2024屆青海西寧二十一中高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆青海西寧二十一中高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則（）A． B．3 C． D．2．在200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A．種 B．種 C．種 D．種3．已知，則()A．11 B．12 C．13 D．144．設，下列不等式中正確的是（）①②③④A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④5．甲、乙兩支女子曲棍球隊在去年的國際聯(lián)賽中，甲隊平均每場進球數(shù)為3.2，全年比賽進球個數(shù)的標準差為3；乙隊平均每場進球數(shù)為1.8，全年比賽進球數(shù)的標準差為0.3，下列說法中，正確的個數(shù)為（）①甲隊的進球技術(shù)比乙隊好；②乙隊發(fā)揮比甲隊穩(wěn)定；③乙隊幾乎每場都進球；④甲隊的表現(xiàn)時好時壞.A．1 B．2 C．3 D．46．已知集合，，則集合（）A． B． C． D．7．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．8．若函數(shù)在處的導數(shù)為，則為A． B． C． D．09．函數(shù)的定義域為R，，對任意的，都有成立，則不等式的解集為A． B． C． D．R10．下列關(guān)于曲線的結(jié)論正確的是（）A．曲線是橢圓 B．關(guān)于直線成軸對稱C．關(guān)于原點成中心對稱 D．曲線所圍成的封閉圖形面積小于411．已知向量，若，則實數(shù)（）A． B． C． D．12．《易經(jīng)》是我國古代預測未來的著作，其中同時拋擲三枚古錢幣觀察正反面進行預測未知，則拋擲一次時出現(xiàn)兩枚正面一枚反面的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面上兩組平行線互相垂直，一組由條平行線組成，一組由條平行線組成，則它們能圍成的矩形個數(shù)是___________14．根據(jù)如圖所示的偽代碼可知,輸出的結(jié)果為______.15．將半徑為1和2的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么這個大鉛球的表面積是__________.16．李華經(jīng)營了甲、乙兩家電動轎車銷售連鎖店，其月利潤(單位：元)分別為，(其中x為銷售輛數(shù))，若某月兩連鎖店共銷售了110輛，則能獲得的最大利潤為______元．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某玻璃工廠生產(chǎn)一種玻璃保護膜，為了調(diào)查一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，隨機抽取了10件樣品檢測質(zhì)量指標（單位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70.經(jīng)計算得，,生產(chǎn)合同中規(guī)定：質(zhì)量指標在62分以上的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，一批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率不得低于15%.（Ⅰ）以這10件樣品中優(yōu)質(zhì)品的頻率估計這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率，從這批產(chǎn)品中任意抽取3件，求有2件為優(yōu)質(zhì)品的概率；（Ⅱ）根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，利用該正態(tài)分布，是否有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率滿足生產(chǎn)合同的要求？附：若，則，18．（12分）已知二階矩陣對應的變換將點變換成，將點變換成.（1）求矩陣的逆矩陣；（2）若向量，計算.19．（12分）已知函數(shù).（1）若，求的零點個數(shù)；（2）若，，證明：，.20．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．(1)解不等式；(2)若函數(shù)的最小值為，且，求的取值范圍．21．（12分）設點P在曲線y＝x2上，從原點向A(2,4)移動，如果直線OP，曲線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記為S1、S2.(1)當S1＝S2時，求點P的坐標；(2)當S1＋S2有最小值時，求點P的坐標和最小值．22．（10分）某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用，并將各地的銷售收益（單位：萬元）繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開始計數(shù)的.廣告投入/萬元12345銷售收益/萬元23257（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；（Ⅱ）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到上表：表中的數(shù)據(jù)顯示與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的回歸方程；（Ⅲ）若廣告投入萬元時，實際銷售收益為萬元，求殘差.附：，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)正弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為齊次式，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，可得，故選D．【題目點撥】本題主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡、求值，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】分析：據(jù)題意，“至少有2件次品”可分為“有2件次品”與“有3件次品”兩種情況，由組合數(shù)公式分別求得兩種情況下的抽法數(shù)，進而相加可得答案．詳解：根據(jù)題意，“至少有2件次品”可分為“有2件次品”與“有3件次品”兩種情況，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973種，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972種，則共有C32C1973+C33C1972種不同的抽取方法，故選：D．點睛：本題考查組合數(shù)公式的運用，解題時要注意“至少”“至多”“最多”“最少”等情況的分類討論．3、B【解題分析】∵，∴，整理，得，；解得,或(不合題意,舍去)；∴n的值為12.故選：B.4、C【解題分析】分析：利用絕對值三角不等式等逐一判斷.詳解：因為ab>0,所以a,b同號.對于①，由絕對值三角不等式得，所以①是正確的；對于②，當a,b同號時，，所以②是錯誤的；對于③，假設a=3,b=2,所以③是錯誤的；對于④，由絕對值三角不等式得，所以④是正確的.故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查絕對值不等式，意在考查學生對該知道掌握水平和分析推理能力.(2)對于類似這樣的題目，方法要靈活，有的可以舉反例，有的可以直接證明判斷.5、D【解題分析】分析：根據(jù)甲隊比乙隊平均每場進球個數(shù)多，得到甲對的技術(shù)比乙隊好判斷①；根據(jù)兩個隊的標準差比較，可判斷甲隊不如乙隊穩(wěn)定；由平均數(shù)與標準差進一步可知乙隊幾乎每場都進球，甲隊的表現(xiàn)時好時壞.詳解：因為甲隊每場進球數(shù)為，乙隊平均每場進球數(shù)為，甲隊平均數(shù)大于乙隊較多，所以甲隊技術(shù)比乙隊好，所以①正確；因為甲隊全年比賽進球個數(shù)的標準差為，乙隊全年進球數(shù)的標準差為，乙隊的標準差小于甲隊，所以乙隊比甲隊穩(wěn)定，所以②正確；因為乙隊的標準差為，說明每次進球數(shù)接近平均值，乙隊幾乎每場都進球，甲隊標準差為，說明甲隊表現(xiàn)時好時壞，所以③④正確，故選D.點睛：本題考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差與標準差，其中數(shù)據(jù)的平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，方差與標準差反映了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度，一般從這兩個方面對數(shù)據(jù)作出相應的估計，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

由并集的定義求解即可.【題目詳解】由題,則,故選:B【題目點撥】本題考查集合的并集運算,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

直接求交集得到答案.【題目詳解】集合，集合，則.故選：.【題目點撥】本題考查了交集的運算，屬于簡單題.8、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的導數(shù)的極限定義進行轉(zhuǎn)化求解即可．【題目詳解】，故選：B．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的導數(shù)的計算，結(jié)合導數(shù)的極限定義進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．9、A【解題分析】

把原不等式化為右側(cè)為0的形式，令左側(cè)為，利用導數(shù)得到的單調(diào)性，得解集．【題目詳解】原不等式化為，令，則，對任意的，都有成立，恒成立，在R上遞減，，的解集為，故選：A．【題目點撥】此題考查了利用導數(shù)研究單調(diào)性，解決不等式問題，難度適中．對于沒有解析式或者表達式比較復雜的不等式，通常采取的方法是，研究函數(shù)的單調(diào)性和零點，進而得到解集。10、C【解題分析】

根據(jù)橢圓的方程判斷曲線不是橢圓；把曲線中的，同時換成，，判斷曲線是否關(guān)于直線對稱；把曲線中的，同時換成，，判斷曲線是否關(guān)于原點對稱；根據(jù)，，判斷曲線所圍成的封閉面積是否小于1．【題目詳解】曲線，不是橢圓方程，曲線不是橢圓，錯誤；把曲線中的，同時換成，，方程變?yōu)椋€不關(guān)于直線對稱，錯誤；把曲線中的，同時換成，，方程不變，曲線關(guān)于原點對稱，正確；，，曲線所圍成的封閉面積小于，令，所以曲線上的四點圍成的矩形面積為，所以選項D錯誤.故選：．【題目點撥】本題主要考查了方程所表示的曲線以及曲線的對稱性問題，解題時應結(jié)合圓錐曲線的定義域性質(zhì)進行解答，是基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】

由題得，解方程即得解.【題目詳解】因為，所以.故選B【題目點撥】本題主要考查向量垂直的坐標表示，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.12、C【解題分析】

用列舉法得出：拋擲三枚古錢幣出現(xiàn)的基本事件的總數(shù)，進而可得出所求概率.【題目詳解】拋擲三枚古錢幣出現(xiàn)的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出現(xiàn)兩正一反的共有3種，故概率為.故選C【題目點撥】本題主要考查古典概型，熟記概率的計算公式即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

分析矩形的組成：兩個長，兩個寬，然后利用分步乘法計數(shù)原理與排列組合思想計算可圍成的矩形數(shù).【題目詳解】因為矩形由兩個長，兩個寬構(gòu)成，第一步選長：從條直線中選條，共有種方法，第二步選寬：從條直線中選條，共有種方法，所以可圍成的矩形數(shù)為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查分步乘法計數(shù)原理和排列組合的綜合應用，難度一般.對于計數(shù)問題，第一步可考慮是屬于分類還是分步問題，第二步可考慮選用排列或組合的思想解決問題.14、72【解題分析】

模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，可得當時不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為72.【題目詳解】模擬程序的運行，可得滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，；滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，;滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，；不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為72,故答案為72【題目點撥】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應用，當循環(huán)的次數(shù)不多或有規(guī)律時，常采用模擬執(zhí)行程序的方法解決，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

設大鉛球的半徑為，則，求出，由此能求出這個大鉛球的表面積．【題目詳解】解：設大鉛球的半徑為，

則，

解得，

∴這個大鉛球的表面積

故答案為：．【題目點撥】本題考查球的表面積的求法，考查球的體積、表面積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．16、33000【解題分析】

設其中一家連鎖店銷售輛，則另一家銷售輛，再列出總利潤的表達式，是一個關(guān)于的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最大值即可．【題目詳解】依題意，可設甲這一家銷售了輛電動車，則乙這家銷售了輛電動車，總總利潤，所以，當時，取得最大值，且，故答案為.【題目點撥】本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，考查二次函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)的解析式，考查學生的應用能力，屬于中等題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）（II）有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率滿足生產(chǎn)合同的要求，詳見解析【解題分析】

（Ⅰ）10件樣品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，記任取3件，優(yōu)質(zhì)品數(shù)為，則，計算得到答案.（Ⅱ）記這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標為，由題意知,得到答案.【題目詳解】（I）10件樣品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，記任取3件，優(yōu)質(zhì)品數(shù)為，則，（II）記這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標為，由題意知則∵∴有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率滿足生產(chǎn)合同的要求.【題目點撥】本題考查了二項分布，正態(tài)分布，意在考查學生的應用能力和計算能力.18、（1）；（2）．【解題分析】分析：（1）利用階矩陣對應的變換的算法解出，再求（2）先計算矩陣的特征向量，再計算詳解：（1），則，，解得，，，，所以，所以；（2）矩陣的特征多項式為，令，解得，，從而求得對應的一個特征向量分別為，.令，求得，，所以.點睛：理解矩陣的計算規(guī)則和相互之間的轉(zhuǎn)換．19、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）將a的值代入f(x)，再求導得，在定義域內(nèi)討論函數(shù)單調(diào)性，再由函數(shù)的最小值正負來判斷它的零點個數(shù)；（2）把a的值代入f(x)，將整理化簡為，即證明該不等式在上恒成立，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導數(shù)可知其在定義域上的最小值，構(gòu)造函數(shù)，由導數(shù)可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證?！绢}目詳解】（1）解：因為，所以.令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，，所以的零點個數(shù)為1.（2）證明：因為，從而.又因為，所以要證，恒成立，即證，恒成立，即證，恒成立.設，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.所以.設，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.所以，所以，所以，恒成立，即，.【題目點撥】本題考查用導數(shù)求函數(shù)的零點個數(shù)以及證明不不等式，運用了構(gòu)造新的函數(shù)的方法。20、（1）；（2）【解題分析】分析：(1)由知，分類討論即可求解不等式的解集；(2)由條件，根據(jù)絕對值的三角不等式，求得其最小值，即，再利用均值不等式，求得的最小值，進而得到的取值范圍．詳解：(1)由知，解集為．（過程略）……5分(2)由條件得，當且僅當時，其最小值，即．又，所以，此時，．故的取值范圍為．……10分點睛：本題主要考查了含絕對值不等式的求解，以及均值不等式的應用求最值，其中熟記含絕對值不等式的解法以及絕對值三角不等式、均值不等式的合理應用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力．21、（1），（2），【解題分析】試題分析：（1）可考慮用定積分求兩曲線圍成的封閉圖形面積，直線OP的方程為y=tx，則S1為直線OP與曲線y=x2當x∈（0，t）時所圍面積，所以，S1=∫0t（tx﹣x2）dx，S2為直線OP與曲線y=x2當x∈（t，2）時所圍面積，所以，S2=∫t2（x2﹣tx）dx，再根據(jù)S1=S2就可求出t值．（Ⅱ）由（2）可求當S1+S2，化簡后，為t的三次函數(shù)，再利用導數(shù)求最小值，以及相應的x值，就可求出P點坐標為多少時，S1+S2有最小值．試題解析：（1）設點P的橫坐標為t（0＜t＜2），則P點的坐標為（t，t2），直線OP的方程為y=tx