中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編 矩形菱形與正方形全套

【文庫獨家】矩形菱形與正方形一、選擇題1．(浙江杭州蕭山區(qū)·模擬)下列命題中，正確的是（）A．菱形的對角線相等B．平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C．正方形的對角線相等且互相垂直D．矩形的對角線不能相等【考點】命題與定理．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)對A進行判斷；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和軸對稱的定義對B進行判斷；根據(jù)正方形的性質(zhì)對C進行判斷；根據(jù)矩形的性質(zhì)對D進行判斷．【解答】解：A、菱形的對角線相互垂直平分，所以A選項錯誤；B、平行四邊形不是軸對稱圖形，只是中心對稱圖形，所以B選項錯誤；C、正方形的對角線相等且互相垂直，所以C選正確；D、矩形的對角線相等，所以D選項錯誤．故選C．【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．2.（紹興市浣紗初中等六校·5月聯(lián)考模擬）如圖，矩形ABCD，點E在AD邊上，過點E作AB的平行線，交BC于點F，將矩形ABFE繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°，如果點F的對應(yīng)點M落在邊CD上，點B的對應(yīng)點N落在邊BC上，則（▲）A．B．C．D．3．（天津南開區(qū)·二模）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點F，則∠BFC為（

）A．45° B．55° C．60° D．75°考點：正方形的性質(zhì)與判定答案：C試題解析：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，又∵△ADE是等邊三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．故選：C．4．（天津五區(qū)縣·一模）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AC=8，BD=6，過點O作OH⊥AB，垂足為H，則點O到邊AB的距離OH等于（）A．2 B． C． D．【考點】菱形的性質(zhì)．【分析】因為菱形的對角線互相垂直平分，菱形的四邊相等，根據(jù)面積相等，可求出OH的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴BO=3，AO=4，AO⊥BO，∴AB==5．∵OH⊥AB，∴AO?BO=AB?OH，∴OH=，故選D．【點評】本題考查菱形的基本性質(zhì)，菱形的對角線互相垂直平分，菱形的四邊相等，根據(jù)面積相等，可求出AB邊上的高OH．答案：B5．(山西大同·一模）第5題圖第5題圖 B． C． D．答案：A6．(山西大同·一模）如圖：正方形ABCD的對角線BD長為。若直線l滿足：①點D到直線l的距離為

，②A、C兩點到直線l的距離相等，則符合題意的直線l的條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C7．(云南省曲靖市羅平縣·二模)如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，則DH=（）A． B． C．12 D．24【考點】菱形的性質(zhì)．【分析】設(shè)對角線相交于點O，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根據(jù)菱形的面積等對角線乘積的一半和底乘以高列出方程求解即可．【解答】解：如圖，設(shè)對角線相交于點O，∵AC=8，DB=6，∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3，由勾股定理的，AB===5，∵DH⊥AB，∴S菱形ABCD=AB?DH=AC?BD，即5DH=×8×6，解得DH=．故選A．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，難點在于利用菱形的面積的兩種表示方法列出方程．8．(山東棗莊·模擬)如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點A是劣弧的中點，點D是優(yōu)弧上一點，且∠D=30°，下列四個結(jié)論：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四邊形ABOC是菱形．其中正確結(jié)論的序號是（）A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【考點】垂徑定理；菱形的判定；圓周角定理；解直角三角形．【專題】幾何圖形問題．【分析】分別根據(jù)垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數(shù)的定義對各選項進行逐一判斷即可．【解答】解：∵點A是劣弧的中點，OA過圓心，∴OA⊥BC，故①正確；∵∠D=30°，∴∠ABC=∠D=30°，∴∠AOB=60°，∵點A是劣弧的中點，∴BC=2CE，∵OA=OB，∴OA=OB=AB=6cm，∴BE=AB?cos30°=6×=3cm，∴BC=2BE=6cm，故②正確；∵∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=，故③正確；∵∠AOB=60°，∴AB=OB，∵點A是劣弧的中點，∴AC=AB，∴AB=BO=OC=CA，∴四邊形ABOC是菱形，故④正確．故選：B．【點評】本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合性較強，是一道好題．BACD第9題圖9.(陜西師大附中·模擬)如圖，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=

120°，則對角線BACD第9題圖20B.15C.10D.5【答案】D10．（河南洛陽·一模）如圖4，正方形ABCD的邊長為4，點P、Q分別是CD、AD的中點，動點E從點A向點B運動，到點B時停止運動；同時，動點F從點P出發(fā)，沿P→D→Q運動，點E、F的運動速度相同．設(shè)點E的運動路程為x，△AEF的面積為y，能大致刻畫y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是【】答案：B11.（遼寧丹東七中·一模）下列說法不正確的是（）A．一組鄰邊相等的矩形是正方形B．對角線相等的菱形是正方形C．對角線互相垂直的矩形是正方形 D．有一個角是直角的平行四邊形是正方形答案：D12.（河大附中·一模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖：第一步，分別以點A.D為圓心，以大于AD的長為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點M、N;第二步，連接MN分別交AB、AC于點E、F;第三步，連接DE、DF.若BE=8，ED=4，CD=3，則BD的長是()A．4B．6C．8D．12第12題答案：B13.（黑龍江大慶·一模）下列命題：①等腰三角形的角平分線平分對邊；②對角線垂直且相等的四邊形是正方形；③正六邊形的邊心距等于它的邊長；④過圓外一點作圓的兩條切線，其切線長相等．其中真命題有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案：A14.（湖北襄陽·一模）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC．BD的長分別為6cm、8cm，AE⊥BC于點E，則AE的長是（） A． B． C． D．第14題答案：D15.（廣東東莞·聯(lián)考）為增加綠化面積，某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，更換后，圖中陰影部分為植草區(qū)域，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長都為a，則陰影部分的面積為（）A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2【考點】正多邊形和圓；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出∠CAB=∠CBA=45°，進而得出AC=BC=a，再利用正八邊形周圍四個三角形的特殊性得出陰影部分面積即可．【解答】解：∵某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長都為a，∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，∴sin45°===，∴AC=BC=a，∴S△ABC=×a×a=，∴正八邊形周圍是四個全等三角形，面積和為：×4=a2．正八邊形中間是邊長為a的正方形，∴陰影部分的面積為：a2+a2=2a2，故選：A．【點評】此題主要考查了正八邊形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出S△ABC的值是解題關(guān)鍵．16.（廣東深圳·一模）下列命題中是假命題的是（）A．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形B．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D．一組鄰邊相等的矩形是正方形【考點】正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定．【專題】證明題．【分析】做題時首先熟悉各種四邊形的判定方法，然后作答．【解答】解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（平行四邊形判定定理）；故A不符合題意．B、一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形，不一定是矩形，還可能是不規(guī)則四邊形，故B符合題意．C、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故C不符合題意；D、一組鄰邊相等的矩形是正方形，故D不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查各種四邊形的判定，基礎(chǔ)題要細心．17.（廣東深圳·聯(lián)考）正方形ABCD的一條對角線長為8，則這個正方形的面積是A． B．32 C．64 D．128答案：B18.（廣東深圳·聯(lián)考）如圖，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，則下列結(jié)論：△ODC是等邊三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正確的結(jié)論的個數(shù)有A．1 B．2C．3 D．4答案：CCBAD19.（河南三門峽·二模）如圖，小明在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D兩點，直線CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形CBADA．矩形 B．菱形C．正方形 D．無法確定答案：B20.（河南三門峽·一模）菱形的邊長是10，一條對角線長是12，則此菱形的另一條對角線是()A.10B.24C.8D.16答案：D（第1題）二、填空題（第1題）1．（天津市和平區(qū)·一模）長為1，寬為a的矩形紙片（＜a＜1），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．（I）第二次操作時，剪下的正方形的邊長為1﹣a；（Ⅱ）當(dāng)n=3時，a的值為或．（用含a的式子表示）【考點】翻折變換（折疊問題）．【分析】根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬．當(dāng)＜a＜1時，矩形的長為1，寬為a，所以第一次操作時所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為1﹣a，a．由1﹣a＜a可知，第二次操作時所得正方形的邊長為1﹣a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為1﹣a，a﹣（1﹣a）=2a﹣1．由于（1﹣a）﹣（2a﹣1）=2﹣3a，所以（1﹣a）與（2a﹣1）的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進行討論．又因為可以進行三次操作，故分兩種情況：①1﹣a＞2a﹣1；②1﹣a＜2a﹣1．對于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據(jù)剩下的矩形為正方形，列出方程，求出a的值．【解答】解：由題意，可知當(dāng)＜a＜1時，第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1﹣a，所以第二次操作時正方形的邊長為1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1﹣a，2a﹣1．故答案為：1﹣a；此時，分兩種情況：①如果1﹣a＞2a﹣1，即a＜，那么第三次操作時正方形的邊長為2a﹣1．∵經(jīng)過第三次操作后所得的矩形是正方形，∴矩形的寬等于1﹣a，即2a﹣1=（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得a=；②如果1﹣a＜2a﹣1，即a＞，那么第三次操作時正方形的邊長為1﹣a．則1﹣a=（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得a=．故答案為：或．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分兩種情況：①1﹣a＞2a﹣1；②1﹣a＜2a﹣1．分別求出操作后剩下的矩形的兩邊．2．（天津市南開區(qū)·一模）如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一折線段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，F(xiàn)C=10，則正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為80π﹣160．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】首先連接AC，則可證得△AEM∽△CFM，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得EM與FM的長，然后由勾股定理求得AM與CM的長，則可求得正方形與圓的面積，則問題得解．【解答】解：連接AC，∵AE丄EF，EF丄FC，∴∠E=∠F=90°，∵∠AME=∠CMF，∴△AEM∽△CFM，∴，∵AE=6，EF=8，F(xiàn)C=10，∴，∴EM=3，F(xiàn)M=5，在Rt△AEM中，AM==3，在Rt△FCM中，CM==5，∴AC=8，在Rt△ABC中，AB=AC?sin45°=8?=4，∴S正方形ABCD=AB2=160，圓的面積為：π?（）2=80π，∴正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為80π﹣160．故答案為：80π﹣160．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形與圓的面積的求解方法，以及勾股定理的應(yīng)用．此題綜合性較強，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．(浙江鎮(zhèn)江·模擬)如圖，P是菱形ABCD對角線BD上的一點，PE⊥BC于點E，PE=4cm，則點P到直線AB的距離等于cm.答案：44．(重慶巴南·一模）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD邊上的點，且∠EAF=45°，對角線BD交AE于點M，交AF于點N．若AB=4，BM=2，則MN的長為．【分析】延長BC到G，使BG=DF連接AG，在AG截取AH=AN，連接MH、BH，證得Rt△ABG≌Rt△ADF，△AMN≌△AMH，△DFN≌△BGH，△AEF≌△AEG，最后利用等量代換求得答案即可．【解答】解：如圖，延長BC到G，使BG=DF連接AG，在AG截取AH=AN，連接MH、BH．∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠4=∠5=45°，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，在RT△ABG和RT△ADF中，，∴Rt△ABG≌Rt△ADF（SAS），∴∠1=∠2，∠7=∠G，AF=AG，∴∠GAE=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°=∠EAF，在△AMN和△AMH中，，∴△AMN≌△AMH（SAS），∴MN=MH，∵AF=AG，AN=AH，∴FN=AF﹣AN=AG﹣AH=GH，在△DFN和△BFH中，，∴△DFN≌△BGH（SAS），∴∠6=∠4=45°，DN=BH，∴∠MBH=∠ABH+∠5=∠ANG﹣∠6+∠5=90°﹣45°+45°=90°∴BM2+DN2=BM2+BH2=MH2=MN2，∵BD=AB=8，∴22+（8﹣2﹣MN）2=MN2，∴MN=．故答案為：．5．(山東棗莊·模擬)如圖，點E在正方形ABCD的邊CD上．若△ABE的面積為8，CE=3，則線段BE的長為5．【考點】正方形的性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理．【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)得出AD=BC=CD=AB，根據(jù)面積求出EM，得出BC=4，根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】解：過E作EM⊥AB于M，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面積為8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案為：5．【點評】本題考查了三角形面積，正方形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出BC的長，難度適中．6.（江蘇省南京市鐘愛中學(xué)·九年級下學(xué)期期初考試）如圖，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG內(nèi)接于△ABC，點D、E分別在邊AB、AC上，點G、F在邊BC上．如果BC=20，正方形DEFG的面積為25，那么AH的長是．答案：7．（河南洛陽·一模）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交干A、B兩點，以AB為邊在第一象限作正方形ABCD，點D在雙曲線y=(k≠0)上，將正方形沿x軸負(fù)方向平移a個單位長度后，點C恰好落在該雙曲線上，則a的值是.答案：28.（河南洛陽·一模）在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，點P在AB上。若將△DAP沿DP折疊，使點A落在矩形對角線上的A'處，則AP的長為．答案：或附：詳解：①點A落在矩形對角線BD上，如圖1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5， 根據(jù)折疊的性質(zhì)，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，設(shè)AP=x，則BP=4－x，∵BP2=BA′2+PA′2， ∴（4－x）2=x2+22，解得：x=， ∴AP=；CDAPBA′APBDCA′E圖1CDAPBA′APBDCA′E圖1圖2 故答案為：或． 9.（遼寧丹東七中·一模）小明嘗試著將矩形紙片ABCD（如圖①，AD>CD）沿過A點的直線折疊，使得B點落在AD邊上的點F處，折痕為AE（如圖②）；再沿過D點的直線折疊，使得C點落在DA邊上的點N處，E點落在AE邊上的點M處，折痕為DG（如圖③）．如果第二次折疊后，M點正好在∠NDG的平分線上，那么矩形ABCD長與寬的比值為．答案：10.（遼寧丹東七中·一模）如圖，將矩形紙片ABC（D）折疊，使點（D）與點B重合，點C落在點處，折痕為EF，若，那么的度數(shù)為度。答案：125o11.（河大附中·一模）在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，點P是AC上的一個動點，過點P作EF垂直于AC交AD于點E，交AB于點F，將△AEF沿EF折疊，使點A落在點A'處，當(dāng)△A'CD是直角三角形時，AP的長為.答案：2或12.（黑龍江齊齊哈爾·一模）四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AD∥BC，AC=BD.試添加一個條件_________________，使四邊形ABCD為矩形．答案：BC=AD或AB∥CD或∠BAC=∠ACD或∠ABD=∠BDC或OB=OD或OA=OC等.(AC與BD互相平分是兩個條件，故不給分)第13題13.（黑龍江齊齊哈爾·一模）如圖，矩形ABCD的邊長AB=8，AD=4，若將△DCB沿BD所在直線翻折，點C落在點F處，DF與AB交于點E.則cos∠ADE=第13題答案：14.（廣東·一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E是邊BC上的動點，BF⊥AE交CD于點F，垂足為G，連結(jié)CG．下列說法：①AG＞GE；②AE=BF；③點G運動的路徑長為π；④CG的最小值為﹣1．其中正確的說法是．（把你認(rèn)為正確的說法的序號都填上）答案：②③15.（廣東東莞·聯(lián)考）將正方形與直角三角形紙片按如圖所示方式疊放在一起，已知正方形的邊長為20cm，點O為正方形的中心，AB=5cm，則CD的長為20cm．【考點】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意四邊形BOCE是正方形，且邊長等于大正方形的邊長的一半，等于10cm，再根據(jù)△DCE和△DOA相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【解答】解：如圖，∵點O為正方形的中心，∴四邊形BOCE是正方形，邊長=20÷2=10cm，∵CE∥AO，∴△DCE∽△DOA，∴，即，解得DC=20cm．故答案為：20．【點評】本題主要考查正方形各邊都相等，每個角都是直角的性質(zhì)和相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運用．16.（2016?廣東?一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E是邊BC上的動點，BF⊥AE交CD于點F，垂足為G，連結(jié)CG．下列說法：①AG＞GE；②AE=BF；③點G運動的路徑長為π；④CG的最小值為﹣1．其中正確的說法是．（把你認(rèn)為正確的說法的序號都填上）答案：②③17.（2016?廣東東莞?聯(lián)考）將正方形與直角三角形紙片按如圖所示方式疊放在一起，已知正方形的邊長為20cm，點O為正方形的中心，AB=5cm，則CD的長為20cm．答案：20．

18.（2016?廣東河源?一模）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4cm，則四邊形CODE的周長為。答案：8cm19.（2016?廣東深圳?聯(lián)考）如圖，已知矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，P是位似中心，若點B的坐標(biāo)為（2，4），點E的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點P的坐標(biāo)為答案：（-2，0）20.（廣東河源·一模）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4cm，則四邊形CODE的周長為。答案：8cm21.（廣東河源·一模）如圖，三個小正方形的邊長都為1，則圖中陰影部分面積的和是__________。（結(jié)果保留π）答案：22.（廣東深圳·聯(lián)考）如圖，已知矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，P是位似中心，若點B的坐標(biāo)為（2，4），點E的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點P的坐標(biāo)為答案：（-2，0）23.（廣東深圳·聯(lián)考）如圖，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30o，點P是線段AC上的動點，點Q是線段CD上的動點，則AQ+QP的最小值是答案：三、解答題1．(浙江鎮(zhèn)江·模擬)（本小題滿分6分）如圖，E、F分別是□ABCD的邊BC、AD上的中點.（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）當(dāng)∠BAC=°時，四邊形AECF是菱形.（1）證明：在□ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠B=∠D，∵E、F分別是□ABCD的邊BC、AD上的中點,∴BE=BC，DF=AD，則BE=DF.在△ABE和△CDF中，BE=DF，∠B=∠D，AB=CD，則△ABE≌△CDF；（2）當(dāng)∠BAC=90°時，四邊形AECF是菱形.2.（2016齊河三模）如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于點G.(1)觀察圖形，寫出圖中所有與∠AED相等的角；(2)選擇圖中與∠AED相等的任意一個角，并加以證明．答案：（1）由圖可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE與∠AED相等；（2）選擇∠DAG=∠AED，證明如下：∵正方形ABCD，∴∠DAB=∠B=90°，AD=AB，∵AF=DE，在△DAE與△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE=∠BAF，∵∠DAG+∠BAF=90°，∠GDA+∠AED=90°，∴∠DAG=∠AED．3.（2016青島一模）已知：如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分別與對角線BD交于點G、H，連接EH，F(xiàn)G．（1）求證：△BFH≌△DEG；（2）連接DF，若BF=DF，則四邊形EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行線的性質(zhì)得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出結(jié)論；（2）先證明四邊形EGFH是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得出EF⊥GH，即可得出四邊形EGFH是菱形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠FBH=∠EDG，∵AE=CF，∴BF=DE，∵EG∥FH，∴∠OHF=∠OGE，∴∠BHF=∠DGE，在△BFH和△DEG中，，∴BFH≌△DEG（AAS）；（2）解：四邊形EGFH是菱形；理由如下：連接DF，如圖所示：由（1）得：BFH≌△DEG，∴FH=EG，又∵EG∥FH，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∵BF=DF，OB=OD，∴EF⊥BD，∴EF⊥GH，∴四邊形EGFH是菱形．4．（天津南開區(qū)·二模）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE.易證:CE=CF.(1)在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=450.試猜想GE，BE，GD三線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(2)運用(1)中解答所積累的經(jīng)驗和知識，完成下面兩題：①如圖2，在四邊形ABCD中∠B=∠D=900，BC=CD，點E，點G分別是AB邊，AD邊上的動點.若∠BCD=α，∠ECG=β，試探索當(dāng)α和β滿足什么關(guān)系時，圖1中GE，BE，GD三線段之間的關(guān)系仍然成立，并說明理由.②在平面直角坐標(biāo)中，邊長為1的正方形OABC的兩頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現(xiàn)將正方形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N(如圖3).設(shè)△MBN的周長為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值是否有變化？若不變，請直接寫出結(jié)論．考點：四邊形綜合題答案：見解析試題解析：（1）∵在△EBC和△FDC中，∴△EBC≌△FDC，∴∠DCF=∠BCE，∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠DCG=90°﹣45°=45°，即∠DCG+∠DCF=45°，∴GC=GC，ECG=∠FCG，在△ECG和△FCG中，，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，即GE=BE+GD．（2）①α=2β．如圖，延長AD到F點，使DF=BE，連接CF，可證△EBC≌△FDC，則∠BCE+∠DCG=∠GCF，由α=2β可知∠ECG=∠GCF，可證△ECG≌△FCG，故EG=GF，即GE=BE+GD．②在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，P值無變化．證明：如圖，延長BA交y軸于E點，則∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN．在△OAE和△OCN中，．∴△OAE≌△OCN（ASA）．∴OE=ON，AE=CN．在△OME和△OMN中．∴△OME≌△OMN（SAS）．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，P值無變化．(山西大同·一模）如圖，已知：AB是的弦，CD是的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，的切線BM與AO的延長線相交于點M，連接AC、CM（1）若AB=，求的半徑及弧AB的長度.（2）求證：四邊形ABMC是菱形.答案：解（1）連接OB∵OA=OB，E是AB的中點∴∠AOE=∠BOE,OE⊥AB又∵OE=OA∴∠OAB=30°，∠AOE=60°設(shè)AO為x，則OE=x∴x=4∴弧AB長l=（2）由（1）∠OAB=∠OBA=30°∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°∴AB=BM在△COM和△BOM中OC=OB∠COM=∠BOMOM=OM∴△COM≌△BOM（SAS）∴CM=BM=AB ∴AB∥CM∴ABCD是菱形6．(山西大同·一模）問題情境：如圖將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點B恰好落在AD邊的中點F處，折痕EG分別交AB、CD于點E、G，F(xiàn)N與DC交于點M，連接BF交EG于點P.獨立思考：（1）AE=_______cm，△FDM的周長為_____cm（2）猜想EG與BF之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.拓展延伸：如圖2，若點F不是AD的中點，且不與點A、D重合：①△FDM的周長是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論.②判斷（2）中的結(jié)論是否仍然成立，若不成立請直接寫出新的結(jié)論（不需證明）.答案：（1）3，16(2)EG⊥BF,EG=BF則∠EGH+∠GEB=90°由折疊知，點B、F關(guān)于直線GE所在直線對稱∴∠FBE=∠EGH∵ABCD是正方形∴AB=BC∠C=∠ABC=90°四邊形GHBC是矩形，∴GH=BC=AB∴△AFB全等△HEG∴BF=EG(3)①△FDM的周長不發(fā)生變化由折疊知∠EFM=∠ABC=90°∴∠DFM+∠AFE=90°∵四邊形ABCD為正方形，∠A=∠D=90°∴∠DFM+∠DMF=90°∴∠AFE=∠DMF∴△AEF∽△DFM∴設(shè)AF為x，F(xiàn)D=8-x∴∴FMD的周長=∴△FMD的周長不變②（2）中結(jié)論成立7．(云南省曲靖市羅平縣·二模)在△ABC中，D是BC邊的中點，E、F分別在AD及其延長線上，CE∥BF，連接BE、CF．（1）求證：△BDF≌△CDE；（2）若DE=BC，試判斷四邊形BFCE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．【考點】矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)平行線得出∠CED=∠BFD，根據(jù)AAS推出兩三角形全等即可；（2）根據(jù)全等得出DE=DF，根據(jù)BD=DC推出四邊形是平行四邊形，求出∠BEC=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可．【解答】（1）證明：∵CE∥BF，∴∠CED=∠BFD，∵D是BC邊的中點，∴BD=DC，在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE（AAS）；（2）四邊形BFCE是矩形，證明：∵△BDF≌△CDE，∴DE=DF，∵BD=DC，∴四邊形BFCE是平行四邊形，∵BD=CD，DE=BC，∴BD=DC=DE，∴∠BEC=90°，∴平行四邊形BFCE是矩形．【點評】本題考查了平行線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，平行四邊形的判定的應(yīng)用，注意：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．8．(云南省·一模)如圖，在△ABC中，DE分別是AB，AC的中點，BE=2DE，延長DE到點F，使得EF=BE，連CF（1）求證：四邊形BCFE是菱形；（2）若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面積．【考點】菱形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）從所給的條件可知，DE是△ABC中位線，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四邊形BCFE是平行四邊形，又因為BE=FE，所以是菱形；（2）由∠BEF是120°，可得∠EBC為60°，即可得△BEC是等邊三角形，求得BE=BC=CE=6，再過點E作EG⊥BC于點G，求的高EG的長，即可求得答案．【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形，又∵BE=EF，∴四邊形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BEF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等邊三角形，∴BE=BC=CE=6，過點E作EG⊥BC于點G，∴EG=BE?sin60°=6×=3，∴S菱形BCFE=BC?EG=6×3=18．【點評】本題考查菱形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計算等知識點．注意證得△BEC是等邊三角形是關(guān)鍵．9．(云南省·二模)如圖，四邊形ABCD是矩形，點E是AD的中點，點F是BC的中點．求證：△ABF≌△CDE．【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定．【專題】證明題．【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠B=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，由中點的定義得出BF=DE，由SAS證明△ABF≌△CDE即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∵點E是AD的中點，點F是BC的中點，∴DE=ADBF=BC，∴BF=DE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS）．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定；熟練掌握矩形的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定方法SAS是解決問題的關(guān)鍵．10．(山東棗莊·模擬)如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點E，F(xiàn)是OE上的一點，使CF∥BD．（1）求證：BE=CE；（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的長．【考點】垂徑定理；勾股定理；菱形的判定．【分析】（1）證明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明；（2）菱形，證明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四邊形BFCD是平行四邊形，易證BD=CD，可證明結(jié)論；（3）設(shè)DE=x，則根據(jù)CE2=DE?AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．【解答】（1）證明：∵AD是直徑，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；（2）四邊形BFCD是菱形．證明：∵AD是直徑，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四邊形BFCD是平行四邊形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四邊形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直徑，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE?AE，設(shè)DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD===2．【點評】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)：垂徑定理、圓周角定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，熟悉圓的有關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)·一模）（7分）如圖，在中，平分，過點分別作、，分別交于點．求證：四邊形是菱形．（第（第11題）答案：證明：∵、，∴四邊形是平行四邊形．∵平分，∴．∵，∴．∴．∴．∴平行四邊形是菱形．12.（吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)·一模）（9分）如圖，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，點的對應(yīng)點恰好落在的延長線上，邊交邊于點．（1）求證：．（2）若，，求的長．（第12（第12題）答案：解：（1）連結(jié)AC、，如圖．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC90°，即．由旋轉(zhuǎn)，得，∴．（2）∵四邊形為矩形，∴．∵，∴．由旋轉(zhuǎn)，得，∴．∵，∴≌．∴．設(shè)，則．在中，，由勾股定理，得．解得．∴．13.（江蘇丹陽市丹北片·一模）（7分）已知：如圖，正方形ABCD的邊長為6，BM，DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN=45°，連接MC，NC，MN．（1）求證：BM?DN=36；（2）求∠MCN的度數(shù)；答案：（7分）（1）證明略（3分）（2）135度（4分）14.（上海市閘北區(qū)·中考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測4月卷）如圖，矩形OMPN的頂點O在原點，M、N分別在軸和軸的正半軸上，OM=6，ON=3，反比例函數(shù)的圖像與PN交于C，與PM交于D，過點C作CA⊥軸于點A，過點D作DB⊥軸于點B，AC與BD交于點G．（1）求證：AB//CD；（2）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)是否若存在點E，使以B、C、D、E為頂點，BC為腰的梯形是等腰梯形？若存在，求點E的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．（第14題圖）（第14題圖）GOyAxBCDNPM答案：解：∵矩形OMPN，OM＝6，ON＝3∴點P（6，3）∵點C、D都在反比例函數(shù)圖像上，且點C在PN上，點D在PM上，∴點C（2，3），點D（6，1）又DB⊥y軸，CA⊥x軸，∴A（2，0），B（0，1）∵BG＝2，GD＝4，CG＝2，AG＝1∴，∴∴AB∥CD．（第14（第14題圖）OyAxBCDNPMG又解：求直線CD的解析式為，直線AB的解析式為．因為兩直線的斜率相等，在y軸上的截距不等，所以兩直線平行．（酌情給分）（2）①∵PN∥DB∴當(dāng)DE1＝BC時，四邊形BCE1D是等腰梯形此時Rt△CNB≌△Rt△E1PD，∴PE1＝CN＝2，∴點E1（4，3）②∵CD∥AB，當(dāng)E2在直線AB上，DE2＝BC＝2，四邊形BCDE2為等腰梯形，直線AB的解析式為∴設(shè)點E2（x，）DE2=BC=，∴，（舍去）∴E2（，）；15.（湖南省岳陽市十二校聯(lián)考·一模）數(shù)學(xué)活動：擦出智慧的火花﹣﹣﹣由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上的點，過點E作EF⊥AE，過點F作FG⊥BC交BC的延長線于點G．．（1）求證：∠BAE=∠FEG．（2）同學(xué)們很快做出了解答，之后李老師將題目修改成：如圖2，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線于點F，求證：AE=EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．請借助圖1完成小明的證明；在（2）的基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進一步的研究：（3）小聰提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小聰?shù)挠^點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．【考點】四邊形綜合題．【分析】（1）根據(jù)∠AEF=90°，即可得到∠AEB+∠FEG=90°，在直角△ABE中，利用三角形內(nèi)角和定理得到∠BAE+∠AEB=90°，然后根據(jù)同角的余角相等，即可證得；（2）作AB的中點M，連接ME，根據(jù)ASA即可證明△AME≌△ECF，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得；（3）在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME，同（2）根據(jù)ASA即可證明△AME≌△ECF，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得．【解答】解：（1）∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEG=90°，又∵直角△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEG；（2）作AB的中點M，連接ME．∵正方形ABCD中，AB=BC，又∵AM=MB=AB，BE=CE=BC，∴MB=BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，又∵∠ECF=180°﹣∠FCG=180°﹣45°=135°．∴∠AME=∠ECF，∴在△AME和△ECF中，，∴△AME≌△ECF，∴AE=EF；（3）在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME．∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，∵CF是外角平分線，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°∴∠AME=∠ECF∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°∴∠BAE=∠CEF∴在△AME和△ECF中，，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，要注意題目之間的聯(lián)系，正確作出輔助線構(gòu)造全等的三角形是本題的關(guān)鍵．16.（黑龍江大慶·一模）如圖，在□ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點，BG∥AC交DA的延長線于點G．（1）求證：△ADF≌△CBE；（2）若四邊形AGBC是矩形，判斷四邊形AECF是什么特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論．答案：（1）證明：∵□ABCD，∴AD=CB，∠D=∠ABC，AB=CD，又∵E、F分別是邊AB、CD的中點，∴DF=BE，∴△ADF∽≌△CBE； 四邊形AECF為菱形；∵矩形AGBC，∴∠ACB=90°，又∵E為AB中點，∴CE=AB=AE，同理AF=FC，∴AF=FC=CE=EA，∴四邊形AECF為菱形． 17.（黑龍江齊齊哈爾·一模）如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=3，在BC邊上取一點E，使BE=4，連結(jié)AE，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCF的位置，拼成四邊形AEFD．（1）求證:四邊形AEFD是菱形；（2）求四邊形AEFD的兩條對角線的長.答案：（1）證明：∵△ABE平移至△DCF的位置.∴△ABE≌△DCF.∴BE=CF∵四邊形ABCD為矩形.∴AD∥BC，AD=BC，∠B=90°.∴EF=EC+CF=EC+BE=BC=AD.∴四邊形AEFD為平行四邊形.在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：AE=∵AD=5,∴AD=AE.∴四邊形AEFD為菱形.（2）連結(jié)DE、AF.求出DE=.求出AF=.18.（湖北襄陽·一模）(本題11分）如圖，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC邊上任意一點，E是BC延長線上一點，連接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA，連接CF，AF，AF交CD邊于點G，連接PG．（1）求證：∠GCF＝∠FCE；（2）判斷線段PG，PB與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若BP＝2，在直線AB上是否存在一點M，使四邊形DMPF是平行四邊形，若存在，求出BM的長度，若不存在，說明理由．HKMHKM答案：（1）證明：過點F作FH⊥BE于點H，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠PHF＝∠DCB＝90o,AB＝BC，∴∠BAP＋∠APB＝90o∵AP⊥PF,∴∠APB＋∠FPH＝90o∴∠FPH＝∠BAP又∵AP＝PF∴△BAP≌△HPF∴PH＝AB，BP＝FH∴PH＝BC∴BP＋PC＝PC＋CH∴CH＝BP＝FH而∠FHC＝90o.∴∠FCH＝CFH＝45o∴∠DCF＝90o－45o＝45o∴∠GCF＝∠FCE（2）PG＝PB＋DG證明：延長PB至K，使BK=DG,∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD,∠ABK＝ADG=90o∴△ABK≌△ADG∴AK=AG,∠KAB＝∠GAD,而∠APF=90o,AP=PF∴∠PAF＝∠PFA＝45o∴∠BAP＋∠KAB＝∠KAP＝45o＝∠PAF∴△KAP≌△GAP∴KP=PG,∴KB＋BP=DG＋BP＝PG即，PG＝PB＋DG；（3）存在.如圖，在直線AB上取一點M，使四邊形DMPF是平行四邊形，則MD∥PF，且MD＝FP，又∵PF=AP，∴MD=AP∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABP=∠DAM∴△ABP≌△DAM∴AM＝BP=2，∴BM＝AB－AM=5－2=3.∴當(dāng)BM=3，BM+AM=AB時，四邊形DMPF是平行四邊形．19.（廣東·一模）（本題滿分10分）定義：數(shù)學(xué)活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形．理解：（1）如圖1，已知A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點，AB、BC為邊的兩個對等四邊形ABCD；（2）如圖2，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，AC=BD．求證：四邊形ABCD是對等四邊形；（3）如圖3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，點A在BP邊上，且AB=13．用圓規(guī)在PC上找到符合條件的點D，使四邊形ABCD為對等四邊形，并求出CD的長．解：（1）如圖1所示（畫2個即可）．（2）如圖2，連接AC，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ADB和Rt△ACB中，∴Rt△ADB≌Rt△ACB，∴AD=BC，又∵AB是⊙O的直徑，∴AB≠CD，∴四邊形ABCD是對等四邊形．（3）如圖3，點D的位置如圖所示：①若CD=AB，此時點D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此時點D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，過點A分別作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BE=x，∵tan∠PBC=，∴AE=，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即，解得：x1=5，x2﹣5（舍去），∴BE=5，AE=12，∴CE=BC﹣BE=6，由四邊形AECF為矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，，∴，，綜上所述，CD的長度為13、12﹣或12+．20.（廣東東莞·聯(lián)考）在由m×n（m×n＞1）個小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它的一條對角線所穿過的小正方形個數(shù)f，（1）當(dāng)m、n互質(zhì)（m、n除1外無其他公因數(shù)）時，觀察下列圖形并完成下表：mnm+nf123213432354257347猜想：當(dāng)m、n互質(zhì)時，在m×n的矩形網(wǎng)格中，一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與m、n的關(guān)系式是f=m+n﹣1（不需要證明）；（2）當(dāng)m、n不互質(zhì)時，請畫圖驗證你猜想的關(guān)系式是否依然成立．【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；規(guī)律型：圖形的變化類．【分析】（1）通過觀察即可得出當(dāng)m、n互質(zhì)時，在m×n的矩形網(wǎng)格中，一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與m、n的關(guān)系式，（2）當(dāng)m、n不互質(zhì)時，畫出圖即可驗證猜想的關(guān)系式不成立．【解答】解：（1）表格中分別填6，6mnm+nf12321343235425763476f與m、n的關(guān)系式是：f=m+n﹣1．故答案為：f=m+n﹣1．（2）m、n不互質(zhì)時，猜想的關(guān)系式不一定成立，如下圖：．【點評】此題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，關(guān)鍵是通過觀察表格，總結(jié)出一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與m、n的關(guān)系式，要注意m、n互質(zhì)的條件．21.（廣東東莞·聯(lián)考）如圖，△OBD中，OD=BD，△OBD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△OAC，此時B，D，C三點正好在一條直線上，且點D是BC的中點．（1）求∠COD度數(shù)；（2）求證：四邊形ODAC是菱形．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；菱形的判定．【分析】（1）如圖，根據(jù)題意證明△OBC為直角三角形，結(jié)合OC=，求出∠B即可解決問題．（2）首先證明AC∥OD，結(jié)合AC=OD，判斷四邊形ADOC為平行四邊形