新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識求數(shù)列通項公式常用方法

新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識求數(shù)列通項公式常用方法云南昭通昭翼培訓(xùn)學(xué)校陳培澤掌握求數(shù)列通項公式的常用方法，是學(xué)習(xí)好數(shù)列這章知識的關(guān)鍵，高中新課標(biāo)要求必須掌握的方法有哪些呢？觀察-猜想-驗證法：例.觀察數(shù)列，寫出它們的一個通項公式，（1）（2）（3）解：（1）觀察分子：可以用表示；再觀察分母：可以用表示，這樣數(shù)列通項就可以表示為：，最后逐項驗證，都成立，就完成了。(2)一下觀察不出規(guī)律，先把系數(shù)和分式分開，系數(shù)為；再觀察分式：也難觀察出規(guī)律，估計是約掉了公因數(shù)，把每一項表示成分?jǐn)?shù)，再把分子分母同乘以2或3，…等，并且容易看出要使分子，分母，逐項增大，再進行觀察：，這時容易得出結(jié)論了，.（3）變形為：，再變形為：再變形為：，所以.小結(jié)：(1)并不是每一個數(shù)列都可以寫出它的通項公式，例如：的不足近似值構(gòu)成的數(shù)列。(2)數(shù)列即使有通項公式，通項公式也并不唯一，例如：；，都是這個數(shù)列的通項公式。2.已知是等差或等比數(shù)列，求例（1）已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差,為數(shù)列前n項和，滿足，求通項公式.解：數(shù)列是等差數(shù)列，滿足，令.令，，或或.或或.(2)已知等比數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)數(shù)列首項為，公比為q,，，代入解得或，或，或.小結(jié)：在已知數(shù)列是等差或等比數(shù)列的情況下，一般用前三項建立方程，就可求得通項，要防止小題大做。求遞推數(shù)列通項公式，常見題型和方法有：3.形如：，用累加法：例：數(shù)列，，求通項公式.解：，用用累加法：=.小結(jié)：注意在變形題中，使用累加法，例如：題型，兩邊取對數(shù)，得：，就可以使用累加法了。練習(xí)：（1）已知數(shù)列滿足：，，求.（2）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式.4．形如：用累乘法：例：已知數(shù)列滿足：，，求.解：設(shè)，則，兩式相減，得：，即：，.小結(jié)：累乘法和累加法都是新課標(biāo)中要求掌握的重要方法，要熟悉其變形題，,，等。練習(xí)：（1）已知數(shù)列滿足：，求通項公式.（2）已知數(shù)列滿足：，求通項公式.5.形如：（其中p，q均為常數(shù)，）用待定系數(shù)法;設(shè)，即：，比較，得：.例：（1）已知數(shù)列滿足：，，求通項公式.解：，，是首項為，公比的等比數(shù)列，.練習(xí)：在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項_______________6.形如：（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）設(shè)，比較：，.例：（1）已知數(shù)列中，,，求.解：設(shè)，，，比較得：，是首項為，公比為的等比數(shù)列。所以數(shù)列通項公式為：.（2）已知數(shù)列中，，，求.解：因，由公式，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以通項為.小結(jié)：（1）符合題型時直接代公式，是變形題時用待定系數(shù)法。（2）用構(gòu)造法：例：已知數(shù)列中，，求.解：兩邊同除以，整理得：是首項為，公比為的等比數(shù)列，，.練習(xí)：（1）已知數(shù)列中，，求.（建議用不同方法解同一題，學(xué)習(xí)效果會更佳。）(2)若已知數(shù)列中,，求7.遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：這種類型用與消去或用代入，求出，再求.例：(1)已知數(shù)列前n項和，，求.解：，，后式減前式，得：，，是首項為，公比為的等比數(shù)列。.(2)已知是數(shù)列的前n項和，，求解：時有：，.，又是公差為2，第二項為3的等差數(shù)列，，，代入，化簡，得：，.小結(jié)：只有時才成立，若從第二項起是等差數(shù)列，用是等比數(shù)列用求（）再驗證是否成立，若成立，寫出通項；若不成立就用分段式表示。練習(xí)：已知是數(shù)列的前n項和，，求.8.形如：式，兩邊同乘以—轉(zhuǎn)換方法解：對：兩邊同乘以，移項，得：，數(shù)列是公差為，首項為的等差數(shù)列。，取倒數(shù)，有：.例：已知數(shù)列，求數(shù)列的通項公式。解：本題可仿照上邊方式推出結(jié)果，也可以利用公式，代入，得：.小結(jié)：（?。╊}型可以變換，例如：，只是形式上不同，實質(zhì)一樣，只需等式兩邊取倒數(shù)就行了。一般以分式形式出現(xiàn)的變式，都是本題類型，大家不妨推導(dǎo)出通項公式。9.形如類型：舉例說明，已知數(shù)列，，，求數(shù)列的通項公式.解：，令：(1)(2)(3)由（2）—（1），得：，數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成公差是3，首項是1的等差數(shù)列，.由（3）—（2），得：，數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成公差是3，首項是3的等差數(shù)列，.10.通過求數(shù)列周期和運用數(shù)學(xué)歸納法求通項：對于某些數(shù)列不易直接求出通項時，可以先求出，看是不是存在周期，如果存在就可以求出，如果不存在，再歸納出，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明。例：(1)已知數(shù)列滿足，求，解：存在周期，,.(2)已知數(shù)列，，，求數(shù)列的通項公式.解：猜想：現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法予以證明。當(dāng)時，左邊=右邊=2，結(jié)論成立。當(dāng)時，假設(shè)結(jié)論成立，當(dāng)時，，結(jié)論也成立。由1），2）知：時：.小結(jié)：（1）這類題是用從特殊到一般的方法處理，若是周期