現(xiàn)代機(jī)電控制工程 教學(xué)資源C-第一章 經(jīng)典控制理論與方法

目錄

第1章經(jīng)典控制理論與方法....................................................2

1.1控制系統(tǒng)的基本控制方式.................................................2

1.2控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型......................................................3

1.2.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型............................................3

1.2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型............................................5

1.2.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流..........................................6

1.3線性系統(tǒng)的時域分析法..................................................11

1.3.1典型輸入信號與系統(tǒng)性能指標(biāo).......................................12

1.3.2一階系統(tǒng)的時域分析...............................................13

1.3.3二階系統(tǒng)的時域分析...............................................15

1.3.4線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性.............................................19

1.3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差...............................................23

1.4根軌跡法...............................................................25

1.4.1根軌跡概述........................................................25

1.4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則.............................................28

1.4.3廣義根軌跡.......................................................30

1.4.4根軌跡與系統(tǒng)性能.................................................31

1.5線性系統(tǒng)的頻率域方法..................................................32

1.5.1頻率特性..........................................................33

1.5.2系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的繪制......................................37

1.5.3對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù).................................................39

1.5.4穩(wěn)定裕度.........................................................41

1.5.5開環(huán)對數(shù)頻率特性與系統(tǒng)階躍響應(yīng)..................................42

1.6線性控制系統(tǒng)的校正....................................................43

1.6.1串聯(lián)校正..........................................................43

1.6.2反饋校正.........................................................47

1.6.3復(fù)合校正.........................................................48

習(xí)題........................................................................49

第1章經(jīng)典控制理論與方法

自動控制理論產(chǎn)生于20世紀(jì)40年代,早期的自動控制理論主要研究對象為單輸入單輸

出線性定常系統(tǒng)，采用傳遞函數(shù)作為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，一般稱其為經(jīng)典控制理論。經(jīng)典控制

理論的研究手段一般有時域法和頻域法，時域法中采用傳遞函數(shù)，在復(fù)頻域內(nèi)則采用頻率特

性、根軌跡分析、系統(tǒng)校正等方法和手段。

1.1控制系統(tǒng)的基本控制方式

根據(jù)自動控制系統(tǒng)的控制方式不同，經(jīng)典控制理論的控制方式通常包括開環(huán)控制方式、

閉環(huán)控制方式和復(fù)合控制方式。其中，閉環(huán)控制在自動控制系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛，亦是最基本

的控制方式。

1.開環(huán)控制方式

開環(huán)控制方式為無反饋控制方式，即控制系統(tǒng)與被控量之間只存在順向作用，沒有反向

聯(lián)系的控制過程。由開環(huán)控制方式構(gòu)成的系統(tǒng)稱為開環(huán)控制系統(tǒng)，它不需要對被控量進(jìn)行采

集或測量，更不需要將被控量反向作用到輸入端。開環(huán)控制方式依據(jù)具體輸入量的不同，分

為給定量控制方式和擾動控制方式。

在由給定量控制的控制系統(tǒng)中，僅給定量對控制系統(tǒng)產(chǎn)生作用，且每個給定量都有一個

輸出量與之相對應(yīng)。當(dāng)系統(tǒng)受到擾動時，被控量便會偏離期望值造成系統(tǒng)輸出偏差，但是控

制系統(tǒng)卻無法自動糾正偏差。因此，系統(tǒng)的控制精度與外部環(huán)境穩(wěn)定程度、各元件及校準(zhǔn)精

度等諸多因素相關(guān)。

由擾動量控制的控制系統(tǒng)利用系統(tǒng)中可測量的擾動量，對應(yīng)地增加補(bǔ)償裝置，以減小

或消除擾動對系統(tǒng)被控量的影響。擾動量控制方式的抗干擾能力較強(qiáng)，控制精度相較于定量

控制方式也有一定的提高，但采用這種控制方式的前提條件是擾動量必須是可測量的，而且

一種補(bǔ)償裝置只對一種擾動量有效，對其他擾動量均不起作用。當(dāng)系統(tǒng)存在多種擾動因素時,

需要對系統(tǒng)添加多種補(bǔ)償裝置，這樣會使得控制系統(tǒng)的復(fù)雜性大大提高，同時系統(tǒng)的可靠性

也會隨之降低。

2.閉環(huán)控制方式

閉環(huán)控制方式是將被控量（或稱被控對象）反向作用于輸入端，根據(jù)被控量與給定量的

偏差進(jìn)行控制的控制過程，閉環(huán)控制中控制信號沿前向通道和反饋通道形成的閉合回路循環(huán)

傳送。由于閉環(huán)控制根據(jù)偏差進(jìn)行控制，其閉合回路中存在反饋通道，故又被稱為偏差控制

或者反饋控制。

由閉環(huán)控制方式組成的系統(tǒng)稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)受到干擾或因給定量變化、外部

環(huán)境及參數(shù)變化等原因使被控量偏離期望值時，控制系統(tǒng)可自動糾正偏差，減小或消除各相

關(guān)因素對被控量的影響。

閉環(huán)控制具有較強(qiáng)的抗干擾能力和較高的控制精度，非常適合工程實(shí)際中的需求，在工

業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，近幾十年來其應(yīng)用領(lǐng)域更是擴(kuò)展到了生態(tài)環(huán)境控制、宏觀和微觀

經(jīng)濟(jì)控制、人文和社會建設(shè)等各個領(lǐng)域。

3.復(fù)合控制方式

復(fù)合控制方式是綜合了按擾動量控制和閉環(huán)控制的控制過程，由此組成的系統(tǒng)稱為復(fù)合

控制系統(tǒng)。復(fù)合控制系統(tǒng)一方面通過增加補(bǔ)償裝置來抑制或消除系統(tǒng)的主要擾動，另一方面

通過閉環(huán)控制減小或消除次要擾動產(chǎn)生的影響。

1.2控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是指用于描述控制系統(tǒng)中各變量和各變量之間相互關(guān)系以及系統(tǒng)

運(yùn)動規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，是進(jìn)行控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計的前提和必

要手段。自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型形式多樣，時域中常用的是微分方程、差分方程；復(fù)域中

采用的是傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖；頻域中則是頻率特性等。

1.2.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型

本節(jié)重點(diǎn)研究控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型，下面詳細(xì)闡述描述線性、定常、集總參量控制

系統(tǒng)微分方程的建立和求解方法。

1.線性元件的微分方程

下面舉例說明控制系統(tǒng)中常用的電氣元件微分方程的列寫。

例無源網(wǎng)絡(luò)如圖所示，列寫以以為輸入

O--□-?,O1-1RC1-1(t)

‘⑺量，%(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。

%Q)ci"。⑺

解：設(shè)回路電流為i(t),由基爾霍夫定律可得到回路方程

O------------------------------0為

圖ITRC無源網(wǎng)絡(luò)U；(t)=/?i(t)+u0(t)

消去中間變量i(t),可得RC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程為

RC噌+u°(t)=%(t)

這個一階微分方程就是圖1-1所示RC無源網(wǎng)絡(luò)的時域數(shù)學(xué)模型。

一般情況下，建立元件的微分方程的步驟如下：

1)根據(jù)元件在控制系統(tǒng)中的作用，確定其輸入量和輸出量。

2)分析元件在控制系統(tǒng)中的工作原理，列出對應(yīng)的微分方程。

3)化簡消去中間變量，得到表示輸入量與輸出量之間關(guān)系的微分方程。這個微分方程

便是元件的時域數(shù)學(xué)模型。

2.控制系統(tǒng)微分方程的建立

控制系統(tǒng)一般由多個元件聯(lián)結(jié)構(gòu)成，建立控制系統(tǒng)的微分方程具體步驟如下：

1)根據(jù)控制系統(tǒng)原理線路圖畫出系統(tǒng)的原理框圖.

2)根據(jù)原理方框圖建立微分方程組。

3)消去中間變量得到描述系統(tǒng)輸出量與輸入量關(guān)系的微分方程。

建立控制系統(tǒng)微分方程時，應(yīng)注意：

1)信號傳送的單向性，即前一個元件的輸出是后一個元件的輸入，一級一級單向傳送。

2)前后連接的兩個元件中，后級對前級的負(fù)載效應(yīng)。

3.線性系統(tǒng)的特性

對于線性系統(tǒng)，可采用疊加原理進(jìn)行分析。疊加原理具有兩重含義，即可疊加性和齊次

性。設(shè)某一線性系統(tǒng)，其輸入量分別為r1(t)和萬①時，其對應(yīng)輸出量分別為Ci(t)和C2(t);當(dāng)

系統(tǒng)輸入量為r1(t)+*(t)時，根據(jù)可疊加性,則其輸出量為Q(t)+c2(t)；當(dāng)系統(tǒng)輸入為ari(t)

時(a為實(shí)數(shù))，根據(jù)齊次性，則其輸出為aq(t)。

疊加原理顯示，多個外作用同時施加于線性系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)等于各個外作用單獨(dú)作用于

該線性系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)之和；當(dāng)某個外作用增強(qiáng)若干倍時，其對應(yīng)的線性系統(tǒng)響應(yīng)也增強(qiáng)若

千倍。如果有幾個外作用同時施加于同一個線性系統(tǒng)，則可分別求出各個外作用單獨(dú)施加于

線性系統(tǒng)時的響應(yīng)輸出，然后再將各響應(yīng)輸出相加即可。

4.線性微分方程的求解

控制系統(tǒng)的微分方程建立之后，給定各變量的初始值和輸入量，便可求解微分方程，研

究控制系統(tǒng)在該輸入作用下對應(yīng)的輸出量。微分方程有多種求解方法，如經(jīng)典法、拉普拉斯

變換法(簡稱拉氏變換)和數(shù)字求解等，而經(jīng)典控制理論主要采用拉氏變換法求解。

用拉氏變換法求解線性定常微分方程的過程可歸納如下：

1)將微分方程轉(zhuǎn)換為含有變量S的代數(shù)方程，轉(zhuǎn)換時可逐項進(jìn)行拉氏變換。

2)依據(jù)代數(shù)方程，求出輸出量的拉氏變換函數(shù)表達(dá)式。

3)將輸出量的拉氏變換函數(shù)進(jìn)行反變換，可得輸出量的時域表達(dá)式，即為所求微分方

程的解。

1.2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)的微分方程是時域內(nèi)描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，求解微分方程，即可得到

系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。但是只要控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或任意一個參數(shù)發(fā)生變化，都需要重新列寫微分方

程并求解，給系統(tǒng)分析和設(shè)計帶來了極大地不便。由此，引入拉氏變換，通過拉氏變換將控

制系統(tǒng)的時域微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)域中的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)是控制系統(tǒng)在復(fù)域中的數(shù)學(xué)模型,

它不僅表征了系統(tǒng)的輸入、輸出動態(tài)性能，而且能間接地反映系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)

性能產(chǎn)生的影響。

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為：零初始條件下，系統(tǒng)輸出變量拉氏變換與輸入變量拉

氏變換的比。它僅與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與外部輸入無關(guān)。零初始條件是指系統(tǒng)在1=o

時刻以后才將輸入施加于系統(tǒng)，在輸入施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。

設(shè)n階線性定常系統(tǒng)的微分方程為

dn"一1d

°。正+al----+QnC(t)

〃7n-14

=如而4)+瓦+…+標(biāo)r(。+(1-1)

式中，c(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)的輸入，a。，aI，…，an和b()，b1(…，bm為

與系統(tǒng)或元件、參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。

在零初始條件下，對式(1-1)兩邊進(jìn)行拉氏變換，由傳遞函數(shù)定義可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

G(s)=巡=b0sm+%s'nT+…+bm-iS+bm

nn-1

)R(s)aos+a1s+-+an_1s+an

將傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式分解因式，傳遞函數(shù)可變換為如下形式：

n(s-4)

\(s-zJ(s-Zz)L(s-z,“)

G(y)==K"T-----------

?0(S-Pl)(s-pJL(s-p”)

在(s-P1)

式中，z,(i=l,2,TH)是分子多項式等于零的根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn):Pj(/=1,2,

…，幾)是分母多項式等于零時的根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，傳遞系數(shù)K*=b°/a°即為根軌跡

增益。傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)既可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。把傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)分別用

不同的符號表示在復(fù)平面上的圖形即為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。傳遞函數(shù)的零點(diǎn)i般用

表示，極點(diǎn)用“X”表示。

1.2.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖是表示組成系統(tǒng)各元部件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形。

它們將復(fù)雜系統(tǒng)的組成簡單化，根據(jù)信號傳遞的順序采用信號線將信號按一定的方式連接起

來，以此表示系統(tǒng)各變量之間的因果和運(yùn)算關(guān)系，便于簡單、直觀地描述復(fù)雜的控制系統(tǒng)。

U(s)、

伙s)-----------------------------?

----------------?

a)b)

U(s)0U(s)+K(s)

火⑸-------

c)d)

圖1-2結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元

1.結(jié)構(gòu)圖

結(jié)構(gòu)圖由以下四個基本單元組成：

1)信號線：帶箭頭的直線，箭頭指向信號的傳遞方向，直線上標(biāo)明信號的時間函數(shù)或象

函數(shù),如圖l-2a所示。

2)引出點(diǎn)：信號引出和測量的位置，從同一位置引出的信號性質(zhì)和數(shù)值完全一致，如圖

l-2b所示。

3)比較點(diǎn)：對兩個以上信號進(jìn)行加減運(yùn)算，符號“+”表示相加，可省略不寫，符號“一”

表示相減，如圖l-2c所示。

4)方框：方框中為組成系統(tǒng)的元部件的傳遞函數(shù)，用于信號的運(yùn)算和轉(zhuǎn)換，如圖l-2d

所示。一個方框可以表示系統(tǒng)中的一個元部件，也可以表示幾個元部件；同理，系統(tǒng)中的一

個元部件也可以用幾個方框表示，方框與元部件之間并非一一對應(yīng)的。方框的輸出變量等于

方框的輸入變量與方框中傳遞函數(shù)的乘積。

繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時，首先考慮負(fù)載效應(yīng)分別列出系統(tǒng)各元部件傳遞函數(shù)，并將它們用方

框表示；根據(jù)各元部件的信號運(yùn)算關(guān)系和流向，按照需要選擇引出線、比較點(diǎn)，然后用信號

線依次將各方框連接便能得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖顯示了系統(tǒng)中各信號之間的所有傳遞和運(yùn)算關(guān)系，通過等效變換便能得到

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。對于非常簡單的系統(tǒng)從結(jié)構(gòu)圖上便能直觀地得到其傳遞函數(shù)，而對于一些

復(fù)雜的系統(tǒng)，便需要將其結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變換和簡化才能求出其傳遞函數(shù)。結(jié)構(gòu)圖主要有串

聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種連接方式，結(jié)構(gòu)圖簡化的一般方法是進(jìn)行方框運(yùn)算將串聯(lián)、并聯(lián)、反饋

連接的方框合并。

(1)串聯(lián)方框的簡化

如圖l-3a所示，兩個方框的傳遞傳輸分別為Gi(s)和Gz(s),若GKS)的輸出量作為G2(S)

的輸入量，且兩個方框之間不存在引出點(diǎn)和比較點(diǎn)，則兩個方框之間為串聯(lián)方框連接方式,

簡稱串聯(lián)連接。

a)b)

圖1-3方框串聯(lián)連接及其簡化

兩個方框串聯(lián)連接時，可將兩個方框簡化為一個方框，方框中的傳遞函數(shù)等于兩個方框

傳遞函數(shù)的乘積Gi(s)Gz(s)，簡化后的串聯(lián)方框圖如圖l-3b所示。由此類推，多個方框串

聯(lián)連接時亦可簡化為一個方框，其方框中的傳遞函數(shù)等于多個方框傳遞函數(shù)的乘積。

(2)并聯(lián)方框的簡化

如圖1-4a所示，兩個方框的傳遞傳輸分別為Gi(s)和Gz(s),若G](S)和G2(S)具有相同的

輸入量，且輸出量等于兩個方框輸出量的代數(shù)和，則兩個方框之間為并聯(lián)方框連接方

式，簡稱并聯(lián)連接。

a)b)

圖1-4方框并聯(lián)連接及其簡化

兩個方框并聯(lián)連接時，可將兩個方框簡化為一個方框，方框中的傳遞函數(shù)等于兩個方框

傳遞函數(shù)的代數(shù)和GI(S)±G2(S),簡化后的串聯(lián)方框圖如圖l-4b所示。由此類推，多個方

框串聯(lián)連接時亦可簡化為一個方框，其方框中的傳遞函數(shù)等于多個方框傳遞函數(shù)的代數(shù)和。

(3)反饋連接方框的簡化(等效)

若傳遞函數(shù)分別為G(s)和H(s)的兩個方框，如圖l-5a形式連接，則稱為反饋連接，是

典型的閉環(huán)控制方式。圖中，“+”號代表正反饋，“一”號則代表負(fù)反饋，正反饋和負(fù)反饋

分別表示輸入信號與反饋信號相加、減。

a)b)

圖1-5方框的反饋連接及其簡化

由圖l-5a有：C(s)=E(s)G(s)=[R(s)±B(s)]G(s)

將B(s)=C(s)H(s)代入上式，消去中間變量B(s),整理可得:

CG)=在黑rRG)=鞏s)R(s)

JL十)n(S)

式中

一、一G(s)

°⑸-1+G(s)H(s)

因此，如圖l-5a所示的反饋連接，亦可簡化為一個方框，方框傳遞函數(shù)為。(s),如圖

l-5b所示。中(s)通常稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，其表達(dá)式中的“一”號對應(yīng)正反饋連接，“+”號

對應(yīng)負(fù)反饋連接，G(s)和H(s)則分別為前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)。

(4)比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動

結(jié)構(gòu)圖除了串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接這三種基本連接方式外，還有其他復(fù)雜的連接方式,

在保持信號正確傳遞的前提下，可以通過移動比較點(diǎn)或引出點(diǎn)的位置，將其他連接方式等效

變化為三種基本的連接方式，再進(jìn)行方框的串聯(lián)、并聯(lián)或反饋連接的運(yùn)算。引出點(diǎn)和比較點(diǎn)

基本的移動等效變換方式如圖1一6所示。

1)引出點(diǎn)前移：

CG)'

2)引出點(diǎn)后移:

R(s)

>G(s)

R(s)

3）比較點(diǎn)前移:

7AG(s)-----------

XA.---------

圖1-6引出點(diǎn)和比較點(diǎn)移動等效變換

簡言之，引出點(diǎn)和比較點(diǎn)移動時，移動前后必須保持信號的等效性，并注意以下三個法

則：

1）向同類移動：在等效交換過程中，引出點(diǎn)或比較點(diǎn)應(yīng)盡可能地和方框進(jìn)行位置交換，

并且移動時要向同類移動，即引出點(diǎn)向引出點(diǎn)移動，比較點(diǎn)向比較點(diǎn)移動.

2）互換、合并：相鄰的比較點(diǎn)可以互換位置、可合并為同一個比較點(diǎn)；相鄰的引出點(diǎn)

可以互換位置、可合并為同一個引出點(diǎn)。

3）作用分解：同一個變量作用于兩個比較點(diǎn)，或者是兩個變量作用于同一個方框，可

以把這種作用分解成兩個單獨(dú)的回路，以化解回路之間的相互交連，一般適用于反饋通道。

引出點(diǎn)與比較點(diǎn)互換比較復(fù)雜，無特殊情況，不建議使用。

2.信號流圖

結(jié)構(gòu)圖雖然對于分析系統(tǒng)很有用處，但是復(fù)雜的控制系統(tǒng)其結(jié)構(gòu)圖往往也是相當(dāng)復(fù)雜的。

與結(jié)構(gòu)圖相比，信號流圖更加簡單，繪制方便。雖然信號流圖僅適用于線性系統(tǒng)，而結(jié)構(gòu)圖

適用于線性和和非線性系統(tǒng)，但是它特別適合用于計算機(jī)模擬仿真與狀態(tài)空間法的分析與設(shè)

計中，甚至可以直接給出計算機(jī)模擬仿真程序和系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述，在某些系統(tǒng)中有其獨(dú)

特的優(yōu)越性。

信號流圖起源于梅森利用圖示法來描述一個或一組線性代數(shù)方程,它是由節(jié)點(diǎn)和支路組

成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。在信號流圖中，節(jié)點(diǎn)由小圓圈表示，代表方程式中的變量；支路是

定向線段或曲線段，用以連接兩個節(jié)點(diǎn)，信號在支路上沿箭頭指向單向傳遞，兩個變量之間

的因果關(guān)系則用支路增益表示，故支路又相當(dāng)于乘法器。

如圖1-7所示的典型信號流圖，由四個節(jié)點(diǎn)和七條支路組成，其中四個節(jié)點(diǎn)分別代表

四個變量。由圖可以列出描述四個變量因果關(guān)系的代數(shù)方程組:

%]=%]

彳2=?12^1+。32%3

X3=&3X1+a23X2+(133X3

X4=。24&+。34久3

圖1-7典型信號流圖

上式中每個方程式等號左側(cè)的變量均為右側(cè)相關(guān)變量的線性組合。一般情況下，方程式

等號右側(cè)的變量為“因”，左側(cè)的變量為右側(cè)變量產(chǎn)生的“果”。如此，信號流圖便把各個變

量之間的因果關(guān)系相互貫通起來。

在信號流圖中，常用的名詞術(shù)語如下：

源節(jié)點(diǎn)（輸入節(jié)點(diǎn)）：只有出支路的節(jié)點(diǎn)，對應(yīng)于自變量或外部輸入。

阱節(jié)點(diǎn)（輸出節(jié)點(diǎn)）：只有入支路的節(jié)點(diǎn)，對應(yīng)于因變量或系統(tǒng)輸出。

混合節(jié)點(diǎn)：既有入支路，又有出支路的節(jié)點(diǎn)。

前向通路：信號傳遞從源節(jié)點(diǎn)開始到阱節(jié)點(diǎn)終止，而且每個節(jié)點(diǎn)只通過一次的通道，稱

為前向通道。信號流圖中，前向通路并不唯一，每條前向通路的總增益都等于該通路上所有

支路增益的乘積。

回路：如果通道的終點(diǎn)就是通道的始點(diǎn)，并且信號傳遞時通道中每個節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次,

這樣的閉合通道稱為單獨(dú)回路，簡稱回路?；芈返脑鲆娴扔谠撏飞纤兄吩鲆娴某朔e。

不接觸回路：回路之間無任何公共節(jié)點(diǎn)，那么這些回路稱為不接觸回路。

信號流圖可以依據(jù)微分或積分方程繪制，也可以依據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制。依據(jù)微分方程繪

制時，首先需要將方程進(jìn)行拉氏變換，得到含有S的代數(shù)方程；然后將系統(tǒng)的不同的變量定

義為相異的節(jié)點(diǎn)，按照變量間的因果關(guān)系從輸入到輸出繪制，用箭頭指示支路信號的傳遞方

向，并在支路上標(biāo)識支路增益。

依據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖，比依據(jù)微分方程繪制更簡便。繪圖時，只需用節(jié)點(diǎn)即小

圓圈替代結(jié)構(gòu)圖中信號線上的信號或變量，用支路即帶有方框傳遞函數(shù)的線段替代方框，便

能得到與結(jié)構(gòu)圖相對應(yīng)的信號流圖。

3.梅森增益公式

對于簡單的控制系統(tǒng)，變換和化簡結(jié)構(gòu)圖或信號流圖就能輕松得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而

對于復(fù)雜的控制系統(tǒng)，同樣采用化簡的方法來求傳遞函數(shù)，過程顯然是非常繁瑣的。梅森增

益公式正好可以解決這一難題，它不需要變換和化簡，便可以直接求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而

且對結(jié)構(gòu)圖和信號流圖都適用。下面簡單介紹一下梅森增益公式，其證明和應(yīng)用實(shí)例可參考

其他相關(guān)書籍和文獻(xiàn)。

梅森增益公式的一般形式為

EPA

G(s)=絢-----(1-2)

A

式中，G(s)為待求的控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)；Pk為從輸入端到輸出端第k條前

向通路的總傳遞函數(shù)；△為結(jié)構(gòu)圖或信號流圖的特征式，且A=1-

2匕+￡LJj-ELJjLk+???;￡〃為所有單獨(dú)回路傳遞函數(shù)或增益之和；

2L今為所有兩兩互不接觸的單獨(dú)回路傳遞函數(shù)或增益乘積之和；

￡乙與人為所有三個互不接觸的單獨(dú)回路傳遞函數(shù)或增益乘積之和；

為為余因子式，它等于特征式中除去與第k條前向通路相接觸的回路所

在項以后余下部分。

例1-2求圖1-8所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

圖1-8例1-2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖a)和信號流圖b)

解:從信號流圖可見，由源節(jié)點(diǎn)R到阱節(jié)點(diǎn)C有兩條前向通路,即n=2,且pi=G]G2G3,

p2=G0,有三個單獨(dú)回路，即J=-GM%,L2=-G2G3H2,L3=-G4H2；沒有不接

觸回路，且所有回路均與兩條前向通路接觸。因此AI=A2=1,而A=1-(人+乙2+乙3)。

故有梅森增益公式求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

理="心+224)=——魚——

R(S)△12)1+G1G2%+G2G3&+G4H2

1.3線性系統(tǒng)的時域分析法

建立了控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，便可以從不同角度采用不同的方法分析控制系統(tǒng)的性能如

動態(tài)性能和穩(wěn)定特性，常用的分析方法包括時域分析法、根軌跡法和頻率法等。時域分析法

在時間域中對線性系統(tǒng)進(jìn)行分析，是根軌跡法和頻率法的基礎(chǔ)。本節(jié)著重介紹時域分析法。

1.3.1典型輸入信號與系統(tǒng)性能指標(biāo)

采用時域分析法，首先設(shè)定一些常用的典型輸入信號，然后再分析在各種典型輸入信號

作用下系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，并以此分析和比較系統(tǒng)的性能。而各種非典型輸入信號可以分解或

近似成各種典型輸入信號，根據(jù)疊加原理，線性系統(tǒng)在非典型輸入信號作用下的輸出響應(yīng)則

可以由相應(yīng)的典型輸入信號作用下的輸出響應(yīng)合成。這種分析方法能夠提供系統(tǒng)時間性響應(yīng)

的全部信息，具有直觀、準(zhǔn)確等特點(diǎn)，但有時比較繁瑣。

1.典型輸入信號

一般情況下，控制系統(tǒng)的輸入信號可以完全或近似分解成幾種標(biāo)準(zhǔn)信號，這些標(biāo)準(zhǔn)信號

被稱之為典型輸入信號。控制系統(tǒng)中常用的典型輸入信號有:單位階躍信號、單位斜坡信號、

單位加速度信號?、單位脈沖信號和正弦信號等，它們的數(shù)學(xué)描述如表1-1所示。

表1-1典型輸入信號

名稱時域表達(dá)式復(fù)域表達(dá)式

1

單位階躍信號l(t),

s

1

單位斜坡信號t,t/0

21

單位加速度信號-2t,t>0

單位脈沖信號陽)，t=01

Ao)

單位脈沖信號Asina)t

s2+a)2

2.系統(tǒng)性能指標(biāo)

控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的輸出響應(yīng)按時間順序分為動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩個

階段。動態(tài)過程是指系統(tǒng)輸出從初始狀態(tài)到接近最終狀態(tài)的過程，而穩(wěn)態(tài)過程則是當(dāng)時間t

趨于無窮時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。由于一般工業(yè)系統(tǒng)均要求系統(tǒng)穩(wěn)定，故對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析的

前提是系統(tǒng)是穩(wěn)定的。研究和分析控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)，也就是研究和分析系統(tǒng)的動態(tài)過程

和穩(wěn)態(tài)過程，得到系統(tǒng)動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，并通過這些性能指標(biāo)對系統(tǒng)的響應(yīng)速度、

阻尼程度和控制精度等進(jìn)行評估。

(1)動態(tài)性能指標(biāo)

一般認(rèn)為，階躍信號對系統(tǒng)而言是較為嚴(yán)苛的輸入信號。因此，常以系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來

衡量控制系統(tǒng)性能的優(yōu)劣和定義瞬態(tài)過程的時域性能指標(biāo)。零初始條件下，單位階躍信號作

用于穩(wěn)定的線性控制系統(tǒng)，其系統(tǒng)響應(yīng)曲線具有振蕩特性和非振蕩特性兩種，兩種特性下的

動態(tài)性能指標(biāo)分別如圖l-9a和b所示。

圖1-9單位階躍響應(yīng)曲線

1）延遲時間Q：指輸出響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。

2）上升時間t”指輸出響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間；對于存在

振蕩的系統(tǒng)，外也可以定義為輸出響應(yīng)從零到第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。

3）峰值時間tp：指輸出響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值到達(dá)第一個峰值所需要的時間。

4）超調(diào)量。％:指輸出響應(yīng)對穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量與穩(wěn)態(tài)值之比，即

<7%=*

y（8）100%

5）調(diào)節(jié)時間公：指響應(yīng)到達(dá)并保持在穩(wěn)態(tài)值±5%（或土2%）內(nèi)所需的最短時間。

在實(shí)際應(yīng)用中，常用的動態(tài)性能指標(biāo)是上升時間、調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量。通常，用今或tp

來評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度；用。％評價系統(tǒng)的阻尼程度；而G是同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度

的綜合性指標(biāo)。

（2）穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)

指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差是表征控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的指標(biāo)，通常用系統(tǒng)的期望值與tf8時系統(tǒng)的

實(shí)際值（或穩(wěn)態(tài)值）之差來衡量，用ess來表示。穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)控制精度或抗干擾能

力的一種度量。

1.3.2一階系統(tǒng)的時域分析

由一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。舉幾個一階系統(tǒng)的例子。

1.一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

如圖1T所示RC電路，其微分方程為

“t)=T誓+c(t)(1-3)

其中，c(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)的輸入，7=RC為時間常數(shù)。

當(dāng)該電路的初始條件為零時，其傳遞函數(shù)為

鞏S)=需=高(1-4)

對應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖如圖1T0所示。

R(s)11小)1

至不

圖1-10一階控制系統(tǒng)圖1-11一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

設(shè)一階系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)r(t)=l(t),則由傳遞函數(shù)式(1-4)可得一階系統(tǒng)

的單位階躍響應(yīng)為

/i(t)=1-e~rl,t》0(1-5)

由式(1-5)可知，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線它以初始狀態(tài)室為起點(diǎn)，以指數(shù)規(guī)律上升

并最終趨近于穩(wěn)態(tài)值1,如圖1-11所示。

圖1-11所示，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線呈現(xiàn)非振蕩特征又稱為非周期特征，時間

常數(shù)T是響應(yīng)函數(shù)中唯一的參數(shù)，且可以以此確定系統(tǒng)的輸出值，如：

t=T時,/i(t)=0.632

t=2T時,h(t)=0.865

t=3T時,/i(t)=0.950

t=4T時，九(。=0.982

根據(jù)這一特點(diǎn)，可以確定一階系統(tǒng)的時間常數(shù)或者判定待測系統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)。

響應(yīng)曲線的初始斜率值為1/7,并隨時間的推移而下降，從而使一階系統(tǒng)的單位階躍響

應(yīng)時間為無限長，即有八(8)=1。

根據(jù)動態(tài)性能指標(biāo)的定義，一階系統(tǒng)的動態(tài)指標(biāo)為

td=0.69T

tr=2.20T

ts=3T

由于響應(yīng)曲線是非振蕩的，峰值時間J和超調(diào)量。％均不存在。顯然，系統(tǒng)的響應(yīng)速度取決

于T值的大小，時間常數(shù)T越小，td、tr和ts越小，系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，系統(tǒng)的慣性越小。

1.3.3二階系統(tǒng)的時域分析

由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)不僅是很常見的一種系統(tǒng)，而且很

多高階系統(tǒng)在一定的條件下可采用二階系統(tǒng)來描述,它是控制系統(tǒng)中的典型性和代表性系統(tǒng)。

因此，研究和分析二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)特征以及它在典型輸入作用下的動態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)性能

具有十分重要的意義。

1.二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

二階系統(tǒng)的微分方程一般式為

++=,(<On>0)(1-6)

式中，c(。為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)的輸入，4為阻尼比，3n為自然頻率(或無阻尼振蕩

頻率)。由式(1-6)可得二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

其相對應(yīng)的結(jié)構(gòu)如圖1-12所示。

R(s)華陰._________C(5)

--Srs(s+2皿)

圖1-12二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

令傳遞函數(shù)的分母多項式為零，可得二階系統(tǒng)的特征方程

2

s+2C,a)n+送=0

方程的兩個特征根(即閉環(huán)極點(diǎn))為

S1,2=一加-1

特征根表達(dá)式顯示，二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)取決于，和3n兩個參數(shù)。其中，阻尼比，決

定了系統(tǒng)的阻尼程度，3n決定了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，可以根據(jù)，和3n的變化情況來研究二階

系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性和穩(wěn)態(tài)特性。需要注意的是，，和3n在不同的二階系統(tǒng)中具有不用的

物理意義。

當(dāng)二階系統(tǒng)的輸入信號為階躍信號時，解微分方程(1-6),可得系統(tǒng)的輸出響應(yīng)：

sS2t

/i(t)=710+Are^+A2e(1-8)

式中4°、4和4是取決于初始條件和NO的待定系數(shù)，si和S2為特征方程的特征根。

式(1-8)顯示，阻尼比/同，二階系統(tǒng)的特征根分布不同，系統(tǒng)的時間響應(yīng)也不一樣：

1)過阻尼(01)：特征方程具有兩個不同的負(fù)實(shí)根，特征根是位于s平面負(fù)實(shí)軸上的

兩個不相等的負(fù)實(shí)極點(diǎn)，系統(tǒng)的時間響應(yīng)無振蕩。

2)臨界阻尼(牛1)：特征方程具有兩個相同的負(fù)實(shí)根，特征根是位于s平面左半部的

一對相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)的時間響應(yīng)非周期性地趨于穩(wěn)定輸出。

3)欠阻尼特征方程具有一對共輾復(fù)根，特征根是位于s平面左半部的一對

共舸點(diǎn)，系統(tǒng)的時間響應(yīng)為衰減振蕩。

4)無阻尼(小0)：特征根具有一對共軌純虛根，特征根位于s平面的虛軸上，系統(tǒng)的

時間響應(yīng)為持續(xù)振蕩。

5)負(fù)阻尼(50)：當(dāng)T<?0時，特征根具有一對正實(shí)部的共枕復(fù)根，特征根是位于s

平面上右半部的一對共攏極點(diǎn)；當(dāng)#7時，特征根具有兩個不同的正實(shí)根，特征根位于s

平面正實(shí)軸上的兩個不相等的正實(shí)極點(diǎn)?負(fù)阻尼條件，系統(tǒng)的時間響應(yīng)是發(fā)散的，系統(tǒng)是不

穩(wěn)定的。

上述各種情況的閉環(huán)極點(diǎn)分布，如圖1T3所示。

a)b)c)d)e)f)

圖1-13二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)分布

2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

當(dāng)輸入信號為單位階躍信號時，即r(t)=l(t),二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉式變換式

為

C(s)=O(s)R(s)=>萼~工--=—~-(1-9)

S?+23n+3(SS(S-S1)(S-S2)

式中，Si和S2是系統(tǒng)的兩個閉環(huán)極點(diǎn)。阻尼比，在不同的范圍取值時，閉環(huán)極點(diǎn)在S平面上

的位置不同，二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)對應(yīng)有不同的運(yùn)動規(guī)律。下面將介紹欠阻尼(0<#1)狀態(tài)

下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

當(dāng)0<?1時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為一對共轉(zhuǎn)復(fù)根，位于左半s平面上。即

Si,2=_刎1力3njl-=一回3tl

式中，a=^a)n---衰減系數(shù)；

3d=叫J1—-------阻尼振蕩頻率。

將式(1-9)并整理化簡得

s+enW?i

C⑸=；-2222(MO)

(s+<6)n)+6)d(s+^&)n)+a)d

對上式取拉式反變換，可得二階系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)為

nt

九(t)=1--j=^=e~^sin(a)dt+p),t20(MD

必

式中，口為阻尼角，B=arccos，。

式(1-11)表明，當(dāng)0＜夕1時，系統(tǒng)的響應(yīng)由兩部分組成：穩(wěn)態(tài)分量為1,表明系統(tǒng)在單

位階躍信號作用下不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差；動態(tài)分量是幅值按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦函數(shù)振蕩項。

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖1-14所示，圖中還包含了過阻尼(？＞1)和臨界

阻尼(，=1)和無阻尼(，=0)狀態(tài)下的響應(yīng)曲線。

圖1-14顯不，無阻尼響應(yīng)具有最短的上升時間，

響應(yīng)速度最快；過阻尼和臨界阻尼響應(yīng)曲線上升時間

長，但無超調(diào)。在欠阻尼響應(yīng)曲線中，阻尼比越小，

超調(diào)量越大，上升時間越短，通常取，=0.4~0.8為宜，

此時超調(diào)量適度，調(diào)節(jié)時間較短。

對于二階系統(tǒng)，可以根據(jù)系統(tǒng)的兩個特征參數(shù)阻

圖1-14二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線尼比，和自然振蕩頻率3“分析二階系統(tǒng)。自然振蕩頻

率3"主要影響系統(tǒng)的振蕩頻率，不會改變系統(tǒng)的振蕩特性。

3.欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)

由欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式可以看出，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)性能與阻尼比4和

無阻尼自然振蕩頻率3n相關(guān)，下面具體定量計算欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)。

(1)延遲時間Q

延遲時間可以用下式近似得到：

%=等(1-12)

3九

式(1-12)顯示，增大自然頻率3n或減小阻尼比均可以縮短延遲時間td

(2)上升時間tr

階躍響應(yīng)從零第一次升到穩(wěn)態(tài)所需的時間

兀一0n—arccos^

當(dāng)阻尼比，一定時，上升時間與3n成反比；當(dāng)阻尼振蕩頻率3d一定時，上升時間與阻

尼比正相關(guān)，阻尼比越大，上升時間越大。

（3）峰值時間J

上式表明，峰值時間與閉環(huán)極點(diǎn)的虛部數(shù)值成反比。

（4）超調(diào)量17%

顯然，超調(diào)量（7%僅是阻尼比，的函數(shù)，與自然頻率3“無關(guān)。

（5）調(diào)節(jié)時間Q

當(dāng)C〈o.8時，在分析和設(shè)計系統(tǒng)中，常采用下列近似公式計算調(diào)節(jié)時間:

(/=±0.05)

(/=±0.02)

由動態(tài)性能指標(biāo)表達(dá)式可知，系統(tǒng)各性能指標(biāo)之間是相關(guān)的。增大阻尼比4，可以提高

系統(tǒng)的平穩(wěn)性，但是阻尼比的增大，會降低系統(tǒng)響應(yīng)速度。提高系統(tǒng)的自然頻率3n能夠縮

短系統(tǒng)的上升時間和調(diào)節(jié)時間，進(jìn)而縮短動態(tài)過渡過程時間，但是提高3n需要提高系統(tǒng)的

整體反應(yīng)速度，對組成系統(tǒng)的元部件以及計算機(jī)的處理速度要求較高。除此之外，工作頻率

的提高還可能導(dǎo)致系統(tǒng)抗干擾能力下降。因此，設(shè)計二階系統(tǒng)時需要折中考慮并選擇合適的

系統(tǒng)參數(shù)，工程上一般選擇0.707為最佳阻尼比，此時系統(tǒng)的動態(tài)性能較優(yōu)。

例L3設(shè)位置隨動系統(tǒng)（單位負(fù)反饋）的開環(huán)傳遞函數(shù)為

當(dāng)給定位置輸入為單位階躍時，試計算放大器增益勺=180時，輸出位置響應(yīng)特性的性能

指標(biāo)：tp、ts、＜7%。

解：因為系統(tǒng)為單位負(fù)反饋，所以閉環(huán)傳遞函數(shù)為

=---------------

“s2+34.5s+5KA

將(=180代入上式，則

900

%)=------------------------

-s2+34.5s+5KA

與標(biāo)準(zhǔn)形式的傳遞函數(shù)(1-7)對照，可得3n=V900=30rad/s

/-=—=0.575

故峰值時間為

71

tp=----=0.13s

3nJ1-r

調(diào)節(jié)時間為t=-^-=0.2s

s見

超調(diào)量為ct%=e"小』。。%=J。99%

4.高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

用三階或三階以上的微分方程描述的控制系統(tǒng)，稱為高階系統(tǒng)。在控制工程中，很多控

制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)，但是高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)求解和動態(tài)性能指標(biāo)的計算都是比較復(fù)雜甚

至很困難的。因此，在時域分析中，對高階系統(tǒng)主要作定性分析，而工程上常常利用閉環(huán)主

導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子的概念，簡化高階系統(tǒng)為近似的低階系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)對其動態(tài)性能的近似評估。

對于高階系統(tǒng)而言，離虛軸最近的一個或兩個閉環(huán)極點(diǎn)在時間響應(yīng)中起主導(dǎo)作用，而其

他離虛軸較遠(yuǎn)的極點(diǎn)在時間響應(yīng)中對應(yīng)的分量衰減較快，只起次要作用，可以忽略。這便是

所謂的主導(dǎo)極點(diǎn)的概念。而偶極子則是指一對距離較近的零、極點(diǎn)，這對零、極點(diǎn)的作用可

以相互抵消，故可以舍去。這時，高階系統(tǒng)的時域分析便能轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的低階系統(tǒng)。

1.3.4線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件。一個不穩(wěn)定的系

統(tǒng)，一旦受到外部或內(nèi)部干擾便會偏離平衡狀態(tài)，并且偏差隨時間的推移越來越大，即使干

擾消失也回不到原來的狀態(tài)。而一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)，是不能正常工作且無法使用的，也是沒

有實(shí)踐意義的。因此，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性和研究系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的

基礎(chǔ)任務(wù)之一。

所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在外部或內(nèi)部的擾動作用下，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而在干

擾消失后，又能恢復(fù)到系統(tǒng)原平衡狀態(tài)的性能。反之，系統(tǒng)在擾動消失后，不能恢復(fù)到原平

衡狀態(tài)，即為不穩(wěn)定性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固定特性，對于線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性

僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與系統(tǒng)的初始條件、輸入作用和擾動無關(guān)。

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者閉環(huán)傳

遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于S左半平面。

根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，需要求出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的所

有根，對于低階系統(tǒng)，求解其特征根并不復(fù)雜，而對于高階系統(tǒng)，求解其特征根顯然是相當(dāng)

困難的。因此，需要一種間接方法來判斷傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是否均位于S左半平面。勞斯穩(wěn)定

判據(jù)或赫爾維茨判據(jù)均以特征方程的系數(shù)為依據(jù)，從不同角度間接判斷特征方程式的根在S

平面上的分布，正好解決了這一難題。

采用勞斯穩(wěn)定判據(jù)或赫爾維茨判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，必要條件是系統(tǒng)特征方程的系數(shù)均

為正數(shù)。顯然，系統(tǒng)特征方程的系數(shù)不滿足上述條件，則系統(tǒng)必定是不穩(wěn)定的。由于上述條

件是必要非充分條件，所以滿足上述條件并不能確定系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，還需用勞斯穩(wěn)定判

據(jù)或赫爾維茨判據(jù)進(jìn)一步判定，才能最終確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1.勞斯判據(jù)

設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為

nn_1

aos+axsH----Fa^-iS+g=0(a0>0)(1-13)

根據(jù)勞斯判據(jù)的必要條件，特征方程的系數(shù)均為正數(shù)。

勞斯判據(jù)采用表格形式，稱為勞斯表，如表1-2所示。勞斯表中，第一行由特征方程的

奇數(shù)項系數(shù)組成，第二行由偶數(shù)項系數(shù)組成。第三行至第n行的按表1-2計算，表中出現(xiàn)的

空位補(bǔ)零即可，第n+1行僅第一列有數(shù)值，數(shù)值為即。

勞斯穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)值及其符號的變化次數(shù)，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性及

特征根在s平面上的分布：

1)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是勞斯表第一列系數(shù)值全為正數(shù)。

2)如果勞斯表第一列各數(shù)出現(xiàn)小于零的數(shù)值，則線性系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列系數(shù)值符

號的變化次數(shù)即為特征方程正實(shí)部根的數(shù)量。

表1-2勞斯表

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