2024屆湖北省武漢市外國語學校數(shù)學高二下期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆湖北省武漢市外國語學校數(shù)學高二下期末經(jīng)典模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，已知，數(shù)列的前5項的和為，則（）A． B． C． D．2．如果的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，那么展開式中的所有項的系數(shù)和是()A．0 B．256 C．64 D．3．設，則，，的大小關系是（）A． B．C． D．4．復數(shù)的虛部是（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣15．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．6．扇形OAB的半徑為1，圓心角為120°，P是弧AB上的動點，則的最小值為（）A． B．0 C． D．7．在極坐標系中，圓的圓心的極坐標為（）A． B． C． D．8．已知A={|}，B={|}，則A∪B=A．{|或} B．{|} C．{|} D．{|}9．某個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．10．用反證法證明命題“若，則方程至少有一個實根”時，應假設（）A．方程沒有實根B．方程至多有一個實根C．方程至多有兩個實根D．方程恰好有兩個實根11．若拋物線,過其焦點的直線與拋物線交于兩點,則的最小值為()A．6 B． C．9 D．12．奇函數(shù)的定義域為.若為偶函數(shù)，且，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若從4名男生和3名女生中任選2人參加演講比賽，則至少選出1名女生的概率為_______（結果用分數(shù)表示）．14．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則__________15．如圖所示，正方體的棱長為1，,為線段,上的動點，過點,,的平面截該正方體的截面記為,則下列命題正確的是________.①當且時,為等腰梯形;②當,分別為,的中點時，幾何體的體積為;③當為中點且時，與的交點為,滿足;④當且時,的面積.16．邊長為2的等邊三角形繞著旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體體積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全市10萬名男生的身高服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某學校高中男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于160cm和190cm之間，將身高的測量結果按如下方式分成5組：第1組[160,166)，第2組[166，172)，...，第5組[184，190]下表是按上述分組方法得到的頻率分布表：分組[160，166)[166，172)[172，178)[178，184)[184，190]人數(shù)31024103這50個數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別比10萬個數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差多1和6.68，且這50個數(shù)據(jù)的方差為.(同組中的身高數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)：(1)求，；(2)給出正態(tài)分布的數(shù)據(jù)：，.(i)若從這10萬名學生中隨機抽取1名，求該學生身高在(169,179)的概率；(ii)若從這10萬名學生中隨機抽取1萬名，記為這1萬名學生中身高在(169，184)的人數(shù)，求的數(shù)學期望.18．（12分）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線過點,求的值;(2)是否存在實數(shù),使恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理山.19．（12分）一輛汽車前往目的地需要經(jīng)過個有紅綠燈的路口.汽車在每個路口遇到綠燈的概率為（可以正常通過），遇到紅燈的概率為（必須停車）.假設汽車只有遇到紅燈或到達目的地才停止前進，用隨機變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對值.（1）求汽車在第個路口首次停車的概率；（2）求的概率分布和數(shù)學期望.20．（12分）設函數(shù).（1）化簡：；（2）已知：，求的表達式；（3），請用數(shù)學歸納法證明不等式.21．（12分）如圖，在以為頂點的多面體中，面，，，，，（Ⅰ）請在圖中作出平面，使得平面，并說明理由；（Ⅱ）證明：平面.22．（10分）央視傳媒為了解央視舉辦的“朗讀者”節(jié)目的收視時間情況，隨機抽取了某市名觀眾進行調(diào)查，其中有名男觀眾和名女觀眾，將這名觀眾收視時間編成如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘），收視時間在分鐘以上（包括分鐘）的稱為“朗讀愛好者”，收視時間在分鐘以下（不包括分鐘）的稱為“非朗讀愛好者”.（1）若采用分層抽樣的方法從“朗讀愛好者”和“非朗讀愛好者”中隨機抽取名，再從這名觀眾中任選名，求至少選到名“朗讀愛好者”的概率；（2）若從收視時間在40分鐘以上（包括40分鐘）的所有觀眾中選出男、女觀眾各1名，求選出的這兩名觀眾時間相差5分鐘以上的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由，可求出，結合，可求出及.【題目詳解】設數(shù)列的前項和為，公差為，因為，所以，則，故.故選C.【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的前項和，考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了計算能力，屬于基礎題.2、D【解題分析】分析：先確定n值，再根據(jù)賦值法求所有項的系數(shù)和.詳解：因為展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，所以n＝6.令x＝1，則展開式中所有項的系數(shù)和是,選D.點睛：二項式系數(shù)最大項的確定方法①如果是偶數(shù)，則中間一項(第項)的二項式系數(shù)最大；②如果是奇數(shù)，則中間兩項第項與第項的二項式系數(shù)相等并最大.3、A【解題分析】

先根據(jù)來分段，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，比較出的大小關系.【題目詳解】由于，而，故，所以選A.【題目點撥】本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查比較大小的方法，屬于基礎題.4、D【解題分析】

利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出．【題目詳解】解：∵復數(shù)，∴復數(shù)的虛部是﹣1，故選：D．【題目點撥】本題考查了復數(shù)的運算法則、虛部的定義，屬于基礎題．5、C【解題分析】

求出雙曲線的漸近線方程，再由兩直線垂直的條件，可得，b=2a，再由a，b，c的關系和離心率公式，即可得到所求．【題目詳解】雙曲線的漸近線方程為，直線的斜率為，由題意有，所以，，故離心率.故選：C．【題目點撥】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程和離心率的求法，考查運算能力，屬于基礎題．6、C【解題分析】

首先以與作為一組向量基底來表示和，然后可得，討論與共線同向時，有最大值為1，進一步可得有最小值.【題目詳解】由題意得,，所以因為圓心角為120°，所以由平行四邊形法則易得，所以當與共線同向時，有最大值為1，此時有最小值.故選：C.【題目點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，選擇合適的基底表示相關的向量是求解的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).7、A【解題分析】

先將圓的極坐標方程化為直角坐標方程，找到此時的圓心再化為極坐標.【題目詳解】可化簡為：根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式可得：化簡可得：即：圓心為：故圓心的極坐標為：故選：A.【題目點撥】本題主要考查了極坐標和直角坐標的互化和圓的極坐標方程，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.8、D【解題分析】

根據(jù)二次不等式的解法得到B={|}=，再根據(jù)集合的并集運算得到結果.【題目詳解】B={|}=,A={|},則A∪B={|}.故答案為:D.【題目點撥】高考對集合知識的考查要求較低，均是以小題的形式進行考查，一般難度不大，要求考生熟練掌握與集合有關的基礎知識．縱觀近幾年的高考試題，主要考查以下兩個方面：一是考查具體集合的關系判斷和集合的運算．解決這類問題的關鍵在于正確理解集合中元素所具有屬性的含義，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的關系判斷以及運算．9、C【解題分析】

根據(jù)三視圖可知幾何體為三棱錐，根據(jù)三棱錐體積公式直接求得結果.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體為高為的三棱錐三棱錐體積：本題正確選項：【題目點撥】本題考查棱錐體積的求解，關鍵是能夠根據(jù)三視圖確定幾何體的底面積和高，屬于基礎題.10、A【解題分析】分析：直接利用命題的否定寫出假設即可,至少的反面是一個都沒有。詳解：用反證法證明命題“若，則方程至少有一個實根”時，要做的假設是方程沒有實根．故選：A．點晴：本題主要考察反證法，注意反證法證明問題時，反設實際是命題的否定11、B【解題分析】分析：設直線方程為，聯(lián)立方程組得出A，B兩點坐標的關系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出關于A，B兩點坐標的式子，使用基本不等式得出最小值.詳解：拋物線的焦點，設直線方程為，聯(lián)立方程組，得，設，則，，由拋物線的性質(zhì)得，.故選：B.點睛：本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.12、B【解題分析】是偶函數(shù)，關于對稱，是奇函數(shù)。故選B。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】分析：從4名男生和3名女生中任選2人參加演講比賽，則所有可能結果共有種，設事件A“所選2人都是男生”，則A事件“所選2人都是男生”包含的基本事件個數(shù)有種，即可求出A事件的概率，從而利用即可.詳解：從4名男生和3名女生中任選2人參加演講比賽，則所有可能結果共有種，設事件A“所選2人都是男生”，則A事件“所選2人都是男生”包含的基本事件個數(shù)有種，，故至少選出1名女生的概率為.故答案為：.點睛：本題考查概率的求法，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式、對立事件概率計算公式的合理運用.14、18【解題分析】

由可判斷函數(shù)周期為2，所以，將代入即可求值【題目詳解】由，可得所以18【題目點撥】若函數(shù)滿足，則函數(shù)周期為，對于給出x的取值不在給定區(qū)間的，必須要根據(jù)周期性轉(zhuǎn)化為在對應區(qū)間的x值，再代入表達式進行求解15、①②【解題分析】

將①③④三個命題逐一畫出圖像進行分析,即可判斷出真命題,從而得到正確的序號；②利用空間向量求點面距，進而得體積.【題目詳解】①:作圖如下所示,過作,交于,截面為即即截面為等腰梯形.故①正確.②:以為原點,、、分別為、、軸,建立空間直角坐標系,則,,,,,設平面的法向量為,則不妨設,則法向量.則點到平面的距離.故②正確.③:延長交的延長線于一點,連接交于點.故③錯誤④:延長交的延長線于,連接交于,則截面為四邊形根據(jù)面積比等于相似比的平方得.在中,,邊上的高為故④錯誤故答案為:①②.【題目點撥】本題考查了正方體截面有關命題真假性的判斷,考查椎體體積計算,考查空間想象能力和邏輯推理能力.對于求體積求高時,往往建立空間直角坐標系,采用法向量的思想進行求解思路比較明確.16、【解題分析】

根據(jù)題意可知：該幾何體是有公共底面的兩個一樣的圓錐,利用圓錐的體積公式求解即可.【題目詳解】根據(jù)題意可知：該幾何體是有公共底面的兩個一樣的圓錐,等邊三角形的高為,底面半徑為,所以所得到的幾何體體積為.故答案為【題目點撥】本題考查了按平面圖形一邊旋轉(zhuǎn)所形成的空間圖形的體積問題,考查了空間想象能力,考查了數(shù)學運算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)=174；；(2)(i)0.6826；(ii)8185【解題分析】

（1）由每組的中間值乘以該組的人數(shù)，再求和，最后除以總人數(shù)，即可求出平均值，根據(jù)題意即可得到，再由，以及題中條件，即可得出；（2）(i)先由題意得(169，179)=(，)，根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，即可求出對應概率；(ii)由題意可知(169，184)=(，)，，先求出一名學生身高在(169，184)的概率，由題意可知服從二項分布，再由二項分布的期望，即可求出結果.【題目詳解】解：(1)根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)可以得出這50個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為所以，又=31.68，所以.(2)(i)由題意可知(169，179)=(，)，所以該學生身高在(169，179)的概率為p=0.6826(ii)由題意可知(169，184)=(，)，所以一名學生身高在(169，184)的概率為根據(jù)題意，所以的數(shù)學期望.【題目點撥】本題主要考查平均值與標準差的計算，正態(tài)分布特殊區(qū)間的概率，以及二項分布的期望問題，熟記公式即可，屬于?？碱}型.18、（1）或（2）存在，使得不等式成立，詳見解析【解題分析】

（1）求出導函數(shù)，得切線斜率，寫出切線方程，由切線過點可求得參數(shù)，從而得切線方程；（2），要使恒成立，則是的極小值點，先由此結論求出參數(shù)，然后驗證是極小值，也是最小值點．【題目詳解】（1）∴曲線在處的切線方程為又切線過點∴∴或（2）的定義域為，要使恒成立，則是的極小值點.∵∴，∵，∴此時，，當時，，當時，，∴在處取得極小值1，∴當時，，當時，，即∴當時，恒成立，∴【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查用導數(shù)研究不等式恒成立問題．不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極值．本題通過不等式恒成立及，因此問題轉(zhuǎn)化為就是極小值，從而先求出參數(shù)的值，然后再證明恰是極小值即可．19、（1）;（2）分布列見解析，數(shù)學期望.【解題分析】

（1）汽車在第3個路口首次停車是指汽車在前兩個路口都遇到綠燈，在第3個路口遇到綠燈，由此利用相互獨立事件概率乘法公式能求出汽車在第3個路口首次停車的概率．（2）設前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對值．的可能取值為0，2，4，，，，由此能求出的概率分布列和數(shù)學期望．【題目詳解】解：（1）由題意知汽車在前兩個路口都遇到綠燈，在第3個路口遇到綠燈，汽車在第3個路口首次停車的概率為：．（2）設前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對值．則的可能取值為0，2，4，則，，，，的概率分布列為：024數(shù)學期望．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式、二項分布的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力.20、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解題分析】

（1）利用組合數(shù)公式化簡后可得出結果；（2）由（1）得出，令可得，化簡得出，代入函數(shù)的解析式，利用二項式定理進行化簡得出，于此可得出的表達式；（3）先由（2）中的結論，結合組合數(shù)的性質(zhì)得出，然后再用數(shù)學歸納法證明出不等式成立即可.【題目詳解】（1）；（2）由（1）得，令可得，即，所以，，因此，；（3），所以，，即，①，②①②得，，下面用數(shù)學歸納法證明.（i）當時，則有，結論成立；（ii）假設當時，，那么當時，，所以當時，結論也成立.根據(jù)（i）（ii）恒成立.【題目點撥】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)與計算