2024屆黑龍江省哈爾濱市122中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆黑龍江省哈爾濱市122中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．關(guān)于函數(shù)的四個(gè)結(jié)論：的最大值為；函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后可得到函數(shù)的圖象；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；圖象的對(duì)稱中心為其中正確的結(jié)論有()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．現(xiàn)有男、女學(xué)生共8人，從男生中選2人，從女生中選1人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競(jìng)賽，共有90種不同方案，那么男、女生人數(shù)分別是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人3．已知函數(shù)f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a(chǎn) D．-a4．設(shè)雙曲線C：的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則雙曲線C的方程是（）A． B． C． D．5．觀察下列各式：，則的末四位數(shù)字為（）A．3125 B．5625 C．0625 D．81256．已知隨機(jī)變量服從的分布列為123…nP…則的值為（）A．1 B．2 C． D．37．將個(gè)不同的小球放入個(gè)盒子中，則不同放法種數(shù)有（）A． B． C． D．8．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“且”的過(guò)程中，由假設(shè)“”成立，推導(dǎo)“”也成立時(shí)，該不等式左邊的變化是（）A．增加B．增加C．增加并減少D．增加并減少9．已知集合，則等于（）A． B． C． D．10．定義上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，設(shè)，則下列判斷正確的是（）A． B． C． D．11．設(shè)曲線及直線所圍成的封閉圖形為區(qū)域，不等式組所確定的區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．12．傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，分別位于軸的左、右兩側(cè)），，則的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．關(guān)于曲線C：，給出下列五個(gè)命題：①曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱；②曲線C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為；④當(dāng)時(shí)，曲線C上所有點(diǎn)處的切線斜率為負(fù)數(shù)；⑤曲線C與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積是.上述命題中，為真命題的是_____.（將所有真命題的編號(hào)填在橫線上）14．已知，，則的值為_______________.15．某高中十佳校園主持人比賽上某一位選手得分的莖葉統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為______．16．棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球面O的表面上，E、F分別是棱、的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若不等式至少有一個(gè)負(fù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線，圓．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求的極坐標(biāo)方程；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點(diǎn)為、，求.19．（12分）在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，如圖1．將沿折到的位置，使，點(diǎn)在上，且，如圖2．（1）求證：⊥平面；（2）求二面角的正切值．20．（12分）完成下列各題.(1)求的展開式;(2)化簡(jiǎn).21．（12分）已知，設(shè)命題：函數(shù)在上為減函數(shù)，命題：不等式對(duì)恒成立，若為假命題，為真命題，求的取值范圍.22．（10分）在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列.（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

把已知函數(shù)解析式變形,然后結(jié)合型函數(shù)的性質(zhì)逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案．【題目詳解】函數(shù)的最大值為,故錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得即得到函數(shù)的圖象,故正確;由解得∴的單調(diào)遞增區(qū)間為故錯(cuò)誤；由,得圖象的對(duì)稱中心為,故錯(cuò)誤.∴其中正確的結(jié)論有1個(gè)。故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),考查三角函數(shù)的平移變換,難度一般.2、B【解題分析】試題分析：設(shè)男學(xué)生有x人，則女學(xué)生有8-x人，從男生中選2人，從女生中選1人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競(jìng)賽，共有90種不同方案,，∴x(x-1)(8-x)=30=2×3×5，∴x=3,故選B．考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．3、A【解題分析】

令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,x【題目詳解】令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，求導(dǎo)得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，且x<0時(shí)，g(x)<0，x>0時(shí)，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可畫出函數(shù)g(x)的圖象（見下圖），要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1?故選A.【題目點(diǎn)撥】解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.4、D【解題分析】

利用雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求得的值，即可求得雙曲線的方程，得到答案.【題目詳解】由題意，因?yàn)殡p曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

根據(jù)，分析次數(shù)與末四位數(shù)字的關(guān)系，歸納其變化規(guī)律求解.【題目詳解】因?yàn)?，觀察可知的末四位數(shù)字3125，的末四位數(shù)字5625，的末四位數(shù)字8125，的末四位數(shù)字0625，又，則的末四位數(shù)字為0625.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列中的歸納推理，還考查了理解辨析推理的能力，屬于中檔題.6、A【解題分析】

由概率之和為1，列出等式，即可求得k值.【題目詳解】由概率和等于1可得：，即.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查分布列中概率和為1，由知識(shí)點(diǎn)列式即可得出結(jié)論.7、B【解題分析】試題分析：采用分步計(jì)數(shù)原理來(lái)求解：分3步，每一步4種方法，不同方法種數(shù)有種考點(diǎn)：分步計(jì)數(shù)原理8、D【解題分析】

由題寫出時(shí)的表達(dá)式和的遞推式，通過(guò)對(duì)比，選出答案【題目詳解】時(shí)，不等式為時(shí)，不等式為，增加并減少.故選D.【題目點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)歸納法寫遞推式時(shí)，要注意從到時(shí)系數(shù)k對(duì)表達(dá)式的影響，防止出錯(cuò)的方法是依次寫出和的表達(dá)式，對(duì)比增項(xiàng)是什么，減項(xiàng)是什么即可9、C【解題分析】

由不等式性質(zhì)求出集合A、B，由交集的定義求出可得答案.【題目詳解】解：可得；，可得=故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了交集及其運(yùn)算，求出集合A、B并熟練掌握交集的定義是解題的關(guān)鍵.10、A【解題分析】

設(shè)，故，函數(shù)單調(diào)遞減，，代入化簡(jiǎn)得到答案.【題目詳解】設(shè)，故，所以在上單調(diào)遞減，故，即，即，故.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.11、C【解題分析】分析：求出兩個(gè)區(qū)域的面積，由幾何概型概率公式計(jì)算可得.詳解：由題意，，∴，故選C.點(diǎn)睛：以面積為測(cè)度的幾何概型問(wèn)題是幾何概型的主要問(wèn)題，而積分的重要作用正是計(jì)算曲邊梯形的面積，這類問(wèn)題巧妙且自然地將新課標(biāo)新增內(nèi)容——幾何概型與定積分結(jié)合在一起，是近幾年各地高考及模擬中的熱點(diǎn)題型．預(yù)計(jì)對(duì)此類問(wèn)題的考查會(huì)加大力度．12、D【解題分析】

設(shè)，則，由拋物線的定義，得，，進(jìn)而可求BE、AE，最后由可求解.【題目詳解】設(shè)，則A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別為AC、BD，由拋物線的定義可知：，過(guò)A作，垂足為E..故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線的定義，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③④⑤【解題分析】

對(duì)每一個(gè)命題逐一分析判斷得解.【題目詳解】對(duì)于①：曲線方程為，交換，的位置后曲線方程不變，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故該命題是真命題；對(duì)于②：在第一象限內(nèi)，因?yàn)辄c(diǎn)，在曲線上，由圖象可知曲線在直線的下方，且為凹函數(shù)如圖，所以曲線C不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故該命題是假命題；對(duì)于③：的最小值為，故該命題是真命題；對(duì)于④：因?yàn)楹瘮?shù)為凹函數(shù)，所以當(dāng)，1時(shí)，曲線上所有點(diǎn)處的切線斜率為負(fù)值，所以該命題是真命題；對(duì)于⑤：曲線與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積設(shè)為，則，故該命題正確.故答案為：①③④⑤【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)圖像的對(duì)稱問(wèn)題，考查定積分的計(jì)算，考查函數(shù)的最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.14、【解題分析】

由三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式，求得，再由兩角差的余弦函數(shù)的公式，即可求解．【題目詳解】由，即，則，又由，所以，又由．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及正弦的倍角公式和兩角差的余弦公式的化簡(jiǎn)、求值，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

由題意，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)為83，84，85，86，87，先求出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由此能求出所剩數(shù)據(jù)的方差．【題目詳解】解：某高中十佳校園主持人比賽上某一位選手得分的莖葉統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)為：83，84，85，86，87，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，所剩數(shù)據(jù)的方差為：．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查方差的求法，考查莖葉圖、平均數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．16、.【解題分析】分析：詳解：正方體的外接球球心為O，半徑為，假設(shè)2和線段EF相較于HG兩點(diǎn)，連接OG，取GH的中點(diǎn)為D連接OD，則ODG為直角三角形，OD=，根據(jù)勾股定理得到故GH=.故答案為.點(diǎn)睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）由，有，即，即可求得函數(shù)的零點(diǎn)；（2）不等式可化為，分別作出拋物線在軸上方的部分和拋物線在軸下方的部，結(jié)合圖象求得兩個(gè)臨界位置，即可得到答案.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令，有，即，則，解得，即，故函數(shù)的零點(diǎn)為；（2）不等式可化為，如圖所示，曲線段和分別是拋物線在軸上方的部分和拋物線在軸下方的部，因?yàn)椴坏仁街辽儆幸粋€(gè)負(fù)解，由圖象可知，直線有兩個(gè)臨界位置，一個(gè)是與曲線段相切，另一個(gè)是通過(guò)曲線段和軸的交點(diǎn)，后者顯然對(duì)應(yīng)于；前者由可得到方程，由，解得，因此當(dāng)時(shí)，不等式至少有一個(gè)負(fù)解，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，以及利用函數(shù)的圖象求解不等式的有解問(wèn)題，其中解答中熟記函數(shù)零點(diǎn)的概念，以及合理利用函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由可得出曲線的極坐標(biāo)方程；（2）解法一：求出直線的普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出圓的圓心到直線的距離，再利用勾股定理計(jì)算出；解法二：設(shè)點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為、，將圓的方程化為極坐標(biāo)方程，并將直線的方程與圓的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，得出關(guān)于的二次方程，列出韋達(dá)定理，可得出，從而計(jì)算出.【題目詳解】（1）由直線，可得的極坐標(biāo)方程為；（2）解法一：由直線的極坐標(biāo)方程為，得直線的直角坐標(biāo)方程為，即.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離，；解法二：圓的普通方程為，化為極坐標(biāo)方程得，設(shè)點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為、，將直線的極坐標(biāo)方程代入圓的極坐標(biāo)方程得，，由韋達(dá)定理得，，因此，.【題目點(diǎn)撥】本題考查普通方程與極坐標(biāo)方程的互化，同時(shí)也考查了直線與圓相交所得弦長(zhǎng)的計(jì)算，可以計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算，也可以利用極坐標(biāo)方程，利用極徑之差來(lái)進(jìn)行計(jì)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中等題.19、（1）見解析（2）【解題分析】試題分析：（1）證明：在圖中，由題意可知，為正方形，所以在圖中，，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，因?yàn)?，ABBC，所以BC平面SAB，又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，所以SA平面ABCD，（2）在AD上取一點(diǎn)O，使，連接EO．因?yàn)?，所以EO//SA所以EO平面ABCD，過(guò)O作OHAC交AC于H，連接EH，則AC平面EOH，所以ACEH．所以為二面角E—AC—D的平面角，在中，…11分，即二面角E—AC—D的正切值為考點(diǎn)：線面垂直的判定及二面角求解點(diǎn)評(píng)：本題中第二問(wèn)求二面角采用的是作角求角的思路，在作角時(shí)常用三垂線定理法；此外還可用空間向量的方法求解；以A為原點(diǎn)AB,AD,AS為x,y,z軸建立坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，代入向量計(jì)算公式即可20、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）根據(jù)二項(xiàng)定理，即可得到二項(xiàng)時(shí)的展開式；（2）根據(jù)二項(xiàng)式定理的逆用，即可得到相應(yīng)的二項(xiàng)式.詳解：（1）.（2）原式.