2024屆安徽省池州市江南中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆安徽省池州市江南中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某城市關(guān)系要好的，，，四個家庭各有兩個小孩共人，分別乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐名（乘同一輛車的名小孩不考慮位置），其中戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的名小孩恰有名來自于同一個家庭的乘坐方式共有（）A．種 B．種 C．種 D．種2．如圖所示的流程圖中，輸出的含義是（）A．點到直線的距離B．點到直線的距離的平方C．點到直線的距離的倒數(shù)D．兩條平行線間的距離3．已知，若將其圖像右移個單位后,圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值是()A． B． C． D．4．下列關(guān)于回歸分析的說法中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）（1）回歸直線必過樣本點中；（2）殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預(yù)報精度越高；（3）殘差平方和越小的模型，擬合效果越好；（4）用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，越大，說明模型的擬合效果越好．A．4 B．3 C．2 D．15．由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若是奇函數(shù)，則曲線在點處切線的斜率為（）A． B．-1 C． D．7．函數(shù)在上取得最小值時，的值為（）．A．0 B． C． D．8．已知函數(shù)，若恰有兩個不同的零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，則（）A． B． C．對應(yīng)的向量為 D．是純虛數(shù)10．已知橢圓，點在橢圓上且在第四象限，為左頂點，為上頂點，交軸于點，交軸于點，則面積的最大值為()A． B． C． D．11．的展開式中，的系數(shù)為()A．-10 B．-5 C．5 D．012．己知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍_______.A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)對任意的都有，那么不等式的解集為_________。14．在中，已知，則的值為________.15．某單位普通職工和行政人員共280人．為了解他們在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP平臺上的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有職員中抽取容量為56的樣本．已知從普通職工中抽取的人數(shù)為49，則該單位行政人員的人數(shù)為____．16．(2016·開封聯(lián)考)如圖所示，由曲線y＝x2，直線x＝a，x＝a＋1(a>0)及x軸圍成的曲邊梯形的面積介于相應(yīng)小矩形與大矩形的面積之間，即.運用類比推理，若對?n∈N*，恒成立，則實數(shù)A＝________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某名校從2008年到2017年考入清華、北大的人數(shù)可以通過以下表格反映出來.（為了方便計算，將2008年編號為1，2009年編號為2，以此類推……）年份人數(shù)（1）根據(jù)最近5年的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求出與之間的線性回歸方程，并用以預(yù)測2018年該?？既肭迦A、北大的人數(shù)；（結(jié)果要求四舍五入至個位）（2）從這10年的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2年，記其中考入清華、北大的人數(shù)不少于的有年，求的分布數(shù)列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：.18．（12分）若，求證：．19．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=1+255ty=1+55t（t為參數(shù)），以（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）點P1,1，直線l與曲線C交于A,B兩點，若PA?PB20．（12分）如圖，已知正三棱柱的高為3，底面邊長為，點分別為棱和的中點．（1）求證：直線平面；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）已知數(shù)列滿足，且≥（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線：，直線：.（1）求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點的直角坐標(biāo)為，直線與曲線相交于兩點，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】若A戶家庭的李生姐妹乘坐甲車,即剩下的兩個小孩來自其他的2個家庭,有種方法.若A戶家庭的李生姐妹乘坐乙車,那來自同一家庭的2名小孩來自剩下的3個家庭中的一個,有.所以共有12+12=24種方法.本題選擇B選項.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．2、A【解題分析】

將代入中,結(jié)合點到直線的距離公式可得.【題目詳解】因為,,所以,故的含義是表示點到直線的距離.故選A.【題目點撥】本題考查了程序框圖以及點到直線的距離公式,屬基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

利用兩角和差的三角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，求得φ的最小值．【題目詳解】∵f（x）＝sinxcosx＝2sin（x）（x∈R），若將其圖象右移φ（φ＞0）個單位后，可得y＝2sin（x﹣φ）的圖象；若所得圖象關(guān)于原點對稱，則﹣φkπ，k∈Z，故φ的最小值為，故選：C．【題目點撥】本題主要考查兩角和差的三角公式，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

利用回歸分析的相關(guān)知識逐一判斷即可【題目詳解】回歸直線必過樣本點中，故（1）正確殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預(yù)報精度越高，故（2）錯誤殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故（3）正確用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，越大，說明模型的擬合效果越好，故（4）正確所以正確結(jié)論的個數(shù)為3故選：B【題目點撥】本題考查的是回歸分析的相關(guān)知識，較簡單.5、B【解題分析】分析：先求曲線交點，再確定被積上下限，最后根據(jù)定積分求面積.詳解：因為，所以所以由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是,選B.點睛：利用定積分求曲邊圖形面積時，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)．當(dāng)圖形的邊界不同時，要分不同情況討論．6、D【解題分析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)是奇函數(shù)，求出，進(jìn)而可得出曲線在點處切線的斜率.【題目詳解】由題意得，.是奇函數(shù)，，即，解得，，則，即曲線在點處切線的斜率為.故選.【題目點撥】本題主要考查曲線在某點處的切線斜率，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可，屬于?？碱}型.7、D【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性分析求解即可.【題目詳解】當(dāng)時,.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng),即時,取得最小值.故選：D【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的最值問題,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，從而得到的取值范圍詳解：令，則，令，在單調(diào)增，在單調(diào)減的取值范圍為故選點睛：本題主要考查的是函數(shù)的零點問題，解決問題的關(guān)鍵是導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后通過數(shù)形結(jié)合的方法得到關(guān)于的范圍9、D【解題分析】

直接由復(fù)數(shù)的基本概念，對選項進(jìn)行一一驗證，即可得答案．【題目詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，，，，是純虛數(shù)．故選：D．【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

若設(shè)，其中，則，求出直線，的方程，從而可得，兩點的坐標(biāo)，表示的面積，設(shè)出點處的切線方程，與橢圓方程聯(lián)立成方程組，消元后判別式等于零，求出點的坐標(biāo)可得答案.【題目詳解】解：由題意得，設(shè)，其中，則，所以直線為，直線為，可得，所以，所以，設(shè)處的切線方程為由，得，，解得，此時方程組的解為，即點時，面積取最大值故選：C【題目點撥】此題考查了橢圓的性質(zhì)，三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.11、B【解題分析】

在的二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)分別等于2和1，求出r的值，得到含與的項，再與、與-1對應(yīng)相乘即可求得展開式中x的系數(shù)．【題目詳解】要求的系數(shù)，則的展開式中項與相乘，項與-1相乘，的展開式中項為，與相乘得到，的展開式中項為，與-1相乘得到，所以的系數(shù)為.故選B.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式及特定項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】

首先解出集合,若滿足，則當(dāng)時，和恒成立，求的取值范圍.【題目詳解】，，即當(dāng)時，恒成立，即，當(dāng)時恒成立，即，而是增函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，且當(dāng)時，恒成立，，解得：綜上：.故選：B【題目點撥】本題考查根據(jù)給定區(qū)間不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計算求解能力，恒成立問題可以參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，如果函數(shù)是二次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為根的分布問題，列不等式組求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

首先構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊值解得答案.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù),則在R單調(diào)減,【題目點撥】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性解不等式的知識,根據(jù)等式特點熟練構(gòu)造出函數(shù)是本題的關(guān)鍵.14、0【解題分析】

通過展開，然后利用已知可得，于是整理化簡即可得到答案.【題目詳解】由于，因此，所以，即，所以,則，故答案為0.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運用，意在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識，難度中等.15、1【解題分析】

由題意可得，抽取的行政人員數(shù)為7，再求得抽樣的比列，再用7除以此比例，即得該學(xué)校的行政人員人數(shù)．【題目詳解】由題意可得，抽取的行政人員數(shù)為56﹣49＝7，抽樣的比列為，故該學(xué)校的行政人員人數(shù)是71，故答案為1．【題目點撥】本題主要考查分層抽樣的定義和方法，利用數(shù)據(jù)計算抽樣比例是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】令，依據(jù)類比推理可得A1＝dx＝ln(n＋1)－lnn，A2＝dx＝ln(n＋2)－ln(n＋1)，…，An＝dx＝ln(2n)－ln(2n－1)，所以A＝A1＋A2＋…＋An＝ln(n＋1)－lnn＋ln(n＋2)－ln(n＋1)＋…＋ln(2n)－ln(2n－1)＝ln(2n)－lnn＝ln2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)2018年該校考入清華北大的人數(shù)約為15人.(2)分布列見解析；.【解題分析】分析：（1）求出，，從而求出和，即可得到與之間的線性回歸方程，從而可得答案；（2）x的取值分別為0,1,2，求出相對應(yīng)的概率即可得到答案.詳解：（1），，故當(dāng)時，，所以，2018年該?？既肭迦A北大的人數(shù)約為15人.（2）隨機(jī)變量x的取值分別為0,1,2，，，012.點睛：求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)，，由于，的計算量大，計算時應(yīng)仔細(xì)謹(jǐn)慎，分層進(jìn)行，避免因計算而產(chǎn)生錯誤．(注意線性回歸方程中一次項系數(shù)為，常數(shù)項為，這與一次函數(shù)的習(xí)慣表示不同．)18、見解析【解題分析】

引入函數(shù)，展開，其中，，是整數(shù)，，注意說明的唯一性，這樣有，，然后計算即可.【題目詳解】證明：因為，所以，由題意，首先證明對于固定的，滿足條件的是唯一的．假設(shè)，則，而，矛盾。所以滿足條件的是唯一的．下面我們求及的值：因為，顯然．又因為，故，即．所以令，，則，，又，所以．【題目點撥】本題考查二項式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是引入函數(shù)，展開，其中，，是整數(shù)，，于是可表示出.本題有一定的難度.19、（Ⅰ）x-2y+1=0，y2（Ⅱ）a=0或1．【解題分析】

（Ⅰ）利用極直互化公式即可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為普通方程，消去參數(shù)t求出直線的普通方程即可；（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和C的方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程，由t的幾何意義列方程，解出即可．【題目詳解】（Ⅰ）∵C:ρsin∴ρy2而直線l的參數(shù)方程為x=1+255則l的普通方程是：x-2y+1=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：y2=2ax①，l的參數(shù)方程為x=1+2將②代入①得：t2故t1由PA?PB解得：a=0或1．【題目點撥】本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程以及普通方程的轉(zhuǎn)化，考查直線和曲線的位置關(guān)系，是一道常規(guī)題．20、（1）詳見解析；（2）．【解題分析】

取BC中點F，連接FE，F(xiàn)D，可證平面AFDE，則，求解三角形證明，再由線面垂直的判定可得直線平面BCE；

以F為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BED與平面BCD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．【題目詳解】（1）取的中點，連結(jié)，如圖，由題意知，四邊形為矩形，且．因為為棱的中點，所以，因為，所以，因為，所以平面，所以．又,所以平面．（2）以F為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則0，，0，，，

，，

設(shè)平面BED的一個法向量為，

由，取，得．

取平面BCD的一個法向量為，

．

且二面角為銳角，

二面角的余弦值為．【題目點撥】本題考查線面垂直的判定，利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．21、(1)見解析;(2).【解題分析】分析：（1）兩邊同時除以，構(gòu)造的遞推表達(dá)式，