2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難突破微專題(四)求代數(shù)式的最值

2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難突破微專題(四)求代數(shù)式的最值匯報(bào)人：AA2024-01-26目錄引言基礎(chǔ)知識(shí)回顧代數(shù)式最值的求解方法典型例題解析高考真題鏈接備考策略與建議引言0101代數(shù)式最值是高考數(shù)學(xué)中的重要考點(diǎn)之一，涉及的知識(shí)點(diǎn)廣泛，包括函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等。02求解代數(shù)式最值能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在高考中，代數(shù)式最值常常與其他知識(shí)點(diǎn)綜合考查，如解析幾何、數(shù)列等，因此掌握求解代數(shù)式最值的方法對(duì)于提高高考成績(jī)具有重要意義。高考數(shù)學(xué)中代數(shù)式最值的重要性02代數(shù)式最值的常見(jiàn)類型及求解方法利用導(dǎo)數(shù)求最值通過(guò)求導(dǎo)數(shù)和判斷函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解最值。利用基本不等式求最值通過(guò)運(yùn)用基本不等式（如算術(shù)平均數(shù)-幾何平均數(shù)不等式、柯西不等式等）來(lái)求解最值。一元二次函數(shù)的最值通過(guò)觀察一元二次函數(shù)的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)求解最值。利用函數(shù)的單調(diào)性求最值通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域和值域來(lái)求解最值。利用數(shù)形結(jié)合思想求最值通過(guò)將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾何圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)求解最值?；A(chǔ)知識(shí)回顧0201代數(shù)式由數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)組成的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如$ax^2+bx+c$。02代數(shù)式的值用數(shù)值代入代數(shù)式后得到的結(jié)果，如$x=2$時(shí)，$ax^2+bx+c=4a+2b+c$。03代數(shù)式的性質(zhì)包括加法、減法、乘法和除法等基本性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律、分配律等。代數(shù)式的基本概念與性質(zhì)代數(shù)式的四則運(yùn)算01包括加法、減法、乘法和除法，需遵循相應(yīng)的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序。02代數(shù)式的化簡(jiǎn)通過(guò)合并同類項(xiàng)、提取公因式等方法簡(jiǎn)化代數(shù)式，使其更易于計(jì)算和理解。03代數(shù)式的變形通過(guò)恒等變換等手段將代數(shù)式變形為另一種形式，以便更好地揭示其內(nèi)在性質(zhì)和規(guī)律。代數(shù)式的運(yùn)算規(guī)則與技巧在一定范圍內(nèi)，代數(shù)式所能取到的最大值或最小值。代數(shù)式的最值最值的性質(zhì)最值的求解方法包括存在性、唯一性、對(duì)稱性等，這些性質(zhì)有助于我們更好地理解和求解代數(shù)式的最值問(wèn)題。通過(guò)求導(dǎo)、配方、基本不等式等手段求解代數(shù)式的最值，具體方法因題而異，需靈活掌握和運(yùn)用。030201代數(shù)式最值的定義與性質(zhì)代數(shù)式最值的求解方法03通過(guò)配方，將原式轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，從而利用非負(fù)性求最值。完全平方當(dāng)原式無(wú)法直接配方時(shí)，可以嘗試部分平方，即先對(duì)部分項(xiàng)進(jìn)行配方，再整體處理。部分平方在配方的基礎(chǔ)上，結(jié)合基本不等式（如均值不等式）求最值。配方與不等式結(jié)合配方法

判別式法一元二次方程判別式通過(guò)構(gòu)造一元二次方程，利用判別式與最值的關(guān)系求解。多元二次方程判別式對(duì)于多元二次方程，可以通過(guò)消元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用判別式求解。判別式與不等式結(jié)合在利用判別式求最值時(shí)，可以結(jié)合不等式進(jìn)行放縮處理。通過(guò)代數(shù)變換，將原式中的某些項(xiàng)用新變量代替，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題。代數(shù)換元對(duì)于含有根號(hào)或平方的式子，可以嘗試用三角函數(shù)進(jìn)行換元。三角換元當(dāng)單一換元無(wú)法解決問(wèn)題時(shí)，可以嘗試復(fù)合換元，即同時(shí)引入多個(gè)新變量。復(fù)合換元換元法123利用基本不等式（如均值不等式、柯西不等式等）求最值。基本不等式通過(guò)構(gòu)造新的不等式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更容易求解的形式。構(gòu)造不等式在利用不等式求最值時(shí)，可以結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)進(jìn)行綜合分析。不等式與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合不等式法典型例題解析04解析首先，將函數(shù)$f(x)$化為頂點(diǎn)式$f(x)=(x-1)^2+2$，由此可知函數(shù)的對(duì)稱軸為$x=1$。在區(qū)間$[-1,3]$上，函數(shù)的最小值出現(xiàn)在對(duì)稱軸上，即當(dāng)$x=1$時(shí)，$f(x)_{min}=f(1)=2$。題目求函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$在區(qū)間$[-1,3]$上的最小值。一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題求函數(shù)$f(x)=frac{x^2+2x+5}{x+1}$在區(qū)間$[0,+infty)$上的最小值。首先，對(duì)函數(shù)$f(x)$進(jìn)行變形，得到$f(x)=x+1+frac{4}{x+1}$。利用基本不等式$(a+b)geq2sqrt{ab}$，得到$f(x)geq2sqrt{(x+1)cdotfrac{4}{x+1}}=4$。當(dāng)且僅當(dāng)$x+1=frac{4}{x+1}$，即$x=1$時(shí)，等號(hào)成立。因此，函數(shù)在區(qū)間$[0,+infty)$上的最小值為4。題目解析分式函數(shù)的最值問(wèn)題題目已知$a>0$，求函數(shù)$f(x)=x^2-ax+a^2-2a+2$在區(qū)間$[0,a]$上的最小值。解析首先，將函數(shù)$f(x)$化為頂點(diǎn)式$f(x)=(x-frac{a}{2})^2+frac{3}{4}a^2-2a+2$。由此可知，函數(shù)的對(duì)稱軸為$x=frac{a}{2}$。當(dāng)$frac{a}{2}leq0$，即$aleq0$時(shí)（與題目條件矛盾，舍去），函數(shù)在區(qū)間$[0,a]$上單調(diào)遞增，最小值為$f(0)$；當(dāng)$frac{a}{2}geqa$，即$ageq0$時(shí)（符合題目條件），函數(shù)在區(qū)間$[0,a]$上單調(diào)遞減，最小值為$f(a)$；當(dāng)$0<frac{a}{2}<a$，即$0<a<2$時(shí)，函數(shù)在區(qū)間$[0,frac{a}{2}]$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$[frac{a}{2},a]$上單調(diào)遞增，最小值為$f(frac{a}{2})$。綜合以上三種情況，得到函數(shù)在區(qū)間$[0,a]$上的最小值為$min{f(0),f(frac{a}{2}),f(a)}$。含參數(shù)代數(shù)式的最值問(wèn)題高考真題鏈接05歷年高考真題回顧與解析（2021年全國(guó)卷I）已知函數(shù)$f(x)=x^2+ax+b$，若$f(x)$在區(qū)間$[-1,2]$上的最大值為$4$，最小值為$-1$，求$a,b$的值。解析：本題考查二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題。根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，我們可以通過(guò)配方或者對(duì)稱軸的方法求解。首先，將函數(shù)$f(x)$配方為$f(x)=(x+\frac{a}{2})^2+b-\frac{a^2}{4}$，然后根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，結(jié)合最值條件求解$a,b$的值。（2020年全國(guó)卷II）已知正實(shí)數(shù)$a,b$滿足$a+b=1$，求$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值。解析：本題考查利用基本不等式求最值的方法。根據(jù)題意，我們可以將$\frac{1}{a}+\frac{4}$轉(zhuǎn)化為$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{4})=5+\frac{a}+\frac{4a}$，然后利用基本不等式$\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}$求解最小值。趨勢(shì)分析從歷年高考真題來(lái)看，求代數(shù)式的最值問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。這類問(wèn)題往往涉及到函數(shù)的性質(zhì)、不等式、導(dǎo)數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力要求較高。預(yù)測(cè)在未來(lái)的高考中，求代數(shù)式的最值問(wèn)題仍然會(huì)占據(jù)重要的地位。預(yù)計(jì)會(huì)結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，同時(shí)可能會(huì)涉及到一些新的題型和解題方法。因此，學(xué)生在備考過(guò)程中需要加強(qiáng)對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，同時(shí)注重培養(yǎng)自己的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。高考命題趨勢(shì)分析與預(yù)測(cè)備考策略與建議0601熟練掌握代數(shù)式的基本概念和性質(zhì)，如代數(shù)式的定義、代數(shù)式的值、代數(shù)式的相等與不等關(guān)系等。02熟練掌握代數(shù)式的基本運(yùn)算，如加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方等，以及運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)和結(jié)合律等。03提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確性，通過(guò)大量的練習(xí)和訓(xùn)練，達(dá)到熟練掌握代數(shù)式運(yùn)算的程度。熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，提高運(yùn)算能力加強(qiáng)代數(shù)思維訓(xùn)練，如代數(shù)式的變形、因式分解、配方、換元等，以及代數(shù)方程和不等式的解法等。提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，通過(guò)分析問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律，運(yùn)用代數(shù)知識(shí)和方法解決問(wèn)題。培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，通過(guò)探究性問(wèn)題、開(kāi)放性問(wèn)題等，激發(fā)創(chuàng)