多重積分方法總結(jié)

摘要：二重積分和三重積分的概念都有實際的幾何或物理的背景，定義分為四個步驟用構(gòu)造的方法給出，最終表現(xiàn)為“黎曼和”的極限．故多重積分具有極限的基本性質(zhì)，如唯一性，線性性質(zhì)等．定義給出了概念的一個準確描述方法，進而從定義出發(fā)可以從純邏輯上考察概念具有的性質(zhì)以及計算方法．關鍵詞：二重積分三重積分英文題目SummaryofmultipleintegralmethodAbstract:Thedoubleintegralandtripleintegralconceptsarehavetherealgeometryorphysicalbackground,definitionisdividedintofourstepswiththemethodofstructurearegiven,finallyshownas"Riemannand"limit.Sohasthelimitsoftheintegralmultiplebasicproperties,suchasuniqueness,linearproperties.Definitionoftheconceptofagivenaccuratedescriptionmethod,andfromthedefinitionfrompurelogiccanbereviewstheconcepthaspropertyandcalculationmethod.Keyword:Thedoubleintegraltripleintegral1.引言：重積分的計算主要是化為多次的積分．這里首先要看被積區(qū)域的形式,選擇合適的坐標系來進行處理．二重積分主要給出了直角坐標系和極坐標系的計算方法．我們都可以從以下幾個方面把握相應的具體處理過程：1.被積區(qū)域在幾何直觀上的表現(xiàn)（直觀描述，易于把握）；2.被積分區(qū)域的集合表示（用于下一步確定多次積分的積分次序和相應的積分限）；3.化重積分為多次積分．2.研究問題及成果2.1．二重積分的計算1.在直角坐標下：(a)X-型區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于y軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點最多兩個．從而可以由下面和上面交點位于的曲線確定兩個函數(shù)和；被積區(qū)域的集合表示：；二重積分化為二次積分：．(b)Y-型區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于x軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點最多兩個．從而可以由左右交點位于的曲線確定兩個函數(shù)和；被積區(qū)域的集合表示：；二重積分化為二次積分：．2.在極坐標下：幾何直觀表現(xiàn)：從極點出發(fā)引射線線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交．在球坐標下：球坐標與直角坐標的關系：空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：從原點出發(fā)引射線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點最多兩個，從而可以由下面和上面交點位于的曲面確定兩個球坐標函數(shù)和;（具體如球心在原點或z軸上的球形域）被積區(qū)域的集合表示：；直角坐標下的三重積分化為極坐標下的三重積分，并表示成相應的三次積分：=．如球心在原點半徑為的球形域下：．4.三重積分的換元法：在閉區(qū)域V上連續(xù)，設有變換將一一映射到V上，又和關于u,v和w有一階連續(xù)的偏導數(shù)，且,則有．三．重積分的幾何和物理應用幾何應用a)二重積分求平面區(qū)域面積；b)二重積分求曲頂柱體體積；c)三重積分求空間區(qū)域的體積；d)二重積分求空間曲面的面積．求曲面的面積，對應著曲面方程為直角坐標系下的二元函數(shù)形式和參數(shù)方程形式分別有以下公式：i)曲面方程ii)曲面參數(shù)方程注：這里的公式都對函數(shù)有相應的微分條件．物理應用包括求質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量和引力等應用，積分是研究物理問題的重要工具．建立物理量對應的積分公式的一般方法是從基本的物理原理出發(fā)，找到所求量對應的微元，也就是對應積分的被積表達式了．3.結(jié)束語：以上對多重積分的計算方法做了個小結(jié)，關鍵要在具體的情況下要找到對應的適宜的處理方法．處理重積分計算時從幾何形式出發(fā)，則易于直觀把握．注意選擇適當?shù)淖鴺讼?，注意被積區(qū)域的表達，還要注意