2024屆黑龍江省哈爾濱三中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆黑龍江省哈爾濱三中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若，則（）A． B．1 C． D．22．記為虛數(shù)集，設(shè)，．則下列類比所得的結(jié)論正確的是（）A．由，類比得B．由，類比得C．由，類比得D．由，類比得3．若圓錐的高等于底面直徑，側(cè)面積為,則該圓錐的體積為A． B． C． D．4．已知正方體的棱長為2，P是底面上的動點(diǎn),，則滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積等于（）A． B． C． D．5．已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是()A．1 B．2 C． D．6．設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率是（）A． B．2 C． D．7．已知集合2，，3，，則A． B． C． D．2，3，8．函數(shù)f(x)=x3+ax2A．-3或3 B．3或-9 C．3 D．-39．某班上午有五節(jié)課，計(jì)劃安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)各一節(jié)，要求語文與化學(xué)相鄰，且數(shù)學(xué)不排第一節(jié)，則不同排法的種數(shù)為（）A． B． C． D．10．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A． B． C． D．11．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．計(jì)算：（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角所對的邊分別為，已知，則____.14．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問到誰申請了北京大學(xué)的自主招生考試時，甲說：“丙或丁申請了”；乙說：“丙申請了”；丙說：“甲和丁都沒有申請”；丁說：“乙申請了”，如果這四位同學(xué)中只有兩人說的是對的，那么申請了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是______．15．已知不等式對任意恒成立，其中，是與無關(guān)的實(shí)數(shù)，則的最小值是________.16．如圖①，矩形的邊，直角三角形的邊，，沿把三角形折起，構(gòu)成四棱錐，使得在平面內(nèi)的射影落在線段上，如圖②，則這個四棱錐的體積的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，一條小河岸邊有相距的兩個村莊（村莊視為岸邊上兩點(diǎn)），在小河另一側(cè)有一集鎮(zhèn)（集鎮(zhèn)視為點(diǎn)），到岸邊的距離為，河寬為，通過測量可知，與的正切值之比為．當(dāng)?shù)卣疄榉奖愦迕癯鲂?，擬在小河上建一座橋（分別為兩岸上的點(diǎn)，且垂直河岸，在的左側(cè)），建橋要求：兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和最短，已知兩村的人口數(shù)分別是人、人，假設(shè)一年中每人去集鎮(zhèn)的次數(shù)均為次．設(shè)．（小河河岸視為兩條平行直線）（1）記為一年中兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和，試用表示；（2）試確定的余弦值，使得最小，從而符合建橋要求．18．（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，且對任意，都有?（Ⅰ）求的值，并證明為奇函數(shù)；（Ⅱ）若時，，且，證明為R上的增函數(shù)，并解不等式.19．（12分）設(shè)且，函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處切線的斜率；（2）求函數(shù)的極值點(diǎn)．20．（12分）某學(xué)校實(shí)行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8個試題中隨機(jī)挑選出4個進(jìn)行作答，至少答對3個才能通過初試已知甲、乙兩人參加初試，在這8個試題中甲能答對6個，乙能答對每個試題的概率為，且甲、乙兩人是否答對每個試題互不影響.（1）試通過概率計(jì)算，分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大；（2）若答對一題得5分，答錯或不答得0分，記乙答題的得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差.21．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求22．（10分）已知橢圓：的左焦點(diǎn)左頂點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點(diǎn).若，試問直線的斜率是否為定值？請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合，求出A的坐標(biāo)，然后求出AF的方程求出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得到結(jié)論．【題目詳解】拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為，設(shè)A（x，y），則，故x=4，此時y=4，即A（4，4），則直線AF的方程為，即，代入得，解得x=4（舍）或，則，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線的弦長的計(jì)算，根據(jù)拋物線的定義是解決本題的關(guān)鍵．一般和拋物線有關(guān)的小題，可以應(yīng)用結(jié)論來處理；平時練習(xí)時應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用。尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化。2、C【解題分析】選項(xiàng)A沒有進(jìn)行類比，故選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B中取不大于，故選項(xiàng)B錯誤；選項(xiàng)D中取，但是均為虛數(shù)沒辦法比較大小，故選項(xiàng)D錯誤，綜上正確答案為C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)及其性質(zhì)、合情推理，涉及類比思想、從特殊到一般思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，屬于中等難題.本題可以利用排除法，先排除B,再利用特例法取不大于，排除B,再取，但是均為虛數(shù)沒辦法比較大小，排除D，可得正確選項(xiàng)為C.3、B【解題分析】

先設(shè)底面半徑，然后根據(jù)側(cè)面積計(jì)算出半徑，即可求解圓錐體積.【題目詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，母線長；又側(cè)面積，所以，所以，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐的側(cè)面積公式應(yīng)用以及體積的求解，難度一般.圓錐的側(cè)面積公式：，其中是底面圓的半徑，是圓錐的母線長.4、A【解題分析】

P是底面上的動點(diǎn)，因此只要在底面上討論即可，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)已知列出滿足的關(guān)系．【題目詳解】如圖，以為軸在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由得，整理得，設(shè)直線與正方形的邊交于點(diǎn)，則點(diǎn)在內(nèi)部（含邊界），易知，，∴，．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間兩點(diǎn)間的距離問題，解題關(guān)鍵是在底面上建立平面直角坐標(biāo)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決．5、C【解題分析】

試題分析：由于垂直，不妨設(shè)，，，則，，表示到原點(diǎn)的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．6、C【解題分析】試題分析：雙曲線的漸近線為，到一條漸近線的距離，則，在中，，則，設(shè)的傾斜角為，則，，在中，，在中，，而，代入化簡可得到，因此離心率考點(diǎn)：雙曲線的離心率；7、B【解題分析】

直接根據(jù)交集的定義求解即可．【題目詳解】因?yàn)榧?，，3，，所以，根據(jù)交集的定義可得，故選B．【題目點(diǎn)撥】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.8、C【解題分析】

題意說明f'(1)=0，f(1)=7，由此可求得a,b【題目詳解】f'(x)=3x∴f(1)=1+a+b+a2+a=7f'(1)=3+2a+b=0，解得a=3,b=-9時，f'(x)=3x2+6x-9=3(x-1)(x+3)，當(dāng)-3<x<1時，f'(x)<0，當(dāng)x>1時，f'(x)>0a=-3,b=3時，f'(x)=3x2-6x+3=3∴a=3．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f'(x0)=0是x0為極值的必要條件，但不是充分條件，因此由9、B【解題分析】

先用捆綁法將語文與化學(xué)看成一個整體，考慮其順序；將這個整體與英語，物理全排列，分析排好后的空位數(shù)目，再在空位中安排數(shù)學(xué)，最后由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【題目詳解】由題得語文和化學(xué)相鄰有種順序；將語文和化學(xué)看成整體與英語物理全排列有種順序，排好后有4個空位，數(shù)學(xué)不在第一節(jié)有3個空位可選，則不同的排課法的種數(shù)是，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查分步計(jì)數(shù)原理，屬于典型題.10、A【解題分析】

根據(jù)三視圖可知幾何體為三棱錐，根據(jù)棱錐體積公式求得結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體為三棱錐三棱錐體積為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查棱錐體積的求解，關(guān)鍵是能夠通過三視圖確定幾何體為三棱錐，且通過三視圖確定三棱錐的底面和高.11、D【解題分析】

由題意得在上恒成立，利用分離參數(shù)思想即可得出結(jié)果．【題目詳解】∵，∴，又∵函數(shù)在上是增函數(shù)，∴在恒成立，即恒成立，可得，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．12、B【解題分析】

直接利用組合數(shù)公式求解即可．【題目詳解】由組合數(shù)公式可得.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查組合數(shù)公式的應(yīng)用，是基本知識的考查．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

由正弦定理和已知，可以求出角的大小，再結(jié)合已知，可以求出的值，根據(jù)余弦定理可以求出的值.【題目詳解】解:由正弦定理及得，，，，又，，，由余弦定理得：，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、余弦定理、考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14、乙【解題分析】

先假設(shè)甲乙丙丁中一個人說的是對的.然后再逐個去判斷其他三個人的說法.最后看是否滿足題意，不滿足排除．【題目詳解】解：先假設(shè)甲說的對，即甲或乙申請了.但申請人只有一個，(1)如果是甲，則乙說“丙申請了”就是錯的，丙說“甲和丁都沒申請”就是錯的，丁說“乙申請了”也是錯的，這樣三個錯的，不能滿足題意，故甲沒申請.(2)如果是乙，則乙說“丙申請了”就是錯的，丙說“甲和丁都沒申請”可以理解為申請人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故說法不對，丁說“乙申請了”也是對的，這樣說的對的就是兩個是甲和丁.滿足題意．故答案為：乙．【題目點(diǎn)撥】本題考查了合情推理的應(yīng)用，屬于中檔題．15、1【解題分析】

設(shè)，其中，求出的取值范圍，即可得出的最小值．【題目詳解】設(shè)，其中；；，，，，即；令，，則的最小值是．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式恒成立應(yīng)用問題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，結(jié)合單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．16、【解題分析】

設(shè)，可得，.，由余弦定理以及同角三角函數(shù)的關(guān)系得，則，利用配方法可得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)樵诰匦蝺?nèi)的射影落在線段上，所以平面垂直于平面，因?yàn)?，所以平面，，同理，設(shè)，則，.在中，，，所以，所以四棱錐的體積.因?yàn)椋援?dāng)，即時，體積取得最大值，最大值為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用以及錐體的體積公式，考查了配方法求最值，屬于難題.解決立體幾何中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用空間點(diǎn)線面關(guān)系和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將立體幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）當(dāng)時，符合建橋要求.【解題分析】

（1）利用正切值之比可求得，；根據(jù)可表示出和，代入整理可得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得時，取得最小值，得到結(jié)論.【題目詳解】（1）與的正切值之比為則，，，，（2）由（1）知：，，令，解得：令，且當(dāng)時，，；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)取最小值，即當(dāng)時，符合建橋要求【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)解析式和最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過根據(jù)題意建立起所求函數(shù)和變量之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的最值.18、（Ⅰ）,見解析；（Ⅱ）解集為.【解題分析】

（Ⅰ）由題意令，求得，再利用函數(shù)的奇偶性的定義，即可判定函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，可判定函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，把不等式得到，進(jìn)而可求解不等式的解集?！绢}目詳解】（Ⅰ）令，得.∵值域?yàn)?，?∵的定義域?yàn)椋嗟亩x域?yàn)?又∵，∴，為奇函數(shù).（Ⅱ）任取∵，∴，∵時，，∴，∴，又值域?yàn)?，∴，?∴為上的增函數(shù).，∵.又為R上的增函數(shù)，∴.故的解集為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判定，以及函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用問題，其中解答中熟記函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義，以及利用函數(shù)的基本性質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化不等式關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題。19、(1).(2)見解析.【解題分析】試題分析：（1）由已知中函數(shù)，根據(jù)a=2，我們易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切線的斜率k=f′（3）．（2）由已知我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)值為0，我們則求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．試題解析：(1)由已知得x>0.當(dāng)a＝2時，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，所以曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.①當(dāng)0<a<1時，當(dāng)x∈(0，a)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(a,1)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．此時x＝a時f(x)的極大值點(diǎn)，x＝1是f(x)的極小值點(diǎn)．②當(dāng)a>1時，當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，a)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．此時x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝a是f(x)的極小值點(diǎn)．綜上，當(dāng)0<a<1時，x＝a是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝1是f(x)的極小值點(diǎn)；當(dāng)a>1時，x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝a是f(x)的極小值點(diǎn)．點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，屬于中檔題.求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值.20、（1）甲通過自主招生初試的可能性更大.（2）見解析，，.【解題分析】

（1）分別利用超幾何概型和二項(xiàng)分布計(jì)算甲、乙通過自主招生初試的概率即可；（2）乙答對題的個數(shù)服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的公式，計(jì)算概率，再利用，即得解.【題目詳解】解：（1）參加自主招生的學(xué)生從8個試題中隨機(jī)挑選出4個進(jìn)行作答，至少答對3個才能通過初試，在這8個試題中甲能答對6個，甲通過自主招生初試的概率參加自主招生的學(xué)生從8個試題中隨機(jī)挑選出4個進(jìn)行作答，至少答對3個才能通過初試.在這8個試題中乙能答對每個試題的概率為，乙通過自主招生初試的概率，甲通過自主招生初試的可能性更大.（2）根據(jù)題意，乙答對題的個數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4.且的概率分布列為：05101520.【題目點(diǎn)撥】本題考查了超幾何分布和二項(xiàng)分布的概率和分布列，考查了學(xué)生實(shí)際應(yīng)用，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.21、(1),(2)【解題分析】

（1）首先設(shè)出等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比，根據(jù)題中所給的式子，