2024屆湖南省名校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2024屆湖南省名校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．展開(kāi)式中的所有項(xiàng)系數(shù)和是（）A．0 B．1 C．256 D．5122．已知圓C:(x-a)2+(y-b)2=1，平面區(qū)域Ω:x+y-6≤0x-y+4≥0y≥0A．-∞,-73∪75,+∞3．地球半徑為R,北緯45°圈上A,B兩點(diǎn)分別在東徑130°和西徑140°,并且北緯45°圈小圓的圓心為O′,則在四面體O-ABO′中，直角三角形有（）A．0個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．設(shè)向量，，若向量與同向，則（）A．2 B．-2 C．±2 D．05．如圖是求樣本數(shù)據(jù)方差的程序框圖，則圖中空白框應(yīng)填入的內(nèi)容為（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，則函數(shù)滿足（）A．最小正周期為 B．圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在區(qū)間上為減函數(shù) D．圖像關(guān)于直線對(duì)稱7．某科研單位準(zhǔn)備把7名大學(xué)生分配到編號(hào)為1，2，3的三個(gè)實(shí)驗(yàn)室實(shí)習(xí)，若要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室分配到的大學(xué)生人數(shù)不小于該實(shí)驗(yàn)室的編號(hào)，則不同的分配方案的種數(shù)為（）A．280 B．455 C．355 D．3508．如表是某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：34562.53m4.5若根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法可求得對(duì)的回歸直線方程是，則表中的值為（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.59．若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知，，，則b=A． B． C．2 D．311．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，（）A． B． C． D．12．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，且最大值為1，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)若存在互不相等實(shí)數(shù)有則的取值范圍是______.14．直線ax-ay-1=0與圓(x-2)2+y2=1交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A,B分別作y軸的垂線與y軸交于C,D兩點(diǎn)，若15．隨機(jī)變量，變量，則__________．16．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對(duì)于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若，判斷與的大小關(guān)系并證明.18．（12分）已知集合，．(1)分別求，；(2)已知集合，若，求實(shí)數(shù)a的取值集合．19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，，點(diǎn)在上．（1）求證：；（2）若，求三棱錐的體積．20．（12分）為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查．已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：超過(guò)1小時(shí)不超過(guò)1小時(shí)男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過(guò)1小時(shí)與性別有關(guān)？（3）以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查6名學(xué)生，試估計(jì)6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的人數(shù)．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）在某中學(xué)高中某學(xué)科競(jìng)賽中，該中學(xué)100名考生的參賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示．（1）求這100名考生的競(jìng)賽平均成績(jī)（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表）；（2）記70分以上為優(yōu)秀，70分及以下為合格，結(jié)合頻率分布直方圖完成下表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該學(xué)科競(jìng)賽成績(jī)與性別有關(guān)？合格優(yōu)秀合計(jì)男生18女生25合計(jì)100附：．0.0500.0100.0053.8416.6357.87922．（10分）已知函數(shù)，（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；（2）若函數(shù)在與處的切線互相垂直，求的取值范圍；（3）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

令，可求出展開(kāi)式中的所有項(xiàng)系數(shù)和.【題目詳解】令，則，即展開(kāi)式中的所有項(xiàng)系數(shù)和是1，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了展開(kāi)式的系數(shù)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

分析：畫(huà)出可行域，由可行域結(jié)合圓C與x軸相切，得到b=1且-3≤a≤5，從而可得結(jié)果.詳解：畫(huà)出可行域如圖，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心C(a,b)，半徑為1因?yàn)閳AC與x軸相切，所以b=1，直線y=1分別與直線x+y-6=0與x-y+4=0交于點(diǎn)B5,1所以-3≤a≤5，圓心C(a,b)與點(diǎn)（2,8-3≤a<2時(shí)，k∈72<a≤5時(shí)k∈-所以圓心C(a,b)與點(diǎn)（2,8）連線斜率的取值范圍是-點(diǎn)睛：本題主要考查可行域、含參數(shù)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解，屬于中檔題.含參變量的線性規(guī)劃問(wèn)題是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，由于參數(shù)的引入，提高了思維的技巧、增加了解題的難度，此類問(wèn)題的存在增加了探索問(wèn)題的動(dòng)態(tài)性和開(kāi)放性，此類問(wèn)題一般從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對(duì)目標(biāo)函數(shù)變化過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)分析，對(duì)變化過(guò)程中的相關(guān)量的準(zhǔn)確定位，是求最優(yōu)解的關(guān)鍵.3、C【解題分析】

畫(huà)圖標(biāo)注其位置，即可得出答案?！绢}目詳解】如圖所示：，即有3個(gè)直角三角形?！绢}目點(diǎn)撥】本題涉及到了地理相關(guān)的經(jīng)緯度概念。學(xué)生需理解其基本概念，將題干所述信息轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)求解。4、A【解題分析】

由與平行，利用向量平行的公式求得x,驗(yàn)證與同向即可得解【題目詳解】由與平行得，所以，又因?yàn)橥蚱叫?，所?故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查向量共線（平行）的概念，考查計(jì)算求解的能力，屬基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

由題意知該程序的作用是求樣本的方差，由方差公式可得.【題目詳解】由題意知該程序的作用是求樣本的方差，所用方法是求得每個(gè)數(shù)與的差的平方，再求這8個(gè)數(shù)的平均值，則圖中空白框應(yīng)填入的內(nèi)容為：故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖功能的理解以及樣本方差的計(jì)算公式，屬于一般題.6、D【解題分析】∵函數(shù)f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）?sinx=sin2x﹣?=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期為，故A不正確；令x=，求得f（x）=+=，為函數(shù)f（x）的最大值，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，且f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（，）對(duì)稱，故B不正確、D正確；在區(qū)間（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+為增函數(shù)，故C不正確，故選D．7、B【解題分析】

每個(gè)實(shí)驗(yàn)室人數(shù)分配有三種情況，即①1，2，4；②1，3，3；③2，2，3；針對(duì)三種情況進(jìn)行計(jì)算組合即可【題目詳解】每個(gè)實(shí)驗(yàn)室人數(shù)分配有三種情況，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.當(dāng)實(shí)驗(yàn)室的人數(shù)為1，2，4時(shí)，分配方案有種；當(dāng)實(shí)驗(yàn)室的人數(shù)為1，3，3時(shí)，分配方案有種；當(dāng)實(shí)驗(yàn)室的人數(shù)為2，2，3時(shí)，分配方案有種.故不同的分配方案有455種.選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的問(wèn)題，解題注意先分類即可，屬于基礎(chǔ)題8、A【解題分析】由題意可得，故樣本中心為。因?yàn)榛貧w直線過(guò)樣本中心，所以，解得。選A。9、A【解題分析】

令分離常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和極值，結(jié)合與有三個(gè)交點(diǎn)，求得的取值范圍.【題目詳解】方程可化為，令，有，令可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為、，則，，當(dāng)時(shí)，，則若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10、D【解題分析】

由余弦定理得，解得（舍去），故選D.【考點(diǎn)】余弦定理【名師點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題,考查內(nèi)容單一,根據(jù)余弦定理整理出關(guān)于b的一元二次方程,再通過(guò)解方程求b.運(yùn)算失誤是基礎(chǔ)題失分的主要原因,請(qǐng)考生切記！11、B【解題分析】設(shè)，則，根據(jù)對(duì)稱性，，則，即，故故選：B．12、A【解題分析】

首先畫(huà)出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義得到，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得到的最大值.【題目詳解】由題知不等式組表示的可行域如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，由圖易得，直線在時(shí)，軸截距最大.所以.因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取“”.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式求最值問(wèn)題，同時(shí)考查了線性規(guī)劃，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

不妨設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性求得的值.根據(jù)絕對(duì)值的定義求得的關(guān)系式，將轉(zhuǎn)化為來(lái)表示，根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍.【題目詳解】不妨設(shè)，畫(huà)出函數(shù)的圖像如下圖所示.二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以.不妨設(shè)，則由得，得，結(jié)合圖像可知，解得，所以，由于在上為減函數(shù)，故.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查二次函數(shù)的圖像，考查含有絕對(duì)值函數(shù)的圖像，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.14、1【解題分析】

利用圓心到直線的距離可求出d，再利用勾股定理求得答案.【題目詳解】解：可得直線直線ax﹣ay﹣1＝0的斜率為1．圓心（2，0）到直線距離d=|2a-1|∵|CD|＝1，∴|AB|=2|CD|=∴21-d2=2故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力，計(jì)算能力，難度不大.15、.【解題分析】分析：先根據(jù)二項(xiàng)分布得,再根據(jù)，得詳解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)睛：二項(xiàng)分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式.16、[－1，＋∞)【解題分析】

對(duì)于，不等式恒成立，等價(jià)于的圖象在的圖象上方，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】不等式f(x)≥g(x)恒成立如圖，作出函數(shù)f(x)＝|x＋a|與g(x)＝x－1的圖象，觀察圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)－a≤1，即a≥－1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范圍是[－1，＋∞)．故答案為[－1，＋∞)．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用函數(shù)圖象解答不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見(jiàn)解析.【解題分析】

（Ⅰ）通過(guò)討論a的范圍，去掉絕對(duì)值，解不等式，確定的范圍即可；

（Ⅱ）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)判斷即可．【題目詳解】（I）因?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，得，解得，所以;②當(dāng)時(shí)，得，解得，所以;③當(dāng)時(shí)，得，解得，所以;綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是（II），因?yàn)?所以【題目點(diǎn)撥】本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查不等式的證明，是一道中檔題．18、(1)，(2)【解題分析】

(1)根據(jù)題干解不等式得到，，再由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算得到結(jié)果；（2）由(1)知，若，分C為空集和非空兩種情況得到結(jié)果即可.【題目詳解】(1)因?yàn)?，即，所以，所以，因?yàn)?，即，所以，所以，所以．，所以?2)由(1)知，若，當(dāng)C為空集時(shí)，.當(dāng)C為非空集合時(shí)，可得.綜上所述.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了集合的交集以及補(bǔ)集運(yùn)算，涉及到指數(shù)不等式的運(yùn)算，也涉及已知兩個(gè)集合的包含關(guān)系，求參的問(wèn)題；其中已知兩個(gè)集合的包含關(guān)系求參問(wèn)題，首先要考慮其中一個(gè)集合為空集的情況.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）證明，轉(zhuǎn)化成證明平面即可．（2）根據(jù)，可得，從而得出體積．【題目詳解】證明：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，則，，四邊形為平行四邊形，，又，，，又，，平面，．解：（2），，三棱錐的體積為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線線垂直的證明，通常轉(zhuǎn)化成證明線面垂直．三棱錐體積的計(jì)算，選擇不同的底對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，得到的體積相同．那么通常選擇已知的高和底從而求出體積．20、（1），（2）沒(méi)有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過(guò)1小時(shí)與性別有關(guān)（3）估計(jì)這6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的人數(shù)是4人【解題分析】

（1）根據(jù)分層抽樣比例列方程求出n的值，再計(jì)算m的值；（2）根據(jù)題意完善2×2列聯(lián)表，計(jì)算K2，對(duì)照臨界值表得出結(jié)論；（3）計(jì)算參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的頻率，用頻率估計(jì)概率，計(jì)算所求的頻數(shù)即可．【題目詳解】（1）根據(jù)分層抽樣法，抽樣比例為，∴n＝48；∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；（2）根據(jù)題意完善2×2列聯(lián)表，如下；超過(guò)1小時(shí)不超過(guò)1小時(shí)合計(jì)男生20828女生12820合計(jì)321648計(jì)算K20.6857＜3.841，所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過(guò)1小時(shí)與性別有關(guān)；（3）參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的頻率為，用頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)調(diào)査6名學(xué)生，估計(jì)這6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的人數(shù)為64（人）．【題目點(diǎn)撥】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題及用頻率估計(jì)概率的應(yīng)用問(wèn)題，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．21、(1)(2)填表見(jiàn)解析，不能判斷有99%的把握認(rèn)為該學(xué)科競(jìng)賽成績(jī)與性別有關(guān)【解題分析】

（1）由每一組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值乘以該組的頻率求和得答案；（2）計(jì)算70分以上的頻率和頻數(shù)，由此填寫(xiě)列聯(lián)表，由表中數(shù)據(jù)計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得