2024屆山東省萊蕪市數學高二下期末考試試題含解析

2024屆山東省萊蕪市數學高二下期末考試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．奇函數在區(qū)間上單調遞減，且，則不等式的解集是（）A． B．C． D．2．在的展開式中，系數的絕對值最大的項為（）A． B． C． D．3．如圖所示，圓為正三角形的內切圓，為切點，將一顆豆子隨機地扔到該正三角形內，在已知豆子落在圓內的條件下，豆子落在（陰影部分）內的概率為（）A． B． C． D．4．若偶函數滿足且時,則方程的根的個數是()A．2個 B．4個 C．3個 D．多于4個5．某學校高三模擬考試中數學成績服從正態(tài)分布，考生共有1000人，估計數學成績在75分到86分之間的人數約為（）人．參考數據：，）A．261 B．341 C．477 D．6836．已知，，，，若（、均為正實數），根據以上等式，可推測、的值，則等于（）A． B． C． D．7．定積分的值為()A． B． C． D．8．若函數的定義域為，則函數的定義域為（）A． B． C． D．9．5本不同的書全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為()A．240種 B．120種 C．96種 D．480種10．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積（單位：）是（）A． B． C． D．11．將點的直角坐標化成極坐標為（）A． B． C． D．12．運用祖暅原理計算球的體積時，構造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，與半球（如圖一）放置在同一平面上，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐（如圖二），用任何一個平行與底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此證明該幾何體與半球體積相等.現將橢圓繞軸旋轉一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖三），類比上述方法，運用祖暅原理可求得其體積等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數，已知，則_________.14．如果實數滿足線性約束條件，則的最小值等于．15．高一、高二、高三三個年級共有學生1500人，其中高一共有學生600人，現用分層抽樣的方法抽取30人作為樣本，則應抽取高一學生數為_______．16．在某班舉行的“慶五一”聯歡晚會開幕前已排好有8個不同節(jié)目的節(jié)目單，如果保持原來的節(jié)目相對順序不變，臨時再插進去三個不同的新節(jié)目，且插進的三個新節(jié)目按順序出場，那么共有__________種不同的插入方法（用數字作答）．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖是某市年月日至日的空氣質量指數趨勢圖，某人隨機選擇年月日至月日中的某一天到達該市，并停留天.（1）求此人到達當日空氣質量指數大于的概率；（2）設是此人停留期間空氣質量指數小于的天數，求的分布列與數學期望；（3）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質量指數方差最大？（結論不要求證明）18．（12分）已知函數．（1）討論函數在定義域內的極值點的個數；（2）若函數在處取得極值，且對任意,恒成立，求實數的取值范圍；（3）當時，求證：．19．（12分）在中，角的對邊分別.（1）求；（2）若，求的周長．20．（12分）已知函數,．（Ⅰ）求函數的單調減區(qū)間；（Ⅱ）證明:；（Ⅲ）當時，恒成立，求實數的值.21．（12分）已知，不等式的解集是．（）求的值．（）若存在實數解，求實數的取值范圍．22．（10分）設全體空間向量組成的集合為，為中的一個單位向量，建立一個“自變量”為向量，“應變量”也是向量的“向量函數”.（1）設，，若，求向量；（2）對于中的任意兩個向量，，證明：；（3）對于中的任意單位向量，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據函數為奇函數，以及上的單調性，判斷出上的單調性，求得的值，對分為四種情況討論，由此求得不等式的解集，進而求得的解集.【題目詳解】由于函數為奇函數，且在上遞減，故在上遞減，由于，所以當或時，；當或時，.所以當或時.故當或即或時，.所以不等式的解集為.故本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查函數的奇偶性、單調性，考查函數變換，考查含有函數符號的不等式的解法，屬于中檔題.2、D【解題分析】

根據最大的系數絕對值大于等于其前一個系數絕對值；同時大于等于其后一個系數絕對值；列出不等式求出系數絕對值最大的項；【題目詳解】二項式展開式為：設系數絕對值最大的項是第項，可得可得，解得在的展開式中，系數的絕對值最大的項為：故選：D.【題目點撥】本題考查二項展開式中絕對值系數最大項的求解，涉及展開式通項的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題．3、A【解題分析】

設正三角形的邊長為，內切圓半徑為，求得內切圓半徑，即可得陰影部分的面積；再求得三角形的面積，結合幾何概型的求法即可得解.【題目詳解】設正三角形的邊長為，內切圓半徑為，則由三角形面積公式可得，解得，則，所以由幾何概型概率可得落在陰影部分的概率為,故選：A.【題目點撥】本題考查了等邊三角形內切圓的性質應用，幾何概型概率求法，屬于基礎題.4、B【解題分析】

在同一坐標系中畫出函數和函數的圖象，這兩個函數的圖象的焦點個數，即為所求.【題目詳解】因為偶函數滿足，所以函數的周期為2，又當時，，故當時，，則方程的根的個數，等價于函數和函數的圖象的交點個數，在同一坐標系中作出兩個函數的圖象，如圖所示，可得兩函數的圖象有4個交點，即方程有4個根，故選B.【題目點撥】本題主要考查了函數與方程的綜合應用問題，即根的存在性及根的個數的判定，其中解答中把方程的根的個數，轉化為函數和函數的圖象的交點個數，在同一坐標系中作出兩個函數的圖象，結合圖象求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.5、B【解題分析】分析：正態(tài)總體的取值關于對稱，位于之間的概率是0.6826，根據概率求出位于這個范圍中的個數，根據對稱性除以2得到要求的結果．詳解：正態(tài)總體的取值關于對稱，位于之間的概率是，則估計數學成績在75分到86分之間的人數約為人.故選B.點睛：題考查正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題，解題的關鍵是考試的成績關對稱，利用對稱寫出要用的一段分數的頻數，題目得解．6、B【解題分析】

根據前面幾個等式歸納出一個關于的等式，再令可得出和的值，由此可計算出的值.【題目詳解】，，，由上可歸納出，當時，則有，，，因此，，故選B.【題目點撥】本題考查歸納推理，解題時要根據前幾個等式或不等式的結構進行歸納，考查推理能力，屬于中等題.7、C【解題分析】試題分析：=.故選C.考點：1.微積分基本定理；2.定積分的計算.8、B【解題分析】

由抽象函數的定義域，對數的真數大于零，分母不為零，列出不等式，從而求出的定義域?！绢}目詳解】由題可得：，解得且，所以函數的定義域為；故答案選B【題目點撥】本題主要抽象函數與初等函數的定義域，屬于基礎題。9、A【解題分析】

由題先把5本書的兩本捆起來看作一個元素，這一個元素和其他的三個元素在四個位置全排列，根據分步計數原理兩個過程的結果數相乘即可得答案?！绢}目詳解】由題先把5本書的兩本捆起來看作一個元素共有種可能，這一個元素和其他的三個元素在四個位置全排列共有種可能，所以不同的分法種數為種，故選A.【題目點撥】本題考查排列組合與分步計數原理，屬于一般題。10、A【解題分析】由三視圖可知，該幾何體是半個圓柱和以圓柱軸截面為底面的四棱錐組成的組合體，其中半圓柱底面半徑為，高為，體積為，四棱錐體積為，所以該幾何體體積為，故選A.【方法點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響.11、B【解題分析】分析：求出，且在第三象限，由此能將點M的直角坐標化成極坐標.詳解：點M的直角坐標，，在第三象限，.將點M的直角坐標化成極坐標.故選B.點睛：極坐標與直角坐標的互化，常用方法有代入法、平方法等，還經常會用到同乘(同除以)ρ等技巧．12、C【解題分析】

根據橢圓方程,構造一個底面半徑為2,高為3的圓柱,通過計算可知高相等時截面面積相等,因而由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.【題目詳解】由橢圓方程,構造一個底面半徑為2,高為3的圓柱在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點、上底面為底面的圓錐當截面與底面距離為時，截圓錐得到的截面小圓半徑為則，即所以截面面積為把代入橢圓方程，可求得所以橄欖球形狀幾何體的截面面積為由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積為故選:C【題目點撥】本題考查了類比推理的綜合應用,空間幾何體體積的求法,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

對分離常數后，通過對比和的表達式，求得的值.【題目詳解】依題意，，.【題目點撥】本小題主要考查函數求值，考查運算求解能力，屬于基礎題.14、【解題分析】試題分析：作出約束條件表示的可行域，如圖內部（含邊界），再作直線，上下平移直線，當過點時，取得最小值.考點：簡單的線性規(guī)劃.15、12【解題分析】

由題得高一學生數為，計算即得解.【題目詳解】由題得高一學生數為.故答案為：12【題目點撥】本題主要考查分層抽樣，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.16、1【解題分析】分析：根據題意，先由分步計數原理計算ABC三個節(jié)目插到8個節(jié)目之間的排法，又由倍分法分析可得答案．詳解：根據題意，原來有8個節(jié)目，有9個空位，在9個空位中任選1個，安排A節(jié)目，有9種情況，排好后有10個空位，在10個空位中任選1個，安排B節(jié)目，有10種情況，排好后有11個空位，在11個空位中任選1個，安排C節(jié)目，有11種情況，排好后有11個空位，在ABC的安排方法有9×10×11=990種，又由三個新節(jié)目按A，B，C順序出場，則不同的安排方法有×990=1種；故答案為：1．點睛：本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)答案見解析；(3)答案見解析.【解題分析】分析：（1）由空氣質量指數趨勢圖，直接利用古典概型概率公式可得“此人到達當日空氣質量指數大于”的概率；（2）由題意可知，的可能取值為，，，分別利用古典概型概率公式求出相應的概率，由此能求出故的分布列，利用期望公式可得；（3）由圖知，從日開始，連續(xù)三天（日，日，日）空氣質量指數方差最大.詳解：（1）設“此人到達當日空氣質量指數大于”的事件為，則；（2）的可能取值為，，，則，，，故的分布列為：所以.（3）由圖知，從日開始，連續(xù)三天（日，日，日）空氣質量指數方差最大.點睛：本題主要考查互斥事件的概率公式、以及離散型隨機變量的分布列與數學期望，屬于中檔題.求解數學期望問題，首先正確要理解題意，其次要準確無誤的找出隨機變量的所以可能值，計算出相應的概率，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差的公式進行計算，也就是要過三關：（1）閱讀理解關；（2）概率計算關；（3）公式應用關.18、(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【解題分析】試題分析：（1）由題意可得，分類討論有：當時，函數沒有極值點，當時，函數有一個極值點．（2）由題意可得，原問題等價于恒成立，討論函數的性質可得實數的取值范圍是；（3）原問題等價于，繼而證明函數在區(qū)間內單調遞增即可.試題解析：（1），當時，在上恒成立，函數在單調遞減，∴在上沒有極值點；當時，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點．（2）∵函數在處取得極值，∴，∴，令，，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．（3）證明：，令，則只要證明在上單調遞增，又∵，顯然函數在上單調遞增．∴，即，∴在上單調遞增，即，∴當時，有．點睛：導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系．(2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數形結合思想的應用．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由正弦定理，余弦定理可得cosA，結合范圍A∈（0，π），可得A的值．（2）由已知利用三角形的內角和定理可求B，C的值，進而根據正弦定理可求a，c的值，即可得解△ABC的周長【題目詳解】(1)根據.可得,即所以.又因為,所以.(2).所以.因為.所以.則的周長為.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的內角和定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．20、(1)f(x)的單調遞減區(qū)間是.(2)證明見解析.(3).【解題分析】

(Ⅰ)求導，由，即可得到函數的單調減區(qū)間；(Ⅱ)記h(x)＝f(x)g(x),設法證明，即可證明.(Ⅲ)由題即，易證,當時取到等號，由得,由此可求的值.【題目詳解】(Ⅰ)因為由，得所以f(x)的單調遞減區(qū)間是.(Ⅱ)記h(x)＝f(x)g(x)＝,,所以在R上為減函數因為所以存在唯一，使即，,當時，；當時，.所以所以.(Ⅲ)因為,所以,易證,當時取到等號，由得,,所以即.【題目點撥】本題主要考查導數在函