湖南省長郡中學(xué)、雅禮中學(xué)等四校2024屆數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題含解析

湖南省長郡中學(xué)、雅禮中學(xué)等四校2024屆數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是，則（）A． B．1 C．2 D．02．現(xiàn)有4種不同品牌的小車各2輛(同一品牌的小車完全相同),計(jì)劃將其放在4個(gè)車庫中（每個(gè)車庫放2輛則恰有2個(gè)車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有（）A．144種 B．108種 C．72種 D．36種3．已知直線（t為參數(shù)）上兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別是，則（）A． B．C． D．4．已知等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．5．下列三個(gè)數(shù)：，，，大小順序正確的是（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知集合，則（）A． B． C． D．8．平面向量，，（），且與的夾角等于與的夾角，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用萬元與銷售額萬元的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，其中，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)，銷售額為65.5萬元，則，的值為（）A．， B．，C．， D．，11．已知集合，，那么()A． B． C． D．12．正方體中，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則與所成角的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．底面半徑為1，母線長為2的圓錐的體積為______．14．的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為______.15．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使得成立的概率為．16．將圓的一組等分點(diǎn)分別涂上紅色或藍(lán)色，從任意一點(diǎn)開始，按逆時(shí)針方向依次記錄個(gè)點(diǎn)的顏色，稱為該圓的一個(gè)“階色序”，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)“階色序”對(duì)應(yīng)位置上的顏色至少有一個(gè)不相同時(shí)，稱為不同的“階色序”.若某圓的任意兩個(gè)“階色序”均不相同，則稱該圓為“階魅力圓”.“4階魅力圓”中最多可有的等分點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的左焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn)，且的最小值為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的左焦點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程.18．（12分）已知橢圓：的左焦點(diǎn)左頂點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).若，試問直線的斜率是否為定值？請(qǐng)說明理由.19．（12分）甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2）用X表示比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和均值.20．（12分）已知，且．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求的值；（2）若函數(shù)無零點(diǎn)，求的取值范圍.22．（10分）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式：（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：由切線方程確定切點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由切線方程可知，當(dāng)時(shí)，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，即，函數(shù)在處切線的斜率為，即，據(jù)此可知：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查切線的幾何意義及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2、C【解題分析】

根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個(gè)品牌的小車，②、將取出的2個(gè)品牌的小車任意的放進(jìn)2個(gè)車庫中，③、剩余的4輛車放進(jìn)剩下的2個(gè)車庫，相同品牌的不能放進(jìn)同一個(gè)車庫，分別分析每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個(gè)品牌的小車，有C42種取法，②、將取出的2個(gè)品牌的小車任意的放進(jìn)2個(gè)車庫中，有A42種情況，③、剩余的4輛車放進(jìn)剩下的2個(gè)車庫，相同品牌的不能放進(jìn)同一個(gè)車庫，有1種情況，則恰有2個(gè)車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有C42A42×1＝72種，故選：C．點(diǎn)睛：能用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的問題具有以下特點(diǎn)：(1)完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可．(2)完成每一步有若干種方法．(3)把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．3、C【解題分析】試題分析：依題意，，由直線參數(shù)方程幾何意義得，選C．考點(diǎn)：直線參數(shù)方程幾何意義4、C【解題分析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得首項(xiàng)和公差，然后可求出值。詳解：數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，解方程組得所以所以選C點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于簡單題。5、A【解題分析】

將與化成相同的真數(shù)，然后利用換底公式與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，然后再利用中間量比較的大小，從而得出三者的大?。绢}目詳解】解：因?yàn)?，且，所以，因?yàn)?，所以．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】分析：根據(jù)題意，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為減函數(shù)，分析的特殊值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得在區(qū)間和上都有，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得在區(qū)間和上都有，進(jìn)而將不等式變形轉(zhuǎn)化可得或，解可得x的取值范圍，即可得答案.詳解：根據(jù)題意，設(shè)，其導(dǎo)數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，則有，即函數(shù)在上為減函數(shù)，又，則在區(qū)間上，，又由，則，在區(qū)間上，，又由，則，則在區(qū)間和上都有，又由為奇函數(shù)，則在區(qū)間和上都有，或，解可得：或.則x的取值范圍是.故選：D.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，以及不等式的解法，關(guān)鍵是分析與的解集.7、C【解題分析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)集合化簡得x|0＜x＜1}，然后求出A∩B即可．【題目詳解】＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{1}，故選：C【題目點(diǎn)撥】考查對(duì)數(shù)不等式的解法，以及集合的交集及其運(yùn)算．8、D【解題分析】

,,,與的夾角等于與的夾角,,,解得,故選D.【考點(diǎn)定位】向量的夾角及向量的坐標(biāo)運(yùn)算.9、C【解題分析】

函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱的解析式為，則它與在有交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中分別畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察圖象得到.【題目詳解】函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱的解析式為，函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示：若過點(diǎn)時(shí)，得，但此時(shí)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)在軸上，所以要保證在軸的正半軸，兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，則的圖象向右平移均存在交點(diǎn)，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移問題，注意利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行問題求解，能減少運(yùn)算量.10、C【解題分析】分析：根據(jù)回歸直線過樣本中心和條件中給出的預(yù)測值得到關(guān)于，的方程組，解方程組可得所求．詳解：由題意得，又回歸方程為，由題意得，解得．故選C．點(diǎn)睛：線性回歸方程過樣本中心是一個(gè)重要的結(jié)論，利用此結(jié)論可求回歸方程中的參數(shù)，也可求樣本數(shù)據(jù)中的參數(shù)．根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測時(shí)，得到的數(shù)值只是一個(gè)估計(jì)值，解題時(shí)要注意這一點(diǎn)．11、C【解題分析】

解出集合B，即可求得兩個(gè)集合的交集.【題目詳解】由題：，所以.故選：C【題目點(diǎn)撥】此題考查求兩個(gè)集合的交集，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出方程的解集，根據(jù)集合交集運(yùn)算法則求解.12、D【解題分析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、分別為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則設(shè)的夾角為，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最大值．當(dāng)時(shí)，取最小值．因?yàn)椋蔬xD．【題目點(diǎn)撥】因?yàn)椋郧髪A角的取值范圍．建立坐標(biāo)系，用空間向量求夾角余弦，再求最大、最小值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先由勾股定理求圓錐的高，再結(jié)合圓錐的體積公式運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解：設(shè)圓錐的高為，由勾股定理可得，由圓錐的體積可得，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐的體積公式，重點(diǎn)考查了勾股定理，屬基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由二項(xiàng)式定理可得展開式通項(xiàng)公式，令冪指數(shù)等于可求得，代入通項(xiàng)公式可確定所求項(xiàng)的系數(shù).【題目詳解】展開式通項(xiàng)公式為：令，解得：項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用二項(xiàng)式定理求解指定項(xiàng)的系數(shù)問題，關(guān)鍵是能夠熟練掌握二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式的形式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

利用零點(diǎn)分段法解不等式，得出解集與區(qū)間取交集，再利用幾何概型的概率公式計(jì)算出所求事件的概率．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí).所以，不等式的解集為，因此，由幾何概型的概率公式可知，所求事件的概率為，故答案為.s【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對(duì)值不等式的解法、幾何概型概率公式的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是解出絕對(duì)值不等式，解絕對(duì)值不等式一般有零點(diǎn)分段法（分類討論法）以及幾何法兩種方法求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．16、1【解題分析】分析：由題意可得，“4階色序”中，每個(gè)點(diǎn)的顏色有兩種選擇，故“4階色序”共有2×2×2×2=1種，從兩個(gè)方面進(jìn)行了論證，即可得到答案．詳解：“4階色序”中，每個(gè)點(diǎn)的顏色有兩種選擇，故“4階色序”共有2×2×2×2=1種，一方面，n個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成n個(gè)“4階色序”，故“4階魅力圓”中的等分點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于1個(gè)；另一方面，若n=1，則必需包含全部共1個(gè)“4階色序”，不妨從（紅，紅，紅，紅）開始按逆時(shí)針方向確定其它各點(diǎn)顏色，顯然“紅，紅，紅，紅，藍(lán)，藍(lán)，藍(lán)，藍(lán)，紅，藍(lán)，藍(lán)，紅，紅，藍(lán)，紅，藍(lán)”符合條件．故“4階魅力圓”中最多可有1個(gè)等分點(diǎn)．故答案為：1．點(diǎn)睛：本題主要考查合情推理的問題，解題的關(guān)鍵分清題目所包含的條件，讀懂已知條件.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解題分析】

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1（a＞b＞0），由離心率為，點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且|PF|的最小值為1，求出a2＝2，b2＝1，由此能求出橢圓C的方程；（2）設(shè)的方程為：，代入得：，由弦長公式與點(diǎn)到線的距離公式分別求得，由面積公式得的方程即可求解【題目詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1（a＞b＞0），∵離心率為，∴，∴a，∵點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且|PF|的最小值為1，∴c＝1，∴a2＝b2+c2＝b2+1，解得a2＝2，b2＝1，∴橢圓C的方程為1．（2）因，與軸不重合，故設(shè)的方程為：，代入得：，其恒成立，設(shè)，則有，又到的距離，解得，的方程為：或.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．18、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.【解題分析】分析：（Ⅰ）根據(jù)條件依次求得，和，從而可得方程；（Ⅱ）當(dāng)∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k（x-2），PB的直線方程為y-9=-k（x-2），由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出AB的斜率為定值.詳解：（Ⅰ）由題意可得，，由，得所以橢圓的方程為.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，的斜率之和為，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)，的方程為.聯(lián)立消得.所以同理所以，.所以.所以的斜率為定值點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目，通常利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.19、（1）；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）根據(jù)概率的乘法公式，求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得到結(jié)論．（2）利用離散型隨機(jī)變量分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】用A表示“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，表示“第k局甲獲勝”，表示“第k局乙獲勝”則，，.（1）.（2）X的所有可能取值為.，，，.∴X的分布列為X2345P∴【題目點(diǎn)撥】本題考查了相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20、（1）見證明；（2）.【解題分析】

（1）由柯西不等式即可證明；（2）可先計(jì)算的最小值，再分，，三種情況討論即可得到答案.【題目詳解】解：（1）由柯西不等式得．∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴；（2），要使得不等式恒成立，即可轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可