2024屆河南省濟(jì)源一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2024屆河南省濟(jì)源一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．圓與的位置關(guān)系是（）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．相離．2．設(shè)6人站成一排，甲、乙、丙3個(gè)人不能都站在一起的排法種數(shù)為()A．720 B．144 C．576 D．3243．下列命題中正確的是（）A．若為真命題，則為真命題B．“”是“”的充要條件C．命題“，則或”的逆否命題為“若或，則”D．命題：，使得，則：，使得4．利用反證法證明“若，則”時(shí)，假設(shè)正確的是（）A．都不為2 B．且都不為2C．不都為2 D．且不都為25．若函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，則函數(shù)的圖像是（）A． B．C． D．6．10名運(yùn)動(dòng)員中有2名老隊(duì)員和8名新隊(duì)員，現(xiàn)從中選3人參加團(tuán)體比賽，要求老隊(duì)員至多1人入選且新隊(duì)員甲不能入選的選法有（）A．77種 B．144種 C．35種 D．72種7．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是()A． B． C． D．以上都不正確9．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是A． B． C． D．11．在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)為（）A． B． C． D．12．設(shè)隨機(jī)變量，若，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．向量與之間的夾角的大小為_(kāi)_________.14．若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_____．15．若，且，則稱(chēng)集合是“兄弟集合”，在集合中的所有非空子集中任選一個(gè)集合，則該集合是“兄弟集合”的概率是__________16．若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知某條有軌電車(chē)運(yùn)行時(shí)，發(fā)車(chē)時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿(mǎn)足：，.經(jīng)測(cè)算，電車(chē)載客量與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔滿(mǎn)足：，其中.（1）求，并說(shuō)明的實(shí)際意義；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘最大凈收益.18．（12分）已知函數(shù)（，）的最大值為正實(shí)數(shù)，集合，集合.（1）求和；（2）定義與的差集：，設(shè)、、設(shè)均為整數(shù)，且，為取自的概率，為取自的概率，寫(xiě)出與的二組值，使，.19．（12分）某校為“中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽”選拔人才，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：分?jǐn)?shù)不小于本次考試成績(jī)中位數(shù)的具有復(fù)賽資格，某校有900名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．（1）求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線；（2）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人？（3）從（2）抽取的7人中，選出4人參加全市座談交流，設(shè)表示得分在中參加全市座談交流的人數(shù)，學(xué)校打算給這4人一定的物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)，若該生分?jǐn)?shù)在給予500元獎(jiǎng)勵(lì)，若該生分?jǐn)?shù)在給予800元獎(jiǎng)勵(lì)，用Y表示學(xué)校發(fā)的獎(jiǎng)金數(shù)額，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。20．（12分）已知正三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使二面角等于60°？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓，右焦點(diǎn)為．（1）若其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，焦距為，求其標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）證明該橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值是．22．（10分）已知函數(shù).(I)求的減區(qū)間;(II)當(dāng)時(shí),求的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

試題分析：由題是給兩圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)?，所以?xún)蓤A相離，故選D.考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系．2、C【解題分析】

先求出6人站成一排，有多少種排法，再計(jì)算把甲、乙、丙3個(gè)人捆綁在一起，再跟剩下的3人排列，有多少種排法，這樣就可以用減法求出甲、乙、丙3個(gè)人不能都站在一起的排法種數(shù).【題目詳解】求出6人站成一排，有種排法，把甲、乙、丙3個(gè)人捆綁在一起，再跟剩下的3人排列，有種排法，因此甲、乙、丙3個(gè)人不能都站在一起的排法種數(shù)為，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了全排列、捆綁法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3、B【解題分析】

根據(jù)且、或命題真假性判斷A選項(xiàng)真假，根據(jù)充要條件知識(shí)判斷B選項(xiàng)真假，根據(jù)逆否命題的概念判斷C選項(xiàng)真假，根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題判斷D選項(xiàng)真假.【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)真時(shí)，可能一真一假，故可能是假命題，故A選項(xiàng)為假命題.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)基本不等式和充要條件的知識(shí)可知，B選項(xiàng)為真命題.對(duì)于C選項(xiàng)，原命題的逆否命題為“若且，則”，故C選項(xiàng)為假命題.對(duì)于D選項(xiàng)，原命題為特稱(chēng)命題，其否定是全稱(chēng)命題，要注意否定結(jié)論，即：，使得.綜上所述，本小題選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查還有簡(jiǎn)單邏輯連接詞真假性，考查充要條件，考查逆否命題，考查特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

根據(jù)反證法的知識(shí)，選出假設(shè)正確的選項(xiàng).【題目詳解】原命題的結(jié)論是“都為2”，反證時(shí)應(yīng)假設(shè)為“不都為2”．故選：C【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查反證法的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)解題?！绢}目詳解】，斜率為正，排除BD選項(xiàng)。的圖象的頂點(diǎn)在第一象限其對(duì)稱(chēng)軸大于0即b<0,選A【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)已知信息選導(dǎo)函數(shù)的大致圖像。屬于簡(jiǎn)單題。6、A【解題分析】

根據(jù)所選3名隊(duì)員中包含老隊(duì)員的人數(shù)分成兩類(lèi):(1)只選一名老隊(duì)員;(2)沒(méi)有選老隊(duì)員,分類(lèi)計(jì)數(shù)再相加可得.【題目詳解】按照老隊(duì)員的人數(shù)分兩類(lèi):(1)只選一名老隊(duì)員,則新隊(duì)員選2名(不含甲)有42;(2)沒(méi)有選老隊(duì)員,則選3名新隊(duì)員(不含甲)有,所以老隊(duì)員至多1人入選且新隊(duì)員甲不能入選的選法有:種.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理,屬基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，計(jì)算，再計(jì)算對(duì)應(yīng)點(diǎn)的象限.【題目詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為：故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)象限，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、C【解題分析】令，則當(dāng)時(shí)：，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；不等式在上的解集為，同理，不等式在上的解集為，綜上可得：不等式的解集是.9、C【解題分析】試題分析：，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴，又∵，，不等式只有兩個(gè)整數(shù)解，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故選C．【考點(diǎn)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用．10、A【解題分析】

本題主要考查利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計(jì)算是住店問(wèn)題，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻是相同元素的排列問(wèn)題，利用直接法即可計(jì)算．【題目詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個(gè)陽(yáng)爻情況有，所以該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率為=，故選A．【題目點(diǎn)撥】對(duì)利用排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題．本題是重復(fù)元素的排列問(wèn)題，所以基本事件的計(jì)算是“住店”問(wèn)題，滿(mǎn)足條件事件的計(jì)算是相同元素的排列問(wèn)題即為組合問(wèn)題．11、A【解題分析】由圓，化為，∴，化為，∴圓心為，半徑r=．∵tanα=，取極角，∴圓的圓心的極坐標(biāo)為．故選A．12、B【解題分析】

根據(jù)，可以求出的值，利用二項(xiàng)分布的方差公式直接求出的值.【題目詳解】解:，解得，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)分布的方差公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、120°【解題分析】

首先求得向量的數(shù)量積和向量的模，然后利用夾角公式即可求得向量的夾角.【題目詳解】由題意可得：，，，則.故答案為：120°．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間向量夾角的計(jì)算，空間向量數(shù)量積和向量的模的計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、9【解題分析】

根據(jù)，展開(kāi)后利用基本不等式求最值.【題目詳解】等號(hào)成立的條件是，即，，解得：的最小值是9.【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式求最值的問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題型.基本不等式求最值，需滿(mǎn)足“一正，二定，三相等”，這三個(gè)要素缺一不可.15、【解題分析】

首先確定非空子集的個(gè)數(shù)；根據(jù)“兄弟集合”的定義，可列舉出所有“兄弟集合”，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果.【題目詳解】集合的非空子集共有：個(gè)集合的非空子集中，為“兄弟集合”的有：，，，，，，，共個(gè)根據(jù)古典概型可知，所求概率本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型概率問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)“兄弟集合”的定義確定符合題意的集合個(gè)數(shù).16、【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和為可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為：，解得：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），實(shí)際意義是當(dāng)電車(chē)的發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，載客量為350；（2）間隔時(shí)間為5分鐘時(shí)凈收益最大，每分鐘最大凈收益為60元.【解題分析】

（1）根據(jù)的解析式代入求得,其意義為某一時(shí)刻的載客量.（2）將的解析式代入即可求得的解析式.根據(jù)基本不等式性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性可求得收益的最大值及取得最大收益時(shí)的間隔發(fā)車(chē)時(shí)間.【題目詳解】（1）因?yàn)樗缘膶?shí)際意義是當(dāng)電車(chē)的發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為5分鐘時(shí),載客量為（2）根據(jù),則將的解析式代入的解析式可得化簡(jiǎn)即可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立綜上可知,當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為時(shí),線路每分鐘的收益最大,最大為元.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,利用基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性求最值,屬于基礎(chǔ)題.18、（1），；（2），或，.【解題分析】

（1）根據(jù)求解集合，然后根據(jù)二次函數(shù)的最大值大于0確定，求集合;（2）求與的兩組值，根據(jù)、、設(shè)均為整數(shù)，且，可以分中有3個(gè)元素，中有2個(gè)元素，中有1個(gè)元素，以及中有6個(gè)元素，中有4個(gè)元素，中有2個(gè)元素兩種情況討論得到與的兩組值.【題目詳解】（1）不等式的解集是，即函數(shù)（，）的最大值為正實(shí)數(shù)，，，，不等式的解集是，.（2）要使，，可以分兩種情況，①可以使中有3個(gè)元素，中有2個(gè)元素，中有1個(gè)元素，根據(jù)（1）的結(jié)果，可知，此時(shí)集合有3個(gè)整數(shù)元素，中有1個(gè)元素即；②可以使中有6個(gè)元素，中有4個(gè)元素，中有2個(gè)元素，則，此時(shí)集合有6個(gè)整數(shù)元素，,中有2個(gè)元素即，綜上，與的兩組值分別是，或，.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的最值和解不等式，以及古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于中檔題型，本題的第二問(wèn)只寫(xiě)與的兩組值，所以只寫(xiě)出比較簡(jiǎn)單的兩個(gè)集合即可.19、（1）本次考試復(fù)賽資格最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為100分；（2）5人，2人；（3）元.【解題分析】

（1）求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線，即是求考試成績(jī)中位數(shù)，只需滿(mǎn)足中位數(shù)兩側(cè)的頻率之和均為0.5即可；（2）先確定得分在區(qū)間與的頻率之比，即可求解；（3）先確定的可能取值，再求出其對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望.【題目詳解】（1）由題意知的頻率為：，的頻率為：所以分?jǐn)?shù)在的頻率為：，從而分?jǐn)?shù)在的，假設(shè)該最低分?jǐn)?shù)線為由題意得解得．故本次考試復(fù)賽資格最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為100分。（2）在區(qū)間與，，在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人，分在區(qū)間與各抽取5人，2人，結(jié)果是5人，2人．（3）的可能取值為2，3，4，則：，從而Y的分布列為Y260023002000(元)．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查頻率分布直方圖求中位數(shù)，以及分層抽樣和超幾何分布等問(wèn)題，熟記相關(guān)概念，即可求解，屬于常考題型.20、（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，二面角等于.【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）證明：連接，由為正三棱柱為正三角形，又平面平面平面.易得丄平面.（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件，設(shè).由丄平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為．試題解析：（Ⅰ）證明：連接，因?yàn)闉檎庵?，所以為正三角形，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以.因?yàn)椋?，所以在中，，在中，，所以，?又，所以丄平面，面，所以.（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件，設(shè).取的中點(diǎn)，連接，則丄平面，所以，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，同理，平面的一個(gè)法向量為，則，取，∴.∴，解得，故存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，二面角等于.21、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）由題設(shè)條件可得出、的值，進(jìn)而可求出的值，由此得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，將該點(diǎn)代入橢圓的方程得出，并代入的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.【題目詳解】（1）由題意，，，則，．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓方程的求解