福建省泉州市南安第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試試題含解析

福建省泉州市南安第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，若曲線與的關(guān)系為（）A．外離 B．相交 C．相切 D．內(nèi)含2．為了考察兩個變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨立地做10次和15次驗，并且利用線性回歸方程，求得回歸直線分別為和．已知兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)對變x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都為t，那么下列說法正確的（）A．與相交于點（s，t）B．與相交，交點不一定是（s，t）C．與必關(guān)于點（s，t）對稱D．與必定重合3．已知函數(shù)的最小正周期是，若其圖像向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像（）A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點對稱 D．關(guān)于直線對稱4．已知函數(shù)為內(nèi)的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，記，則間的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．5．的二項式系數(shù)之和為（）．A． B． C． D．6．若關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則（）A． B． C． D．7．設(shè)在定義在上的偶函數(shù)，且，若在區(qū)間單調(diào)遞減，則（）A．在區(qū)間單調(diào)遞減 B．在區(qū)間單調(diào)遞增C．在區(qū)間單調(diào)遞減 D．在區(qū)間單調(diào)遞增8．用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被13整除”的第二步中，當(dāng)時為了使用歸納假設(shè)，對變形正確的是（）A． B．C． D．9．若函數(shù)在上有小于的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．將本不同的書全部分給甲乙丙三人，每人至少一本，則不同的分法總數(shù)為（）A． B． C． D．11．如果點位于第三象限，那么角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知空間向量，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若為正實數(shù)，則的最大值為_______．14．已知向量.若與共線，則在方向上的投影為______________.15．有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”則乙的卡片上的數(shù)字是______.16．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的數(shù)值范圍為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖為一簡單組合體，其底面為正方形，平面，，且，為線段的中點．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求三棱錐的體積．18．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若存在實數(shù)解，求實數(shù)a取值范圍．19．（12分）梔子原產(chǎn)于中國，喜溫暖濕潤、陽光充足的環(huán)境，較耐寒.葉，四季常綠；花，芳香素雅.綠葉白花，格外清麗.某地區(qū)引種了一批梔子作為綠化景觀植物，一段時間后，從該批梔子中隨機抽取棵測量植株高度，并以此測量數(shù)據(jù)作為樣本，得到該樣本的頻率分布直方圖（單位：），其中不大于（單位：）的植株高度莖葉圖如圖所示.(1)求植株高度頻率分布直方圖中的值；(2)在植株高度頻率分布直方圖中，同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代表，植株高度落入該區(qū)間的頻率作為植株高度取該區(qū)間中點值的頻率，估計這批梔子植株高度的平均值.20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值及函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值.21．（12分）羽毛球比賽中采用每球得分制，即每回合中勝方得1分，負(fù)方得0分，每回合由上回合的勝方發(fā)球．設(shè)在甲、乙的比賽中，每回合發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各回合發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨立．若在一局比賽中，甲先發(fā)球．（1）求比賽進行3個回合后，甲與乙的比分為的概率；（2）表示3個回合后乙的得分，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．22．（10分）如圖，已知是圓錐的底面直徑，是底面圓心，，，是母線的中點，是底面圓周上一點，．（1）求直線與底面所成的角的大小；（2）求異面直線與所成的角．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

將兩曲線方程化為普通方程，可得知兩曲線均為圓，計算出兩圓圓心距，并將圓心距與兩圓半徑差的絕對值和兩半徑之和進行大小比較，可得出兩曲線的位置關(guān)系.【題目詳解】在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以，得，化為普通方程得，即，則曲線是以點為圓心，以為半徑的圓，同理可知，曲線的普通方程為，則曲線是以點為圓心，以為半徑的圓，兩圓圓心距為，，，，因此，曲線與相交，故選：B.【題目點撥】本題考查兩圓位置關(guān)系的判斷，考查曲線極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，對于這類問題，通常將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用兩圓圓心距與半徑和差的大小關(guān)系來得出兩圓的位置關(guān)系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.2、A【解題分析】

根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過樣本中心點（s，t），判斷A說法正確．【題目詳解】解：根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過樣本中心點（s，t），∴與相交于點，A說法正確．故選：A．【題目點撥】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】

由最小正周期為可得,平移后的函數(shù)為,利用奇偶性得到,即可得到,則,進而判斷其對稱性即可【題目詳解】由題,因為最小正周期為,所以,則平移后的圖像的解析式為,此時函數(shù)是奇函數(shù),所以,則,因為,當(dāng)時,,所以,令,則,即對稱點為；令,則對稱軸為,當(dāng)時,，故選：D【題目點撥】本題考查圖象變換后的解析式,考查正弦型三角函數(shù)的對稱性4、D【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)解得，設(shè)，求導(dǎo)計算單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)性質(zhì)判斷大小得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，令.則為內(nèi)的偶函數(shù)，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減又，故，選D.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，比較大小，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.5、B【解題分析】由題意得二項式系數(shù)和為．選．6、D【解題分析】

根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)之間的關(guān)系，可得出一元二次不等式的解集為的等價條件.【題目詳解】由于關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象恒在軸的下方，所以其開口向下，且圖象與軸無公共點，所以，故選：D.【題目點撥】本題考查一元不等式在實數(shù)集上恒成立，要充分利用二次函數(shù)的開口方向和與軸的位置關(guān)系進行分析，考查推理能力，屬于中等題.7、D【解題分析】

根據(jù)題設(shè)條件得到函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，同時關(guān)于對稱的偶函數(shù)，根據(jù)對稱性和周期性，即可求解．【題目詳解】由函數(shù)滿足，所以是周期為2的周期函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，可得單調(diào)遞減，所以B不正確；由函數(shù)在定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞減，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，所以A不正確；又由函數(shù)在定義在上的偶函數(shù)，則，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，在在區(qū)間單調(diào)遞增，所以C不正確，D正確，故選D．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與對稱性的應(yīng)用，以及函數(shù)的周期性的判定，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】試題分析：假設(shè)當(dāng)，能被13整除，當(dāng)應(yīng)化成形式，所以答案為A考點：數(shù)學(xué)歸納法9、B【解題分析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，在上有小于的極值點等價于導(dǎo)函數(shù)有小于0的根．【題目詳解】由因為在上有小于的極值點，所以有小于0的根，由的圖像如圖：可知有小于0的根需要，所以選擇B【題目點撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的問題．屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】分析：分兩種情況：一人得本，另兩個人各得本；一人得本，另兩個人各得本，分別求出不同的分法即可得結(jié)果.詳解：分兩種情況：一人得本，另兩個人各得本，有種分法，一人得本，另兩個人各得本，有種分法，共有種分法，故選C.點睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.11、B【解題分析】

由二倍角的正弦公式以及已知條件得出和的符號，由此得出角所在的象限.【題目詳解】由于點位于第三象限，則，得，因此，角為第二象限角，故選B.【題目點撥】本題考查角所在象限的判斷，解題的關(guān)鍵要結(jié)合已知條件判斷出角的三角函數(shù)值的符號，利用“一全二正弦，三切四余弦”的規(guī)律判斷出角所在的象限，考查推理能力，屬于中等題.12、D【解題分析】

先求，再求模．【題目詳解】∵，，∴，∴．故選：D．【題目點撥】本題考查空間向量模的坐標(biāo)運算，掌握空間向量模的坐標(biāo)運算公式是解題基礎(chǔ)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)恒成立，可知；將不等式整理為，從而可得，解不等式求得的取值范圍，從而得到所求的最大值.【題目詳解】設(shè)恒成立，可知則：恒成立即：恒成立，解得：的最大值為：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笫阶愚D(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題，從而構(gòu)造出不等式求解出的取值范圍，從而求得所求最值，屬于較難題.14、【解題分析】

先根據(jù)與共線求出的值，再利用向量的投影公式求在方向上的投影.【題目詳解】∵∴.又∵與共線，∴，∴，∴，∴在方向上的投影為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查向量共線的坐標(biāo)表示和向量的投影的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.15、1和2【解題分析】

由題意分析可知甲的卡片上的數(shù)字為1和2，乙的卡片上的數(shù)字為1和2，丙的卡片上的數(shù)字為1和1．【題目詳解】由題意可知丙不拿1和2．

若丙拿1和1，則乙拿1和2，甲拿1和2，滿足題意；

若丙拿1和2，則乙拿1和2，甲拿1和1，不滿足題意．

故乙的卡片上的數(shù)字是1和2．故答案為：1和2【題目點撥】本題主要考查推理，考查學(xué)生邏輯思維能力，屬于基礎(chǔ)題．16、.【解題分析】

根據(jù)在上的單調(diào)性列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】依題意可知且，所以.由于在上遞增，所以即，解得.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）要證線線垂直，一般先證線面垂直，注意到底面，考慮證明與平面平行（或其內(nèi)一條直線平行），由于是中點，因此取中點（實質(zhì)上是與的交點），可證是平行四邊形，結(jié)論得證；（Ⅱ）求三棱錐的體積，采用換底，即，由已知可證就是三棱錐的高，從而易得體積．試題解析：（Ⅰ）連結(jié)與交于點，則為的中點，連結(jié)，∵為線段的中點，∴且又且∴且∴四邊形為平行四邊形，∴,即．又∵平面,面,∴,∵,∴,（Ⅱ）∵平面，平面,∴平面平面∵，平面平面，平面，∴平面.三棱錐的體積考點：線面垂直的判定與性質(zhì)，三棱錐的體積．18、（1）（2）【解題分析】分析：（1）對x分類討論，轉(zhuǎn)化為三個不等式組，最后取交集即可；（2）存在實數(shù)解等價于.詳解：（1）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時綜上：不等式解集為（2）存在x使得成立，點睛：1．研究含有絕對值的函數(shù)問題時，根據(jù)絕對值的定義，分類討論去掉絕對值符號，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決問題，這是常用的思想方法．2．f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a.f(x)>a恒成立?f(x)min＞a.19、（1）；（2）1.60.【解題分析】

（1）根據(jù)莖葉圖可得頻率，從而可計算.（2）利用組中值可計算植株高度的平均值.【題目詳解】（1）由莖葉圖知，.由頻率分布直方圖知，所以.（2）這批梔子植株高度的平均值的估計值.【題目點撥】本題考查頻率的計算及頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ），最小正周期為；（Ⅱ）2.【解題分析】

（Ⅰ）整理，得，由周期公式可得解；（Ⅱ）由已知可得，所以，問題得解.【題目詳解】（Ⅰ）∵，∴，∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，則，∴，∴的最大值為2.【題目點撥】本題考查了輔助角公式和三角函數(shù)周期公式，考查了整體法求三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.21、（1）0.1（2）見解析【解題分析】

（1）記“第回合發(fā)球，甲勝”為事件，=1，2，2，且事件相互獨立，設(shè)“2個回合后，甲與乙比分為2比1”為事件，由互斥事件概率加法公式和相互獨立事件乘法公式求出比賽進行2個回合后，甲與乙的比分為2比1的概率；（2）的可能取值為0，1，2，