第02講 用樣本估計(jì)總體（解析版）

備戰(zhàn)2024年高考《解讀?突破?強(qiáng)化》一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第02講用樣本估計(jì)總體【考試要求】1.會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)和總體離散程度．一、樣本的數(shù)字特征1．百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．計(jì)算一組個(gè)數(shù)據(jù)的的第百分位數(shù)的步驟（1）按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．（2）計(jì)算．（3）若不是整數(shù)而大于的比鄰整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．2.四分位數(shù)我們之前學(xué)過(guò)的中位數(shù)，相當(dāng)于是第百分位數(shù)．在實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第百分位數(shù)，第百分位數(shù)．這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．3．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)(1)平均數(shù)：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))．(3)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))．4.標(biāo)準(zhǔn)差和方差（1）標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用表示．假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)差．（2）方差：方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即．顯然，在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，多采用標(biāo)準(zhǔn)差．?dāng)?shù)據(jù)特征標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)程度的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。粗嗫捎呻x散程度的大小推算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小．二、頻率分布直方圖1.頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法①eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．②eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．③頻率分布直方圖中各個(gè)小方形的面積總和等于.2.頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算（1）最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．設(shè)中位數(shù)為，利用左（右）側(cè)矩形面積之和等于，即可求出．（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即有，其中為每個(gè)小長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)，為每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積．均數(shù)、方差的性質(zhì)：如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，那么①一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．②一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．③一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差是．1.（多選）下列結(jié)論正確的是()(1)對(duì)一組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近．(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位．(3)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變．(4)在頻率分布直方圖中，最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．【答案】CD2．為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中，可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)【答案】B【解析】因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評(píng)估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差．故選B.3．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1，2x2，…，2x9的方差為()A．2B．4C．6D．8答案D解析根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9的方差s2＝2，那么數(shù)據(jù)2x1，2x2，…，2x9的方差為22s2＝8.4．某射擊運(yùn)動(dòng)員7次的訓(xùn)練成績(jī)分別為86,88,90,89,88,87,85，則這7次成績(jī)的第80百分位數(shù)為()答案B解析7次的訓(xùn)練成績(jī)從小到大排列為85,86,87,88,88,89,90，7×80%＝5.6，所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第6個(gè)數(shù)據(jù)，即89.5．某校體育節(jié)10名旗手的身高(單位：cm)分別為175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，則中位數(shù)為_(kāi)_______．答案解析把10名旗手的身高從小到大排列為175,175,176,176,178,179,179,179,180,180，則eq\f(178＋179,2)＝178.5，所以所求中位數(shù)為178.5.考點(diǎn)一總體百分位數(shù)的估計(jì)例1(1)一組數(shù)據(jù)為6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36，則這組數(shù)據(jù)的一個(gè)四分位數(shù)是()A．15 B．25C．50 D．75【答案】A【解析】由小到大排列的結(jié)果：6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49，一共11項(xiàng)，由11×25%＝2.75,11×50%＝5.5,11×75%＝8.25，故第25百分位數(shù)是15，第50百分位數(shù)是40，第75百分位數(shù)是43.故選A.(2)如圖是將高三某班80名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績(jī)(成績(jī)均為整數(shù))整理后畫(huà)出的頻率分布直方圖，則此班的模擬考試成績(jī)的80%分位數(shù)是________.(結(jié)果保留兩位小數(shù))答案解析由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在120分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分?jǐn)?shù)在130分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.0225)×10×100%＝92.5%，因此，80%分位數(shù)一定位于[120,130)內(nèi)．由120＋eq\,0.925－0.70)×10≈124.44，故此班的模擬考試成績(jī)的80%分位數(shù)約為124.44.【對(duì)點(diǎn)演練1】(1)某中學(xué)高一年級(jí)8名學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分150分)分別為85,90,93,99,101,103,116,130，則這8名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為()A．102B．103C．109.5D．116答案C解析這組數(shù)據(jù)已經(jīng)按照由小到大的數(shù)據(jù)排列，8×75%＝6，則這8名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)與第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為eq\f(103＋116,2)＝109.5.【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是某一數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可知其75%分位數(shù)（上四分位數(shù)）的估計(jì)值為（保留2位小數(shù)）【詳解】由題意可知，，，所以75%分位數(shù)為：，解得：.故答案為：【對(duì)點(diǎn)演練3】（2023秋·貴州·高二貴州省興義市第八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）今年，被稱為“村超”的貴州榕江縣“和美鄉(xiāng)村足球超級(jí)聯(lián)賽”，使榕江成為網(wǎng)絡(luò)頂流，刷爆各大網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，更吸引了大量游客到賽事舉辦地觀賽游玩，為更好地發(fā)展當(dāng)?shù)氐穆糜螛I(yè)，政府隨機(jī)調(diào)查了18個(gè)旅游團(tuán)對(duì)榕江縣旅游滿意度的綜合評(píng)分情況，得到如下數(shù)據(jù)：．若恰好是這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)，則的值不可能為（

）A．93 B．94 C．95 D．96【答案】D【詳解】上四分位數(shù)即第百分位數(shù)，由，則將這些數(shù)據(jù)按照從小到大排列后，第個(gè)數(shù)為上四分位數(shù)，即為個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后的第個(gè)數(shù)，由已知去掉后，其余數(shù)據(jù)從小到大排列為：，其中，第個(gè)數(shù)據(jù)為，第個(gè)數(shù)據(jù)為，所以，不可能為.故選：D.【對(duì)點(diǎn)演練4】（2023河北唐山二模）某校高三年級(jí)一共有名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn),已知所有學(xué)生成績(jī)的第百分位數(shù)是分,則數(shù)學(xué)成績(jī)不小于分的人數(shù)至少為()A. B. C. D. 【答案】B【解析】由人,所以小于分學(xué)生最多有人,所以大于或等于分的學(xué)生有人.故選:B.【對(duì)點(diǎn)演練5】2.已知100個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說(shuō)法正確的是 （）A.這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有75個(gè)數(shù)小于或等于9.3B.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)C.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)D.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第74個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)答案：C解析：因?yàn)?00×75%＝75，為整數(shù)，所以第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3，則C正確，其他選項(xiàng)均不正確，故選C.考點(diǎn)二平均數(shù)與眾數(shù)例2（1）(多選)(2023·哈爾濱模擬)下面是某城市某日在不同觀測(cè)點(diǎn)對(duì)細(xì)顆粒物(PM)的觀測(cè)值：396275268225168166176173188168141157若在此組數(shù)據(jù)中增加一個(gè)比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，下列數(shù)字特征發(fā)生改變的是()A．極差 B．中位數(shù)C．眾數(shù) D．平均數(shù)答案ABD解析根據(jù)題意，若在此組數(shù)據(jù)中增加一個(gè)比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，即最大值變?yōu)?96＋25＝421，極差為最大值與最小值的差，要發(fā)生改變；加入數(shù)據(jù)前，中位數(shù)為eq\f(1,2)×(173＋176)＝174.5，加入數(shù)據(jù)后，中位數(shù)為176，發(fā)生改變；眾數(shù)為數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，不會(huì)改變；若加入數(shù)據(jù)前，平均數(shù)為eq\x\to(x)，加入數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為eq\f(12\x\to(x)＋421,13)>eq\x\to(x)，發(fā)生改變．（2）（多選）如圖是某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖，其中成績(jī)分組區(qū)間是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，則下列說(shuō)法正確的是 （）A.圖中的x的值為0.018B.該班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)是75C.該班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是75D.該班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)是75解析：AB由頻率分布直方圖可得10×（0.006×3＋0.010＋x＋0.054）＝1，解得x＝0.018，A正確；由結(jié)論1知，數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)是75，B正確；設(shè)中位數(shù)為a，則0.22＋a-7010×10×0.054＝0.5，解得a≈75.2，C錯(cuò)誤；45×0.06＋55×0.06＋65×0.1＋75×0.54＋85×0.18＋95×0.06＝74，D錯(cuò)誤.故選A、【對(duì)點(diǎn)演練1】每年的4月23日是世界讀書(shū)日，某中學(xué)為了了解八年級(jí)學(xué)生的讀書(shū)情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生讀書(shū)的冊(cè)數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：冊(cè)數(shù)01234人數(shù)31316171則這50名學(xué)生讀書(shū)冊(cè)數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)是（

）A．3，3 B．2，2 C．2，3 D．3，2【答案】D【分析】利用眾數(shù)，中位數(shù)的定義，即可得出答案．【詳解】這組樣本數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)了17次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；將這組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中處于中間的兩個(gè)數(shù)都是2，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2；故選：D.【對(duì)點(diǎn)演練2】（多選）（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在某市高二舉行的一次期中考試中，某學(xué)科共有2000人參加考試.為了了解本次考試學(xué)生成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（成績(jī)均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本容量為.按照的分組作出頻率分布直方圖，如圖所示.其中，成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16.則下列結(jié)論正確的有（

）A．樣本容量B．圖中C．估計(jì)該市全體學(xué)生成績(jī)的平均分為分D．該市要對(duì)成績(jī)由高到低前的學(xué)生授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)，則成績(jī)?yōu)?8分的學(xué)生肯定能得到此稱號(hào)【答案】BC【解析】對(duì)于A：因?yàn)槌煽?jī)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，所以樣本容量，故A不正確；對(duì)于B：因?yàn)?，解得，故B正確；對(duì)于C：學(xué)生成績(jī)平均分為：，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，即按照成?jī)由高到低前的學(xué)生中不含分的學(xué)生，所以成績(jī)?yōu)榉值膶W(xué)生不能得到此稱號(hào)，故D不正確.故選：.【對(duì)點(diǎn)演練3】（2023·山東·統(tǒng)考二模）某射擊運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)（環(huán)數(shù)為整數(shù)）形成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（

）A． B． C．8 D．【答案】B【分析】首先分析數(shù)據(jù)的情況，再根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】依題意這組數(shù)據(jù)一共有個(gè)數(shù)，中位數(shù)為，則從小到大排列的前面有個(gè)數(shù)，后面也有個(gè)數(shù)，又唯一的眾數(shù)為，則有兩個(gè)，其余數(shù)字均只出現(xiàn)一次，則最大數(shù)字為，又極差為，所以最小數(shù)字為，所以這組數(shù)據(jù)為、、、、，所以平均數(shù)為.故選：B考點(diǎn)三均值與方差例3某稻谷試驗(yàn)田試種了，兩個(gè)品種的水稻各10畝，并在稻谷成熟后統(tǒng)計(jì)了這20畝地的稻谷產(chǎn)量如下表，記，兩個(gè)品種各10畝產(chǎn)量的平均數(shù)分別為和，方差分別為和．（單位：）60635076718575636364（單位：）56626068787576626370(1)分別求這兩個(gè)品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；(2)求，，，；(3)依據(jù)以上計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，推廣種植品種還是品種水稻更合適．【答案】(1)極差：產(chǎn)品為35，產(chǎn)品為22，中位數(shù)：產(chǎn)品為63.5，產(chǎn)品為65.5；(2)；，；(3)推廣品種水稻更合適．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)以及極差的計(jì)算公式即可求解，（2）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可求解，（3）由平均數(shù)相同，方差越小越穩(wěn)定即可求解.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，產(chǎn)品的產(chǎn)量從小到大排列為，故產(chǎn)品的極差為，中位數(shù)為產(chǎn)品的產(chǎn)量從小到大排列為，產(chǎn)品極差為，中位數(shù)位；（2）由題意：，，，；（3）結(jié)合第（2）問(wèn)可知，兩個(gè)品種水稻的產(chǎn)量平均數(shù)一樣，但是的方差較小，較穩(wěn)定，所以推廣品種水稻更合適．【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）進(jìn)行比賽，按照分層抽樣的方法從兩個(gè)班共抽取10名同學(xué)，相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：高三（1）班答對(duì)題目的平均數(shù)為，方差為；高三（2）班答對(duì)題目的平均數(shù)為，方差為，則這10人答對(duì)題目的方差為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由分層抽樣可得高三（1）班抽取的人數(shù)為，高三（2）班抽取的人數(shù)為，設(shè)高三（1）班（6人）答對(duì)題目數(shù)依次為，高三（2）班（4人）答對(duì)題目數(shù)依次為，由題意可得：，可得，則這10人答對(duì)題目的平均數(shù)，這10人答對(duì)題目的方差.故選：D.【對(duì)點(diǎn)演練2】某學(xué)校在上報(bào)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》高三年級(jí)學(xué)生的肺活量單項(xiàng)數(shù)據(jù)中，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法．如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生20人，其肺活量平均數(shù)為3000mL，方差為10；抽取了女生30人，其肺活量平均數(shù)為2500mL，方差為20，則可估計(jì)高三年級(jí)全體學(xué)生肺活量的平均數(shù)為_(kāi)_______，方差為_(kāi)_______.【答案】270060280【解析】把男生樣本記為x1，x2，…，x20，其平均數(shù)記為eq\o(x,\s\up14(－))，方差記為seq\o\al(2,x)；把女生樣本記為y1，y2，…，y30，其平均數(shù)記為eq\o(y,\s\up14(－))，方差記為seq\o\al(2,y)；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為eq\o(z,\s\up14(－))，方差記為s2.由eq\o(x,\s\up14(－))＝3000，eq\o(y,\s\up14(－))＝2500，根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平均數(shù)為eq\o(z,\s\up14(－))＝eq\f(20,20＋30)eq\o(x,\s\up14(－))＋eq\f(30,20＋30)eq\o(y,\s\up14(－))＝eq\f(2,5)×3000＋eq\f(3,5)×2500＝2700.根據(jù)方差的定義，總樣本方差為s2＝eq\f(1,50)[eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(z,\s\up14(－)))2＋eq\o(∑,\s\up11(30),\s\do4(j＝1))(yj－eq\o(z,\s\up14(－)))2]＝eq\f(1,50)[eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up14(－))＋eq\o(x,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))2＋eq\o(∑,\s\up11(30),\s\do4(j＝1))(yj－eq\o(y,\s\up14(－))＋eq\o(y,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))2]．由eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up14(－)))＝eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))xi－20eq\o(x,\s\up14(－))＝0，可得eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))2(xi－eq\o(x,\s\up14(－)))(eq\o(x,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))＝2(eq\o(x,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))·eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up14(－))eq\o(∑,\s\up11(30),\s\do4(j＝1))2(yj－eq\o(y,\s\up14(－)))(eq\o(y,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))＝0.因此s2＝eq\f(1,50)[eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up14(－)))2＋eq\o(∑,\s\up11(20),\s\do4(i＝1))(eq\o(x,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))2＋eq\o(∑,\s\up11(30),\s\do4(j＝1))(yj－eq\o(y,\s\up14(－)))2＋eq\o(∑,\s\up11(30),\s\do4(j＝1))(eq\o(y,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))2]＝eq\f(1,50){20[seq\o\al(2,x)＋(eq\o(x,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))2]＋30[seq\o\al(2,y)＋(eq\o(y,\s\up14(－))－eq\o(z,\s\up14(－)))2]}＝eq\f(1,50){20[102＋(3000－2700)2]＋30[202＋(2500－2700)2]}＝60280.據(jù)此可估計(jì)高三年級(jí)全體學(xué)生肺活量的平均數(shù)為2700，方差為60280.【對(duì)點(diǎn)演練3】(2023·云南師大附中模擬)根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于10℃即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù))作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①，②，③，④，依次計(jì)算得到結(jié)果如下：①平均數(shù)eq\x\to(x)<4；②平均數(shù)eq\x\to(x)<4且極差小于或等于3；③平均數(shù)eq\x\to(x)<4且標(biāo)準(zhǔn)差s≤4；④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4.則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有()A．1組B．2組C．3組D．4組答案B解析①舉反例：0,0,0,4,11，其平均數(shù)eq\x\to(x)＝3<4.但不符合入冬指標(biāo)；②假設(shè)有數(shù)據(jù)大于或等于10，由極差小于或等于3可知，則此組數(shù)據(jù)中的最小值為10－3＝7，此時(shí)數(shù)據(jù)的平均數(shù)必然大于7，與eq\x\to(x)<4矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．則此組數(shù)據(jù)全部小于10.符合入冬指標(biāo)；③舉反例：1,1,1,1,11，平均數(shù)eq\x\to(x)＝3<4，且標(biāo)準(zhǔn)差s＝4.但不符合入冬指標(biāo)；④在眾數(shù)等于5且極差小于等于4時(shí)，最大數(shù)不超過(guò)9.符合入冬指標(biāo)．【對(duì)點(diǎn)演練4】(2022·濟(jì)寧模擬)甲、乙兩名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：甲8281797895889384乙9295807583809085(1)求兩位學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均數(shù)和方差；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41.(2)由(1)知eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，甲的成績(jī)較穩(wěn)定，所以派甲參賽比較合適．1.給定一組數(shù)據(jù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則這組數(shù)據(jù)的 （）解析：C由題中數(shù)據(jù)可得，眾數(shù)為2和3，故A錯(cuò)誤；平均數(shù)為x＝5+5+…+2+110＝3，故B錯(cuò)誤；方差s2＝(5-3)22.甲組數(shù)據(jù)為：5，12，16，21，25，37，乙組數(shù)據(jù)為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是 （）解析：B由題中數(shù)據(jù)的分布，可知極差不同，甲的中位數(shù)為16+212＝18.5，乙的中位數(shù)為14+182＝16，x甲＝5+12+16+21+25+376＝583，x3.（2023四川成都七中二診）一個(gè)果園培養(yǎng)了一種少籽蘋(píng)果,現(xiàn)隨機(jī)抽樣一些蘋(píng)果調(diào)查蘋(píng)果的平均果籽數(shù)量,得到下列頻率分布表:

則根據(jù)表格,這批樣本的平均果籽數(shù)量為()A. B. C. D. 【答案】B【解析】這批樣本的平均果籽數(shù).

故選:B.4．（2023?浙江一模）已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，由這組數(shù)據(jù)得到另一組新的樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，2，，，則A．兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同 B．兩組樣本數(shù)據(jù)的方差不相同 C．兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同 D．將兩組數(shù)據(jù)合成一個(gè)樣本容量為20的新的樣本數(shù)據(jù)，該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為【答案】C【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差和極差的計(jì)算公式判斷即可．【詳解】解：對(duì)于，因?yàn)?，所以，故錯(cuò)；對(duì)于，因?yàn)?，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同，故錯(cuò)；對(duì)于，新的樣本數(shù)據(jù)的極差，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同，故正確；對(duì)于，樣本容量為20的新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故錯(cuò)．故選C．5．（2023?四川一模）某部門(mén)調(diào)查了200名學(xué)生每周的課外活動(dòng)時(shí)間（單位：，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中課外活動(dòng)時(shí)間的范圍是，，并分成，，，，，，，，，五組．根據(jù)直方圖，判斷這200名學(xué)生中每周的課外活動(dòng)時(shí)間不少于的人數(shù)是A．56 B．80 C．144 D．184【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖確定每周的課外活動(dòng)時(shí)間不少于的頻率，再根據(jù)頻率、頻數(shù)、總數(shù)的關(guān)系即可求．【詳解】解：每周的課外活動(dòng)時(shí)間不少于的頻率為，故所求人數(shù)，故選C．6.（多選）下表為2022年某煤炭公司1～10月份的煤炭生產(chǎn)量：月份12345678910產(chǎn)量（單位：萬(wàn)噸）2325242126293027則下列結(jié)論正確的是 （）解析：ABD將表格中的數(shù)據(jù)由小到大排列依次為17.5，17.5，21，23，24，25，26，27，29，30.極差為30－17.5＝12.5（萬(wàn)噸），A正確；平均數(shù)為17.5×2+21+23+24+25+26+27+29+3010＝24（萬(wàn)噸），B正確；中位數(shù)為25+247.（多選）若甲組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2，方差為4，乙組樣本數(shù)據(jù)3x1＋a，3x2＋a，…，3xn＋a的平均數(shù)為4，則下列說(shuō)法正確的是 （）A.a的值為－2解析：ABD由題意可知，3×2＋a＝4，a＝－2，故A正確；乙組樣本數(shù)據(jù)方差為9×4＝36，故B正確；設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為xi，則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3xi－2，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定相同，故C錯(cuò)誤；甲組數(shù)據(jù)的極差為xmax－xmin，則乙組數(shù)據(jù)的極差為（3xmax－2）－（3xmin－2）＝3（xmax－xmin），所以兩組樣本數(shù)據(jù)的極差不同，故D正確.8．(多選)習(xí)近平總書(shū)記強(qiáng)調(diào)，要堅(jiān)持健康第一的教育理念，加強(qiáng)學(xué)校體育工作，推動(dòng)青少年文化學(xué)習(xí)和體育鍛煉協(xié)調(diào)發(fā)展．某學(xué)校對(duì)高一年級(jí)學(xué)生每周在校體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)(單位：小時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布表：分組[2,3)[3,4)[4,5)[5,6]頻率則下列關(guān)于高一年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)的說(shuō)法中正確的是()答案BCD解析對(duì)于A，根據(jù)頻率分布表可得，高一年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)的眾數(shù)為eq\f(3＋4,2)＝3.5，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)高一年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)為x，則0.25＋eq\f(x－3,4－3)×0.30＝0.5，解得x≈3.83，故B正確；對(duì)于C，高一年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為0.25×2.5＋0.30×3.5＋0.20×4.5＋0.25×5.5＝3.95，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?.25＋0.30＋0.20＋0.05＝0.80，所以高一年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)的第80百分位數(shù)約為5＋,0.25)＝5.2，故D正確．9．(多選)第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日在國(guó)家體育場(chǎng)鳥(niǎo)巢舉行了盛大開(kāi)幕式．在冬奧會(huì)的志愿者選拔工作中，某高校承辦了面試工作，面試成績(jī)滿分100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績(jī)并分為五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法正確的是(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)()A．bC．在被抽取的候選者中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間[65,75)之間的候選者有30人答案BD解析對(duì)于A，由(0.005＋b＋0.045＋0.02＋0.005)×10＝1，解得b＝0.025，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)候選者面試成績(jī)的中位數(shù)為x，則(0.005＋0.025)×10＋(x－65)×0.045＝0.5，解得x≈69.4，故B正確；對(duì)于C，成績(jī)?cè)趨^(qū)間[65,75)的頻率為0.045×10＝0.45，故人數(shù)為80×0.45＝36，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,50