2024屆北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B．40 C． D．802．為客觀了解上海市民家庭存書(shū)量，上海市統(tǒng)計(jì)局社情民意調(diào)查中心通過(guò)電話調(diào)查系統(tǒng)開(kāi)展專(zhuān)項(xiàng)調(diào)查，成功訪問(wèn)了位市民，在這項(xiàng)調(diào)查中，總體、樣本及樣本的容量分別是（）A．總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是位市民家庭的存書(shū)量，樣本的容量是B．總體是上海市民家庭的存書(shū)量，樣本是位市民家庭的存書(shū)量，樣本的容量是C．總體是上海市民家庭的存書(shū)量，樣本是位市民，樣本的容量是D．總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是位市民，樣本的容量是3．下列說(shuō)法正確的是()A．若命題均為真命題，則命題為真命題B．“若，則”的否命題是“若”C．在，“”是“”的充要條件D．命題“”的否定為“”4．為了解某高校高中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，從編號(hào)為0001，0002，…，2000的2000名學(xué)生中采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，并把樣本編號(hào)從小到大排列，已知抽取的第一個(gè)樣本編號(hào)為0003，則最后一個(gè)樣本編號(hào)是（）A．0047 B．1663 C．1960 D．19635．設(shè)函數(shù)，，若存在唯一的整數(shù)，使，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A． B． C． D．7．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．設(shè)集合，若，則（）A． B． C． D．9．某公司為確定明年投入某產(chǎn)品的廣告支出，對(duì)近年的廣告支出與銷(xiāo)售額（單位：百萬(wàn)元）進(jìn)行了初步統(tǒng)計(jì)，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：經(jīng)測(cè)算，年廣告支出與年銷(xiāo)售額滿足線性回歸方程，則的值為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是A． B．C． D．11．在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．12．不等式x-5+A．-5,7 B．-∞,+∞C．-∞,-5∪7,+∞二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E之間的關(guān)系如下表.凸多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569長(zhǎng)方體6812五棱柱71015三棱錐446四棱錐558猜想一般結(jié)論:F＋V－E＝____.14．用反證法證明命題：“定義在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)的圖象與軸至多只有個(gè)交點(diǎn)”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“定義在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)的圖象與軸__________”．15．某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，則______.16．已知向量與的夾角為，且，，則向量在向量方向上的投影為_(kāi)_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）（遼寧省葫蘆島市2018年二模）直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為.（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值.18．（12分）已知函數(shù)的最小正周期為.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）已知的內(nèi)角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，若，且，，求的面積.19．（12分）某企業(yè)甲,乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品,乙組研發(fā)新產(chǎn)品.設(shè)甲,乙兩組的研發(fā)是相互獨(dú)立的.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得萬(wàn)元,若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得利潤(rùn)萬(wàn)元,求該企業(yè)可獲得利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知復(fù)數(shù).（1）化簡(jiǎn)：；（2）如果，求實(shí)數(shù)的值.21．（12分）甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率是，乙勝的概率是，不會(huì)出現(xiàn)平局．（1）如果兩人賽3局，求甲恰好勝2局的概率和乙至少勝1局的概率；（2）如果采用五局三勝制若甲、乙任何一方先勝3局，則比賽結(jié)束，結(jié)果為先勝3局者獲勝，求甲獲勝的概率．22．（10分）如圖，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，．（1）求橢圓的離心率；（2）過(guò)右焦點(diǎn)作一條弦，使，若的面積為，求橢圓的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

通過(guò)展開(kāi)二項(xiàng)式即得答案.【題目詳解】在的展開(kāi)式中,的系數(shù)為，故答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理，難度很小.2、B【解題分析】

根據(jù)總體、樣本及樣本的容量的概念，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題目可知，總體是上海市民家庭的存書(shū)量，樣本是位市民家庭的存書(shū)量，樣本的容量是故選B項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題考查總體、樣本及樣本的容量的概念，屬于簡(jiǎn)單題.3、D【解題分析】

利用復(fù)合命題的真假四種命題的逆否關(guān)系以及命題的否定，充要條件判斷選項(xiàng)的正誤即可．【題目詳解】對(duì)于A：若命題p，￢q均為真命題，則q是假命題，所以命題p∧q為假命題，所以A不正確；

對(duì)于B：“若，則”的否命題是“若，則”，所以B不正確；

對(duì)于C：在△ABC中，“”?“A+B=”?“A=-B”?sinA=cosB，

反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，

∴C=是sinA=cosB成立的充分不必要條件，所以C不正確；

對(duì)于D：命題p：“?x0∈R，x02-x0-5＞0”的否定為￢p：“?x∈R，x2-x-5≤0”，所以D正確．

故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及充要條件，四種命題的逆否關(guān)系，命題的否定等知識(shí)，是基本知識(shí)的考查．4、D【解題分析】,故最后一個(gè)樣本編號(hào)為,故選D.5、C【解題分析】

先確定是唯一整數(shù)解,再通過(guò)圖像計(jì)算得到范圍.【題目詳解】是函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)單調(diào)遞增.存在唯一的整數(shù)，使取，，滿足，則0是唯一整數(shù).恒過(guò)定點(diǎn)如圖所示：

即綜上所訴：故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的圖像，函數(shù)的單調(diào)性，首先確定0是唯一解是解題的關(guān)鍵.6、B【解題分析】由三視圖判斷底面為等腰直角三角形，三棱錐的高為2，則，選B.【考點(diǎn)定位】三視圖與幾何體的體積7、A【解題分析】

化簡(jiǎn)求得復(fù)數(shù)為，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得到本題答案.【題目詳解】因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】分析:先根據(jù)得到=1即得a=2,再根據(jù)求出b的值，再求則.詳解：因?yàn)?，所?1，所以a=2.又因?yàn)椋詁=1,所以Q={2,1}，所以.故答案為：B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查集合的交集補(bǔ)集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答集合中的參數(shù)問(wèn)題，要注意檢驗(yàn)，一是檢驗(yàn)是否滿足集合元素的互異性，二是檢驗(yàn)是否滿足每一個(gè)條件.9、D【解題分析】分析：求出,代入回歸方程計(jì)算，利用平均數(shù)公式可得出的值.詳解：,,,解得，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查平均數(shù)公式的應(yīng)用，線性回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心的性質(zhì)，意在考查綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

根據(jù)且，可依次排除，從而得到答案.【題目詳解】由圖象知，且中，，不合題意；中，，不合題意；中，，不合題意；本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，常用方法是利用排除法得到結(jié)果，排除時(shí)通常采用特殊位置的符號(hào)來(lái)進(jìn)行排除.11、D【解題分析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再求即可.【題目詳解】，.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正切二倍角的計(jì)算，同時(shí)考查三角函數(shù)的定義，屬于簡(jiǎn)單題.12、B【解題分析】

利用絕對(duì)值三角不等式，得到x-5+x+3【題目詳解】x-5x-5+x+3故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了解絕對(duì)值不等式，利用絕對(duì)值三角不等式簡(jiǎn)化了運(yùn)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

根據(jù)前面幾個(gè)多面體所滿足的結(jié)論，即可猜想出【題目詳解】由題知：三棱柱：，則，長(zhǎng)方體：，則，五棱柱：，則，三棱錐：，則四棱錐：，則，通過(guò)觀察可得面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)的關(guān)系為?！绢}目點(diǎn)撥】本題由幾個(gè)特殊多面體，觀察它們的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)，歸納出一般結(jié)論，著重考查歸納推理和凸多面體的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題。14、至少有個(gè)交點(diǎn)【解題分析】分析：反證法證明命題，只否定結(jié)論，條件不變。詳解：命題：“定義在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)的圖象與軸至多只有個(gè)交點(diǎn)”時(shí)，結(jié)論的反面為“與軸至少有個(gè)交點(diǎn)”。點(diǎn)睛：反證法證明命題，只否定結(jié)論，條件不變，至多只有個(gè)理解為，故否定為.15、0.6【解題分析】

由題意知，，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率、方差公式計(jì)算即可.【題目詳解】由題意知，該群體的10位成員使用移動(dòng)支付的概率分布符合二項(xiàng)分布，所以，所以或．

由，得，

即，所以，

所以，

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是二項(xiàng)分布問(wèn)題，根據(jù)二項(xiàng)分布求概率，再利用方差公式求解即可．16、【解題分析】

由題知，，再根據(jù)投影的概念代入計(jì)算即可.【題目詳解】，，所以向量在向量方向上的投影為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量模的坐標(biāo)計(jì)算，投影的概念與計(jì)算.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）.【解題分析】分析：（1）將兩邊同乘，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出直角坐標(biāo)方程；

（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義與根與系數(shù)的關(guān)系得出．詳解：（1）由，化為直角坐標(biāo)方程為，即（2）將l的參數(shù)方程帶入圓C的直角坐標(biāo)方程，得因?yàn)?，可設(shè)，又因?yàn)椋?，1）為直線所過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)睛：本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的幾何意義與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（1）利用周期公式求出ω，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解函數(shù)f（x）的值域；（2）求出A，利用余弦定理求出bc，然后求解三角形的面積．【題目詳解】解：（1）的最小正周期是，得，當(dāng)時(shí)，所以，此時(shí)的值域?yàn)椋?）因?yàn)椋?，∴，的面積【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的解法，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．19、(1)(2)詳見(jiàn)解析【解題分析】試題分析:(1)首先設(shè)出至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功為事件A,包含情況較多,所以要求該事件的概率,考慮求其對(duì)立事件,即沒(méi)有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功,根據(jù)獨(dú)立試驗(yàn)同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算方法即可求的對(duì)立事件的概率,再利用互為對(duì)立事件概率之間的關(guān)系,即和為,即可求的相應(yīng)的概率.(2)根據(jù)題意,研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果分為四種情況,利用獨(dú)立試驗(yàn)同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算方法分別得到每種情況的概率,再根據(jù)題意算出此時(shí)的利潤(rùn),即可得到關(guān)于利潤(rùn)的分布列,再利用概率與對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)成績(jī)之和即可得到數(shù)學(xué)期望.(1)解:設(shè)至少有一組研發(fā)成功的事件為事件且事件為事件的對(duì)立事件,則事件為新產(chǎn)品都沒(méi)有成功,因?yàn)榧?乙成功的概率分別為,則,再根據(jù)對(duì)立事件概率之間的概率公式可得,所以至少一種產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為.(2)由題可得設(shè)該企業(yè)可獲得利潤(rùn)為,則的取值有,,,,即,由獨(dú)立試驗(yàn)同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式可得:;;;;所以的分布列如下:

則數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)：分布列數(shù)學(xué)期望概率20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由復(fù)數(shù)z求出，然后代入復(fù)數(shù)ω＝z2+34化簡(jiǎn)求值即可；（2）把復(fù)數(shù)z代入，然后由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求值，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義列出方程組，從而解方程組可求得答案．【題目詳解】（1）∵，∴,∴.（2）∵,∴解得：【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，考查了復(fù)數(shù)相等的定義，是基礎(chǔ)題．21、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）先由已知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式公式，列出算式，得到結(jié)果．

（2）由于采用五局三勝制，則甲獲勝包括甲以3：0獲勝，以3：1獲勝，以3：2獲勝，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式列出算式，得到結(jié)果．詳解：（1）甲恰好勝2局的概率；乙至少勝1局的概率；（2）打3局：；打4局：；打五局：因此甲獲