0AMNC=S^

OABC-SBMN?

?B(3,1),OP=t,.PC=CN=t-3,.-.S=l(2+3)xl-l(4-t)2,S=

22

-貨+做-li.

22

(3)存在.

31

當(dāng)。點在拋物線上時，將。（t,t）代入拋物線解析式，解得t=0（舍去）,t=1;

當(dāng)Q點在拋物線上時，Q（寺，學(xué)）代入拋物線解析式得t=o（舍去），t=2.故

t=l或2.

【點評】本題是一道典型的綜合題，重點考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識以及考生理

解圖形的能力，難度較大.

變式練習(xí)：解：（1）..直線I:y=m+m經(jīng)過點B（0,，.直

4

線I的解析式為y=3<-1,直線I：y=&-1經(jīng)過點c（4,n）,.』=電4

444

-1=2,..拋物線y=*+bx+c經(jīng)過點C（4,2）和點B（0,-1）,

基"=2,解得

，拋物線的解析式為y=-1；

C=-1C=-124

(2)令y=0,則務(wù)-1=0,解得x=4，?點A的坐標(biāo)為(4，0),..OA=《,

4333

在RtAOAB中，OB=11/.ABHJoA?+0B2=J(g)+]2='>'?,DElly軸，二.

zABO=zDEF,在矩形DFEG中，EF二DE?COSNDEF=DE?絲二^DE,DF=DE

AB5

?sin/DEF=DE?里—DE,

AB5

..p=2(DF+EF)=2(J+1)DE噂DE,

32

,.點D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),.1D(t,求-母-1),E(t,1),

244

..DE=(a.1)-(It2--1)=-lt2+2t,..p=l^x(-lt2+2t)=-

424252

“+駕，

55

P=Y(t-2)2+W,且Y<0,..當(dāng)t=2時,p有最大值W;

5555

(3)?「AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，..AiOilly軸時,BiOjx軸，

設(shè)點Ai的橫坐標(biāo)為x.

①如圖1，點。1、Bi在拋物線上時，點Oi的橫坐標(biāo)為x，點Bi的橫坐標(biāo)為x+1,

二歲一聲-1*(x+1)2T(x+1)-1,解得x=',

24244

②如圖2,點Ai、Bi在拋物線上時，點Bi的橫坐標(biāo)為x+1,點A]的縱坐標(biāo)比

點B】的縱坐標(biāo)大g,

???lx2-聲-1=J(x+1)2Y(x+1)-1+],解得x=-J,

2424312

綜上所述，點A】的橫坐標(biāo)為泅--L.

412

蘇州中考題：(略)

例3.【考點】二次函數(shù)綜合題.【專題】壓軸題.

【分析】(1)已知了頂點的橫坐標(biāo),可用頂點式來設(shè)二次函數(shù)的解析式如：y=a

(x-4)2+k,根據(jù)二次函數(shù)過點(0,4)，可得出不行=16a+k;由于A.

B關(guān)于x=4對稱，且AB=6,不難得出A、B的坐標(biāo)為(1,0),(7,0),可

將它們的坐標(biāo)代入解析式中即可求出a.k的值.(2)本題的關(guān)鍵是確定P的位

33

置,由于對稱軸垂直平分AB,因此P不論在對稱軸的什么位置都有PA=PB,

連接DB,如果P是交點時,PA+PD的長就是BD的長，兩點之間線段最短，

因此要想PA+PD最小，P必為DB與對稱軸的交點.可根據(jù)B.D的坐標(biāo)求出

BD所在直線的解析式，然后求出與拋物線對稱軸的交點.即可得出P點的坐

標(biāo).(3)由于三角形ABC是等腰三角形.要想使QAB與三角形ABC相似，三

角形QAB必須為等腰三角形.要分兩種情況進行討論：①當(dāng)Q