概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1-1(已講)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1-1(已講)匯報(bào)人：AA2024-01-19課程介紹與背景概率論基本概念一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)參數(shù)估計(jì)方法論述目錄01課程介紹與背景研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，為數(shù)理統(tǒng)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩者關(guān)系應(yīng)用概率論對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、分析和推斷的方法論學(xué)科。概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的應(yīng)用。030201概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概述掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、理論和方法。知識(shí)目標(biāo)能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，具備數(shù)據(jù)處理和分析的能力。能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和邏輯思維能力。素質(zhì)目標(biāo)課程目標(biāo)與要求《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（高等教育出版社）。教材《概率論基礎(chǔ)》（人民教育出版社）、《數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)》（科學(xué)出版社）等。參考書目教材及參考書目02概率論基本概念

隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件在一定條件下并不總是發(fā)生，且可以明確其是否發(fā)生的事件。概率描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，取值范圍在0到1之間。概率的性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性（必然事件的概率為1）、可加性（互斥事件的概率和）。每個(gè)樣本點(diǎn)等可能出現(xiàn)，且樣本空間有限。適用于擲骰子、抽簽等問題。古典概型樣本點(diǎn)無限且連續(xù)出現(xiàn)，適用于長度、面積、體積等連續(xù)型隨機(jī)變量的問題。幾何概型主要在于樣本空間的不同，古典概型是離散的，而幾何概型是連續(xù)的。兩者區(qū)別古典概型與幾何概型事件的獨(dú)立性如果兩個(gè)事件互不影響，則稱它們是獨(dú)立的。即P(A|B)=P(A)和P(B|A)=P(B)。條件概率在已知某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率。用P(A|B)表示在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率。乘法公式對(duì)于任意兩個(gè)事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B|A)。當(dāng)A和B獨(dú)立時(shí)，有P(AB)=P(A)P(B)。條件概率與獨(dú)立性03一維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量具有可測性、單調(diào)性和有界性等基本性質(zhì)。隨機(jī)變量定義及性質(zhì)隨機(jī)變量性質(zhì)隨機(jī)變量定義0-1分布二項(xiàng)分布描述的是n重伯努利試驗(yàn)中成功次數(shù)X的分布，其中每次試驗(yàn)成功的概率為p。二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布描述的是單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，它是一個(gè)偏態(tài)分布，常用于描述稀有事件的發(fā)生概率。0-1分布是二項(xiàng)分布的特例，它描述的是只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)。常見離散型隨機(jī)變量分布均勻分布01均勻分布描述的是在某個(gè)區(qū)間內(nèi)隨機(jī)變量取值的概率分布情況，它在該區(qū)間內(nèi)的概率密度函數(shù)是一個(gè)常數(shù)。指數(shù)分布02指數(shù)分布描述的是隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔的概率分布情況，它是一個(gè)偏態(tài)分布，常用于描述壽命、等待時(shí)間等問題。正態(tài)分布03正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型隨機(jī)變量分布之一，它描述的是影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多且每一個(gè)因素所起的作用都很微小時(shí)，這個(gè)數(shù)量指標(biāo)服從的分布。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布04多維隨機(jī)變量及其分布定義設(shè)$(X,Y)$是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{(Xleqx)cap(Yleqy)}$稱為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)$F(x,y)$具有單調(diào)不減、右連續(xù)、$F(-infty,y)=0$、$F(x,-infty)=0$、$F(+infty,+infty)=1$等性質(zhì)。離散型二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律若二維隨機(jī)變量$(X,Y)$所有可能取到的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì)，則稱$(X,Y)$是離散型的隨機(jī)變量。此時(shí)，可以定義一個(gè)二維數(shù)組$p_{ij}=P{X=x_i,Y=y_j}$來表示$(X,Y)$的聯(lián)合分布律。二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布邊緣分布二維隨機(jī)變量$(X,Y)$作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)$F(x,y)$，而$X$和$Y$都是隨機(jī)變量，各自也有分布函數(shù)，將它們分別記為$F_X(x),F_Y(y)$，依次稱為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)。邊緣分布函數(shù)可以由聯(lián)合分布函數(shù)所確定，反之則不然。要點(diǎn)一要點(diǎn)二條件分布設(shè)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，邊緣分布函數(shù)分別為$F_X(x),F_Y(y)$。若對(duì)于固定的$x_0$，$P{X=x_0}>0$，則稱條件概率$P{Yleqy|X=x_0}=frac{P{X=x_0,Yleqy}}{P{X=x_0}}$為在$X=x_0$條件下，$Y$的條件分布函數(shù)，記為$F_{Y|X}(y|x_0)$。同理，也可以定義在$Y=y_0$條件下，$X$的條件分布函數(shù)。邊緣分布與條件分布VS若二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)可以表示為兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積，即$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱隨機(jī)變量$X$和$Y$是相互獨(dú)立的。此時(shí)，聯(lián)合概率密度函數(shù)也可以表示為兩個(gè)邊緣概率密度函數(shù)的乘積。相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是衡量兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性相關(guān)程度的量。對(duì)于二維隨機(jī)變量$(X,Y)$，若它們的協(xié)方差存在且不為零，則稱比值$rho_{XY}=frac{Cov(X,Y)}{sqrt{D(X)}sqrt{D(Y)}}$為隨機(jī)變量$X$和$Y$的相關(guān)系數(shù)。其中，協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)都是描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性關(guān)系的統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)$rho_{XY}=0$時(shí)，稱隨機(jī)變量$X$和$Y$是不相關(guān)的。獨(dú)立性獨(dú)立性及相關(guān)系數(shù)05數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，通常用一個(gè)隨機(jī)變量及其分布來描述?？傮w從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本樣本中包含的個(gè)體數(shù)目，通常用n表示。樣本容量總體與樣本概念介紹統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)包括無偏性、有效性和一致性等，用于評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)量的優(yōu)劣。常用統(tǒng)計(jì)量樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本矩等。統(tǒng)計(jì)量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)卡方分布t分布F分布三大抽樣分布的關(guān)系三大抽樣分布用于描述正態(tài)總體方差的分布，其形狀取決于自由度。用于描述兩個(gè)正態(tài)總體方差的比值分布，其形狀取決于兩個(gè)自由度。用于描述正態(tài)總體均值的分布，其形狀取決于自由度和總體方差?？ǚ椒植肌分布和F分布之間存在密切關(guān)系，可以相互轉(zhuǎn)化。06參數(shù)估計(jì)方法論述矩估計(jì)法最大似然估計(jì)法最小二乘法貝葉斯估計(jì)法點(diǎn)估計(jì)方法及其性質(zhì)01020304利用樣本矩來估計(jì)總體矩，從而獲得總體參數(shù)的估計(jì)值。根據(jù)樣本觀測值出現(xiàn)的概率最大原則來估計(jì)總體參數(shù)。通過最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，從而得到參數(shù)的估計(jì)值?；谪惾~斯定理，結(jié)合先驗(yàn)信息和樣本信息來得到后驗(yàn)分布，進(jìn)而得到參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。03自助法通過對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行重復(fù)抽樣，構(gòu)造出大量自助樣本，進(jìn)而得到參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。01置信區(qū)間法利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)包含總體參數(shù)的區(qū)間，并給出該區(qū)間包含總體參數(shù)的可信程度。02容忍區(qū)間法在給定顯著性水平下，構(gòu)造一個(gè)包含總體參數(shù)的區(qū)間，使得該區(qū)間有盡可能大的覆蓋概率。區(qū)間估計(jì)方法論述指估計(jì)量的期望值等于被估計(jì)的總體參數(shù)，即估計(jì)量在多次重復(fù)抽樣下