2024屆湖南省衡陽(yáng)市重點(diǎn)名校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆湖南省衡陽(yáng)市重點(diǎn)名校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù),則下面對(duì)函數(shù)的描述正確的是（）A． B．C． D．2．如圖所示，陰影部分的面積為（）A． B．1 C． D．3．點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-3,3)，則點(diǎn)A．(23,C．(-23,4．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．7．已知的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集（）A． B．C． D．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”,從“到”左端需增乘的代數(shù)式為()A． B． C． D．9．下列說(shuō)法正確的是（）A．若為真命題，則為真命題B．命題“若，則”的否命題是真命題C．命題“函數(shù)的值域是”的逆否命題是真命題D．命題“，關(guān)于的不等式有解”，則為“，關(guān)于的不等式無(wú)解”10．已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，則這個(gè)方程可以是（）A． B．C． D．11．已知-1，a，b，-5成等差數(shù)列，-1，c，-4成等比數(shù)列，則a+b+c=（）A．-8 B．-6 C．-6或-4 D．-8或-412．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)滿足x2＜1，則下列不等式中一定成立的是（）A．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1 B．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1C．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1 D．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是____14．函數(shù)f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有極值，則a的取值范圍是_____．15．已知函數(shù)其中，若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________________.16．投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為0.6，那么針尖向下的概率為0.1．若連續(xù)擲一枚圖釘3次，則至少出現(xiàn)2次針尖向上的概率為_(kāi)____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)命題p:函數(shù)f(x)=x2-ax命題q:方程x2+ay2命題“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．（12分）已知集合，函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?（1）若，求不同的函數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）若，（?。┣蟛煌暮瘮?shù)的個(gè)數(shù)；（ⅱ）若滿足，求不同的函數(shù)的個(gè)數(shù).19．（12分）已知函數(shù).（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)存在最小值，證明：的最小值不大于1．20．（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面的中心，已知，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，以為基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)二面角的平面角為，且，試判斷點(diǎn)的位置．21．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=1+255ty=1+55t（t為參數(shù)），以（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）點(diǎn)P1,1，直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，若PA?PB22．（10分）若，解關(guān)于的不等式.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可以得到其導(dǎo)函數(shù)是增函數(shù)，利用零點(diǎn)存在性定理，可以將其零點(diǎn)限定在某個(gè)區(qū)間上，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值所滿足的條件，利用不等式的傳遞性求得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所以，?dǎo)函數(shù)在上是增函數(shù)，又，，所以在上有唯一的實(shí)根，設(shè)為，且，則為的最小值點(diǎn)，且，即，故，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)最值的范圍，首先應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而此時(shí)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是無(wú)法求出確切值的，應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理，將導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)限定在某個(gè)范圍內(nèi)，再根據(jù)不等式的傳遞性求得結(jié)果.2、B【解題分析】如圖所示軸與函數(shù)圍成的面積為,因此故選B.3、D【解題分析】

先判斷點(diǎn)P的位置，然后根據(jù)公式：ρ2ρ，根據(jù)點(diǎn)P的位置，求出θ.【題目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-3,3)，所以點(diǎn)Pρ=(-3)2+所以θ=2kπ+56【題目點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，關(guān)鍵是要知道點(diǎn)的具體位置.4、B【解題分析】分析：將方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，在轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的圖象與一條折線的位置關(guān)系，即可得到答案.詳解：方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，令，，其中表示過(guò)斜率為1或的平行折線，結(jié)合圖象，可知其中折線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷問(wèn)題，其中把方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想方法，以及分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.5、D【解題分析】

由圖形間的關(guān)系可以看出，每多出一個(gè)小金魚，則要多出6根火柴棒，則火柴棒的個(gè)數(shù)組成了一個(gè)首項(xiàng)是8，公差是6的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)，求出第n項(xiàng)的火柴根數(shù)即可．【題目詳解】由圖形間的關(guān)系可以看出，每多出一個(gè)小金魚，則要多出6根火柴棒，第一個(gè)圖中有8根火柴棒組成，第二個(gè)圖中有8+6個(gè)火柴棒組成，第三個(gè)圖中有8+1×6個(gè)火柴組成，以此類推：組成n個(gè)系列正方形形的火柴棒的根數(shù)是8+6（n﹣1）∴第n個(gè)圖中的火柴棒有6n+1．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是看清隨著小金魚的增加，火柴的根數(shù)的變化趨勢(shì)，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

求得導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在上單調(diào)，得出或在上恒成立，分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解?！绢}目詳解】由題意，函數(shù)，則，因?yàn)?，在上單調(diào)，所以①當(dāng)在上恒成立時(shí)，在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，則在上恒成立，令，，則在為增函數(shù)，∴．②當(dāng)在上恒成立時(shí)，在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，則在上恒成立，同①可得，綜上，可得或．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值問(wèn)題，用到了分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，恒成立問(wèn)題的處理及轉(zhuǎn)化與化歸思想是本題的靈魂，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于偏難題．7、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，再由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，不等式，構(gòu)造為，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，設(shè)，則，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系對(duì)不等式進(jìn)行判斷是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．8、B【解題分析】

分別求出時(shí)左端的表達(dá)式，和時(shí)左端的表達(dá)式，比較可得“從到”左端需增乘的代數(shù)式.【題目詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，等式的左邊為，所以左邊要增乘的代數(shù)式為.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是歸納推理，需要結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行求解，熟知數(shù)學(xué)歸納法的步驟，最關(guān)鍵的是從到，考查學(xué)生仔細(xì)觀察的能力，是中檔題.9、C【解題分析】

采用命題的基本判斷法進(jìn)行判斷，條件能推出結(jié)論為真，推不出為假【題目詳解】A.若為真命題，則中有一個(gè)為真命題即可滿足，但推不出為真命題，A錯(cuò)B.命題“若，則”的否命題是：“若，則”，當(dāng)時(shí)，不滿足，B錯(cuò)C.原命題與逆否命題真假性相同，的取值大于零，所以值域?yàn)?，C為真命題D.命題“，關(guān)于的不等式有解”，則為“，關(guān)于的不等式無(wú)解”，D錯(cuò)答案選C【題目點(diǎn)撥】四種常見(jiàn)命題需要熟悉基本改寫方式，原命題與逆否命題為真，逆命題與否命題為真，原命題與逆命題或否命題真假性無(wú)法判斷，需改寫之后再進(jìn)行判斷，命題的否定為只否定結(jié)論，全稱改存在，存在改全稱10、A【解題分析】

先由題意得到方程的兩復(fù)數(shù)根為，(為虛數(shù)單位)，求出，，根據(jù)選項(xiàng)，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榉匠痰母趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，可設(shè)根為：，(為虛數(shù)單位)，所以方程必有另一根，又，，根據(jù)選項(xiàng)可得，該方程為.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的方程，熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可，屬于常考題型.11、D【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得出a+b的值，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出c的值，于此可得出a+b+c的值?！绢}目詳解】由于-1、a、b、-5成等差數(shù)列，則a+b=-1又-1、c、-4成等比數(shù)列，則c2=-1當(dāng)c=-2時(shí)，a+b+c=-8；當(dāng)c=2時(shí)，a+b+c=-4，因此，a+b+c=-8或-4，故選：D?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，在處理等差數(shù)列和等比數(shù)列相關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以充分利用與下標(biāo)相關(guān)的性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題。12、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x），利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，則答案可求．【題目詳解】由x2f′（x）＜1，得f′（x），即得f′（x）0，令g（x）＝f（x），則g′（x）＝f′（x）0，∴g（x）＝f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)，∴f（）+2＜f（）+3＜f（）+4，則f（）＜f（）+1，即f（）﹣1＜f（）；f（）＜f（）+1．綜上，f（）﹣1＜f（）＜f（）+1．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后求出復(fù)數(shù)的虛部.詳解：由，可得,，可得，所以，的虛部是，故答案為點(diǎn)睛：本題主要考查乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)的概念，意在考查對(duì)復(fù)數(shù)基本概念與基本運(yùn)算掌握的熟練程度.14、{a|a＜﹣3或a＞6}【解題分析】

求出有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即可求出結(jié)論.【題目詳解】函數(shù)有極值，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，，或.故答案為:或.【題目點(diǎn)撥】本題考查極值存在求參數(shù)，熟練掌握三次函數(shù)圖像特征及性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】試題分析：由題意畫出函數(shù)圖象如下圖所示，要滿足存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則，解得，故m的取值范圍是.【考點(diǎn)】分段函數(shù)，函數(shù)圖象【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程、分段函數(shù)的概念.解答本題，關(guān)鍵在于能利用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的分析，轉(zhuǎn)化得到代數(shù)不等式.本題能較好地考查考生數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、基本運(yùn)算求解能力等.16、【解題分析】

至少出現(xiàn)2次針尖向上包括：出現(xiàn)2次針尖向上和出現(xiàn)3次針尖向上，分別求出它們的概率，根據(jù)互斥事件概率加法公式，可得答案．【題目詳解】∵投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為0.6，針尖向下的概率為0.1．∴連續(xù)擲一枚圖釘3次，出現(xiàn)2次針尖向上的概率為：0.132，出現(xiàn)3次針尖向上的概率為：0.216，故至少出現(xiàn)2次針尖向上的概率，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是互斥事件概率加法公式，先求出出現(xiàn)2次針尖向上和出現(xiàn)3次針尖向上的概率，是解答的關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、a<1【解題分析】分析：化簡(jiǎn)命題p可得a≤0，化簡(jiǎn)命題q可得0<a<1，由p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得p,q一真一假，分兩種情況討論，對(duì)于p真q假以及p假q真分別列不等式組，分別解不等式組，然后求并集即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.詳解：由于命題p:函數(shù)f(x)=x2-ax所以a≤0命題q:方程x2+ay2所以2a命題“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題，則p、①p真q假時(shí)：a≤0a≤0②p假q真綜上所述：a的取值范圍為：a<1點(diǎn)睛：本題通過(guò)判斷或命題、且命題的真假，綜合考查二次函數(shù)的單調(diào)性以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，屬于中檔題.解答非命題、且命題與或命題真假有關(guān)的題型時(shí)，應(yīng)注意：（1）原命題與其非命題真假相反；（2）或命題“一真則真”；（3）且命題“一假則假”.18、（1）36；（2）（?。?1；（ⅱ）19【解題分析】

（1）當(dāng)定義域有4個(gè)元素，值域有3個(gè)元素，把4個(gè)元素分成2，1，1的三組，再對(duì)應(yīng)值域里的3個(gè)元素，有；（2）（?。┓种涤蛴?個(gè)元素，2個(gè)元素，3個(gè)元素，討論函數(shù)個(gè)數(shù)；（ⅱ）滿足條件的有0，0，2，2或0，1，1，2或1，1，1，1三類，分三類求滿足條件的函數(shù)個(gè)數(shù).【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域是，值域是定義域里有2個(gè)數(shù)對(duì)著值域里面一個(gè)數(shù)，另外兩個(gè)數(shù)是1對(duì)1，不同的函數(shù)的個(gè)數(shù)是個(gè).（2）（?。┲涤虿荒転榭占?，當(dāng)是單元素集合時(shí)，，，，定義域是，此時(shí)定義域里4個(gè)元素對(duì)應(yīng)的都是值域里的一個(gè)數(shù)，此時(shí)有3個(gè)函數(shù)；當(dāng)是雙元素集合時(shí)，此時(shí)定義域里兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域里一個(gè)元素，有個(gè)函數(shù)；當(dāng)定義域里有3個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域里一個(gè)元素，定義域里第4個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域里一個(gè)元素時(shí)有個(gè)函數(shù)；當(dāng)集合是三個(gè)元素時(shí)，如（1）有36個(gè)函數(shù)，一共有3+18+24+36=81個(gè)函數(shù)；（ⅱ）滿足，的有0，0，2，2，函數(shù)個(gè)數(shù)是個(gè)，0，1，1，2時(shí)，函數(shù)個(gè)數(shù)是個(gè)，1，1，1，1時(shí)，函數(shù)個(gè)數(shù)是1個(gè)，共有個(gè).【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的應(yīng)用，意在考查轉(zhuǎn)化和推理，以及分類討論和計(jì)算求解能力，屬于中檔題型.19、（1）見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）根據(jù)條件求出f'（x），然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g（x）＝x2ex（x＞1），進(jìn)一步得到f'（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）由題意可知a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)最小值，則只需討論當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）是否存在最小值即可．【題目詳解】(1),令,故在上單調(diào)遞增,且.當(dāng)時(shí),導(dǎo)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),當(dāng)時(shí),導(dǎo)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).(2)證明:當(dāng)時(shí)..則函數(shù)無(wú)最小值.故時(shí),則必存在正數(shù)使得.函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，,令.則令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，所以,即.所以的最小值不大于1.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了函數(shù)思想和分類討論思想，屬中檔題．20、（1）；（2）點(diǎn)位于棱的三等分點(diǎn)處.【解題分析】

先由題意，得到，，，的坐標(biāo)，以及向量，的坐標(biāo)；（1）根據(jù)題中條件，得到，求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果；（2）先由題意，得到存在實(shí)數(shù)，使得，進(jìn)而得到，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量夾角公式，結(jié)合題中條件，列出等式，求