中國(guó)石油大學(xué)線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)題及參考答案

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下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A）若n階線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣行列式四川，則該方程組存在唯一解；

B）若n階線性方程組Ax=O的系數(shù)矩陣行列式⑶邦，則該方程組只有零解；

C）一個(gè)行列式交換兩列，行列式值不變；

D）若一個(gè)行列式的一列全為零，則該行列式的值為零

參考答案：C

2（10.0分）下面論斷錯(cuò)誤的是（）。

A）若干個(gè)初等陣的乘積必是可逆陣

B）可逆陣之和未必是可逆陣

C）兩個(gè)初等陣的乘積仍是初等陣

D）可逆陣必是有限個(gè)初等陣的乘積

參考答案：C

3(10.0分)

%+，1%110

%+〃a.23010

?32+?31%3300

則下列等式正確的是（）

A)PA=B

B)AP=B

C)PB=A

D）BP=A

參考答案：B

4（10.0分）設(shè)矩陣A=（aij）mxn的秩為r,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A）矩陣A存在一個(gè)階子式不等于零；

B）矩陣A的所有r1階子式全等于零

C）矩陣A存在r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)

D）矩陣A存在m-r個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)

參考答案：D

5（10.0分）設(shè)n階實(shí)方陣A,B,C滿足關(guān)系式ABC=E,其中E為n階單位矩陣，

則下列關(guān)系式成立的是（）

A）ACB=E

B）CBA=E

C）BAC=E

D）BCA=E

參考答案：D

6（10.0分）

設(shè)A是m*n階矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r,矩陣B=AC的秩為

t,則下列結(jié)論成立的是（）

A）r>t

B）r<=""div="">

C）r=t

D）i■與t的關(guān)系不定

參考答案：C

7（10.0分）設(shè)A和B皆為n階方陣，則下面論斷錯(cuò)誤的是（）。

A）A與B等價(jià)的充要條件是rank（A）=rank（B）B）若A與B等價(jià)，則|A|=|B|

C）A與B等價(jià)的充要條件是存在可逆陣P、Q,使A=PBQ

D）A可逆的充要條件是A等價(jià)于En

參考答案：B

8（10。分）對(duì)n階實(shí)矩陣A和非零常數(shù)k,下列等式中正確的是（）

A）|kA|=knA

B）|kA|=kn|A|

C）|kA|=k|A|

D）|kA|=kA

參考答案：B

9（10.0分）設(shè)A和B皆為n階實(shí)方陣，則下面論斷錯(cuò)誤的是（）。

A）A與B相似的充要條件是存在可逆陣P,使得A=P-1BP

B）若A是反對(duì)稱(chēng)矩陣，則AT=-A

C）若A可逆，則A可以表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積

D）若A是正交矩陣，則|A|=1

參考答案：D

10（10.0分）設(shè)A為3階矩陣且行列式|A|=0,則下列說(shuō)法正確的是（）

A）矩陣A中必有一列元素等于0

B）矩陣A中必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例

C）矩陣A中必有一列向量是其余列向量的線性組合

D）矩陣A中任一列向量是其余列向量的線性組合

參考答案：C

1（10。分）

1111

1234

行列式…916=（）。

182764

A）24

B）12

C）6

D）1

參考答案：B

2（10.0分）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A）矩陣的秩等于該矩陣的行向量組的秩

B）矩陣的秩等于該矩陣的列向量組的秩

C）一個(gè)n階方陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)

D）相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值

參考答案：C

3（10.0分）

已知*月是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，%,%是對(duì)應(yīng)齊次線性方程

組4c=0的基礎(chǔ)解系，公,&2是任意常數(shù)，則方程組出=方的通解必是（）

A[1+&（?+q）+△廣

A）2

用（％一引+警豈

%%+用（4+2）+4~-

C）2

（片一月）+空屋

D）2

參考答案：B

4（10.0分）

已知向量組Q,6,缶,q線性無(wú)關(guān)，則下列說(shuō)法正確的是（）

q+6,6+q線性無(wú)關(guān)

A）

]8）1一6,名一%,%-10-1線性無(wú)關(guān)！

C）[+%，烏+色，生+[，1一]線性無(wú)關(guān)；

D）Q+仔，5+色，醫(yī)一%,q-q線性無(wú)關(guān)，

參考答案：C

5（10.0分）

向量組q,5,…，1線性無(wú)關(guān)的充分條件是（）

A）1,藥,…，與均不為零向量

B）q，6,…，區(qū)中任意兩個(gè)向量的分量不成比例

q,6,…,4中任意一個(gè)向量都不能用其余r-1個(gè)向量線性表示

D）q,6,…,q中有一部分向量線性無(wú)關(guān)，

參考答案：C

6（10.0分）

〃維向量組q，G，…，4（3Wr=〃）線性無(wú)關(guān)的充要條件是（）

A）存在一組不全為零的數(shù)月,用,…,兒，使得用4+用6+-+kray*0

B）Q,6,…中存在一個(gè)向量，它不能用其余向量線性表示

C）q,與,…，珥中任意兩個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)

D）Q，烏,…，珥中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示

參考答案：D

7（10.0分）設(shè)A是m*n階矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b所對(duì)應(yīng)的齊次

線性方程組，則下列結(jié)論正確的是（）

A）若Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解

B）若Ax=0有非零解，則Ax=b有無(wú)窮多個(gè)解

C）若Ax=b有無(wú)窮多個(gè)解，則Ax=0僅有零解

D）若人*巾有無(wú)窮多個(gè)解，則Ax=0有非零解

參考答案：D

8（10.0分）關(guān)于最大無(wú)關(guān)組，下列說(shuō)法正確的是（）。

A）秩相同的向量組一定是等價(jià)向量組

B）一個(gè)向量組的最大無(wú)關(guān)組是唯一的

C）向量組與其最大無(wú)關(guān)組是等價(jià)的

D）如果向量組所含向量的個(gè)數(shù)大于它的秩，則該向量組線性無(wú)關(guān)

參考答案：C

9（10.0分）對(duì)于線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）。

A）所含向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)的向量組一定線性相關(guān)

B）如果一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，則該向量組中一定不包含零向量

C）如果一個(gè)向量組線性相關(guān)，則至少存在一個(gè)向量可以由其它向量線性表示

D）如果n階方陣的行列式為零，則該矩陣的列向量組一定線性無(wú)關(guān)

參考答案：D

10(10.0分)設(shè)A是m*n階矩陣，齊次線性方程組Ax=0僅有零解的充要條件是

()

A)A的列向量線性無(wú)關(guān)

B)A的列向量線性相關(guān)

C)A的行向量線性無(wú)關(guān)

D)A的行向量線性相關(guān)

參考答案：A

《線性代數(shù)(理)》課程綜合復(fù)習(xí)資料

一、單選題

病4-Xj=0

<Aij+Xj=0

1.齊次方程組1玉+"0=°有非零解的充分必要條件為()O

A.大=-1

B.行-1

C.4=0

D.4,0

答案：A

「1111、

0222

2.矩陣I。00°)的秩為()。

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

3.假設(shè)/，電滿足線性方程組〃x=b,Sx°),則下列說(shuō)法正確的是()0

A.7+%仍然滿足〃x=b

B.%+%滿足Nr=0

C./一%滿足Zx=b

D./一班滿足出=0

答案：D

000、

2200

A=

3330

4.設(shè)I4444Z則下列說(shuō)法正確的是（）。

A.4為可逆矩陣

B./為不可逆矩陣

C./為正交矩陣

D.Z為對(duì)稱(chēng)矩陣

答案：A

5.設(shè)/為〃階可逆方陣，則下列說(shuō)法不正確的是（）o

/射|=2-卜|

B.M=2|H

產(chǎn)5

D.團(tuán)=陽(yáng)（/表示幺的轉(zhuǎn)置）

答案：B

6.要使非齊次方程組100白一2人到S-3J有無(wú)窮多個(gè)解，必須（）。

Aa=2,b=3

Ba=2,b*3

Ca#2,b=3

D。工2,b,3

答案：A

A.%

B.%，,

C.—

D.—4

答案：C

rl01)

01

8.非齊次方程組100

的解可表示為（）。

任意的

B.,任意的左eA。

c.lxJId,任意的七七及。

D.桿）任意的無(wú)《及，

答案：B

9.設(shè)幺為mx”階矩陣，則線性方程組Zx=b有解的充分必要條件為（）。下

面衣（4\R（4b）分別表示矩陣/,增廣矩陣（4b）的秩。

A.R（?）=m

B,及（，）=n

C,及（4＞方）=加

D.衣（43=衣（，）

答案:D

10.設(shè)/是〃階可逆矩陣，/是伴隨矩陣，則下列等式成立的是Oo

A不同

》「=同

M卜⑷

答案：B

11.設(shè)43為〃階可逆方陣，則下列等式對(duì)任意"都成立的是（）o下面的

/，/分別表示N的伴隨矩陣，轉(zhuǎn)置矩陣。

A.M=W

B」8

c.AB=BA

D（JB）-*=TB-I

答案：B

12.設(shè)d為3階方陣，且秩為2,另外%，.為4=b的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，

則/x=b的通解（即所有解）為（）。

A.，+可%—%）,任意的七￡及：

B.無(wú)，+（%一%）,任意的左€及

C，+3，任意的“火。

D《‘+如，任意的Aw區(qū)與eK

答案：A

13.設(shè)向量組,，/，%線性無(wú)關(guān)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）o

A.，，心線性無(wú)關(guān)

B.%必定不能由生，%線性表示

C.若匕％+3?+&%=°,則必有左=抬=自=°

D.%，生，％三者中必有一個(gè)可以通過(guò)另外兩個(gè)線性表示

答案：D

14.設(shè)3階方陣/的特征多項(xiàng)式為陞一H=a+4x41）,則⑷=（）。

A.-4

B.-16

C.4

D.16

答案：C

15.若/為曾階方陣，且H=°,則下列說(shuō)法正確的是（）o

A./必有一列（或一行）元素全為零

B.Z必有兩列（或兩行）元素對(duì)應(yīng)成比例

C.4的任一列向量都可由其余列向量線性表示

D.41口必有一個(gè)列向量可由其余列向量線性表示

答案：D

二、填空題

?%%

%%%

2.行列式.i%63中元素41的代數(shù)余子式為（）。

答案：022aH一%，3

Jtq+Xj+必=0

-4+5+4=0

3.若齊次方程組l玉+4+%=°有非零解，則止=Oo

答案：k=l

/=|6bbI

4.設(shè)矩陣cccj則矩陣Z/f的主對(duì)角線上的元素之和為（）。

答案：3（黯+〃+/）

1

2戶.無(wú)

5.若向量（2）與正交（即二者內(nèi)積為零），則無(wú)=（）。

答案:上=-2

4A

44

44

若

6.

8

答案

7.設(shè)

答案：

’10

011%=o

8.齊次方程組1000A^J⑼的通解

（即所有解）可表示為o。

答案：ML-Li）'任意的iter

23、

13

I引是矩陣（33

9.若6）的一個(gè)特征向量，則與；對(duì)應(yīng)的特征值a為

()O

答案：2=9

12-2

21-1=0

10.若3TA,則為=()。

答案：兄=4

4%4+■43%

4A瓦+k唐g=

H.若。G則G+G%匕()o

答案：&

T、

%=0%=0

12.向量I$J用0線性表示的表達(dá)式為￡=

()O

答案：尸=_2al+獨(dú)

abc

cab-

13.bc。()o

答案：〃+〃+。3-3阪

14.2階方陣12刃的逆矩陣為=()。

答案：I—；I1)J

15.設(shè)3階方陣/的3個(gè)特征值為-3,工5,則.|=()。

答案：-3。

三、計(jì)算題

(200、

03-1

3求/的特征值及與特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。

1.設(shè)1°-1),

2-200

\AE-A\=0A-31=(2_2尸("4)

答案:01A-3

所以，特征值為4=22,4

96

(A￡-^)r=0

2=2時(shí)，1°

其解即對(duì)應(yīng)的特征向量為

，1、

40+&

A任意的及，與6A且=與工°

9、

(檢一d)x==0

。，其解即對(duì)應(yīng)的特征向量為

2=4時(shí),

k1

任意的AWA且左KO

’120、

4=210

2.已知矩陣1°06>

（1）求義的特征值;

（2）求與最小特征值對(duì)應(yīng)的全部特征向量。

A-1-20

\AE-A\=-2A-l0=(2—6X4—3X4+1)

答案:00A-6

所以，（1）Z的特征值為一L3,6

(2)最小特征值為a=-i,其對(duì)應(yīng)的特征向量滿足方程組

-20

-2-20Xj=0

i00-7

-1

S,

整理,得用=0,耳+5=0,因此，其一組基礎(chǔ)解系為

k-1

要求的全部特征向量為1°4對(duì)任意的左￡龍，且女工0

一/+49+5=3

%+3%+毛=6

｛3匕+2匕+”,=b討論：

(1)區(qū)5在什么情況下方程組無(wú)解？

(2)wb在什么情況下方程組有唯一解？

(3)wb在什么情況下方程組有無(wú)窮多解？

答案：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換化為行階梯型

'-1413、'-1413、'-14

2與

1316—>0729->0729

、32…e、014。+3b+9.Jo1b—

由此得

(1)a=Lb*9時(shí)方程組無(wú)解;

(2)a#l時(shí)方程組有唯一解;

(3)"=L臺(tái)=9時(shí)方程組有無(wú)窮多解。

’201

A=040

4.已知矩陣Jo2

(1)求Z的特征值;

(2)求與最小特征值對(duì)應(yīng)的全部特征向量。

A-20-1

\AE-A\=0A-40=U-iXA-3X>l-4)

答案：-10A-2

所以，(1)Z的特征值為13,4

(2)最小特征值為2=1,其對(duì)應(yīng)的特征向量滿足方程組

0

整理，得小二°，%+必=0,因此，其一組基礎(chǔ)解系為

k0

要求的全部特征向量為任意的丘天

(1-11、

A=-1

5.求矩陣的逆矩陣dl

答案：用初等行變換方法

100、

(")=00

00

1-11

-100)

020f0

00

00

11

0

22

0

22

1.

0

2

0、

0

2

Ax-23

6.討論：。取何值時(shí)非齊次方程組a

(1)無(wú)解;

(2)有唯一解；

(3)有無(wú)窮多解。

‘1211、

(4垃=23a+23

答案：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換[1Q-2°>

21]、

-1a]

0(a+lXa-3)

所以，(1)4=一1時(shí)無(wú)解

(2)々H-1時(shí)有唯一解

(3)。=3時(shí)有無(wú)窮多解

‘001、

A-21-2

7.已知U0求d的特征值及與特征值對(duì)應(yīng)的全部特征向量。

20-1

\XE-j\=-2A-12

答案：-I0A=(2+lX2-l)2

所以矩陣的特征值為4=-L1

(AE-A)x=

對(duì)應(yīng)的非零解即特征向量為

，任意的總與€及且二與工°

，-106

(A￡-^)r=-2-2o

4=-1時(shí)，I°

a,對(duì)應(yīng)的非零解即特征向量

為

k2

任意的AwA且上w0

w勺0、(-2、(11)

7-19

[烏=]

5

8.已知向量組

（1）求向量組的秩；

（2）求向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。

110ir1010-211、

179-3-31-2

5-93000

答案:3-21700°)

所以，（1）向量組的秩為2

（2）向量組中任意兩個(gè)都是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組

040

2222

D=

00-1

9.求行列式53-22的值。

答案：利用性質(zhì)化為3階行列式

040040

2222%一駕°2-622-62

D=

010-1^-5500—10-1

53-203-2223-222=-58

00、

A—200

10.設(shè)2試求4及7?。

答案:

’00000、「00

2000000

20020

、。0」36

00000、r000、

20000000

20000」

下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

?A）

若n階線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣行列式川#0,則該方程組存在唯一

解；

?B）

若n階線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣行列式川W0,則該方程組只有零

解；

?0

一個(gè)行列式交換兩列，行列式值不變；

?D）

若一個(gè)行列式的一列全為零，則該行列式的值為零

參考答案：C

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解析：

無(wú)

2（10.0分）

-o-o-

下面論斷錯(cuò)誤的是（）。

?A）

若干個(gè)初等陣的乘積必是可逆陣

?B)

可逆陣之和未必是可逆陣

?0

兩個(gè)初等陣的乘積仍是初等陣

?D）

可逆陣必是有限個(gè)初等陣的乘積

參考答案：C

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解析：

無(wú)

3（10.0分）

-o-o-

出十41110

,p=010

42“33_001

則下列等式正確的是（）

?A)

PA=B

?B)

AP=B

?0

PB=A

?D)

BP=A

參考答案：B

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解析：

無(wú)

4(10.0分)

|~0-0

設(shè)矩陣A=(aij)mxn的秩為r,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

?A)

矩陣A存在一個(gè)階子式不等于零；

?B)

矩陣A的所有r1階子式全等于零

?C)

矩陣A存在r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)

?D)

矩陣A存在m-r個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)

參考答案：D

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解析：

無(wú)

3（10.0分）

|~o'o-

設(shè)n階實(shí)方陣A,B,C滿足關(guān)系式ABC=E,其中E為n階單位矩陣，則下列關(guān)系

式成立的是（）

?A）

ACB=E

?B）

CBA=E

?0

BAC=E

?D）

BCA=E

參考答案：D

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解析：

無(wú)

6（10.0分）

-o-o-

設(shè)A是m*n階矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r,矩陣B=AC的秩為

t,則下列結(jié)論成立的是（）

?A)

r>t

?B)

r<=div=>

?)c

r=t

?)D

r與t的關(guān)系不定

參考答案：C

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解析：

無(wú)

1(10.0^)

|~0-0

設(shè)A和B皆為n階方陣，則下面論斷錯(cuò)誤的是()。

?A)

A與B等價(jià)的充要條件是rank(A)=rank(B)

?)B

若A與B等價(jià)，則|A|=|B|

?C)

A與B等價(jià)的充要條件是存在可逆陣P、Q，使A=PBQ

?D)

A可逆的充要條件是A等價(jià)于E?

參考答案：B

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解析：

無(wú)

8（10.0分）

I~io-o

對(duì)n階實(shí)矩陣A和非零常數(shù)k,下列等式中正確的是（

?A）

|kA|=knA

?B）

|kA|=k"|A|

?C）

|kA|=k|A|

?D）

|kA|=kA

參考答案：B

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解析：

無(wú)

9（10.0分）

|~o-6

設(shè)A和B皆為n階實(shí)方陣，則下面論斷錯(cuò)誤的是（）。

?A）

A與B相似的充要條件是存在可逆陣P,使得A=P'BP

?B）

若A是反對(duì)稱(chēng)矩陣，則A『=-A

?0

若A可逆，則A可以表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積

?D）

若A是正交矩陣，則IAKL

參考答案：D

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解析：

無(wú)

10（10.0分）

|~o'o-

設(shè)A為3階矩陣且行列式|A|=0,則下列說(shuō)法正確的是（）

?A)

矩陣A中必有一列元素等于0

?B)

矩陣A中必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例

?0

矩陣A中必有一列向量是其余列向量的線性組合

?D)

矩陣A中任一列向量是其余列向量的線性組合

參考答案：C

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解析：

無(wú)

《線性代數(shù)(理)》課程綜合復(fù)習(xí)資料

一、填空題

44q+4

1、已知行列式外

c2+b2

4C3+4

2、2階方陣A=的逆矩陣為A-1=

一23J

3、設(shè)Q]用?，。2，。3線性表示的表達(dá)式為

a-

,12())

4、已知A=0

32,齊次方程組Ar=0有非零解，貝”=

(20t

'aaa

，則矩陣AA'的主對(duì)角線上的元素之和為.

5、設(shè)矩陣A=Bbb

6、若向量正交(即二者內(nèi)積為零)，則k=

x-100

0x-10

8、行列式的第4行第3列元素C的代數(shù)余子式A?=_______

00x-1

abed

9、若芻，多是線性方程組/5=匕的兩個(gè)解，則4。+$)=

10%、9、

10、齊次方程組011%20的通解(即所有解)可表示為.

000m

2八

11、若向量1與線性相關(guān)，貝!]/=

V6)

123、

12、若1是矩陣213的一個(gè)特征向量，則與J對(duì)應(yīng)的特征值4

2336>

為.

二、選擇題

(

111、%1、

1、要使非齊次方程組011*21有無(wú)窮多個(gè)解，必須

ci—2,

、00%37

A.〃=2,b=3

B.a=2,b豐3

C.。w2,b=3

D.a豐2,Z?w3

2、假設(shè)皆為〃階可逆方陣，則下列式子不成立的是.

A.(AB)-1=B[A1B.=A''B'

c.|AB|=|聞卸D.|AB|^0

3、設(shè)4階方陣A的秩為3,則下列說(shuō)法正確的是；

A.A的所有3階子式都為零B.A的所有3階子式都不為零

c.|A|wOD.|A|=0,但至少有一

個(gè)3階子式不為零

4、設(shè)3維向量組線性相關(guān)，則下列說(shuō)法不正確的是

A.其中的任意兩個(gè)向量都線性相關(guān)

B.對(duì)于任意一個(gè)3維向量/，向量組夕,名,。2，。3必線性相關(guān)

C.%,。2，23中必有一個(gè)向量可以用其余兩個(gè)線性表示

D.存在不全為零的匕，左2,左3，使得占4+k2a2+%3a3=0

(101A

1二=1的解可表示為

5、非齊次方程組01

、001°>

6、〃階方陣A與某對(duì)角矩陣相似的充分必要條件為。

A.A有〃個(gè)不同的特征值B.4有〃個(gè)不同的特征向量

C.A有〃個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量D.|A|wO

7、設(shè)A3為同階方陣，則必有一；

A.|A+B|=|A|+|B|B.AB=BA

C.|.|=阿忸|

D.(A+By1=A-'+B-l

8、若A為〃階方陣，且|A|wO,則非齊次方程組Ax=人的解的情況為.

A.無(wú)解B.不能斷定有解C.有唯一解

D.有無(wú)窮多個(gè)解

’1111、

9、矩陣2222的秩為―；

、3333,

A.1B.2C.3

D.4

10、設(shè)A是〃階方陣，則它的〃個(gè)列向量名,。2,…，%線性無(wú)關(guān)的充分必要條件

為一；

A.列向量組中任何一個(gè)向量都不能由其余的〃一1個(gè)向量線性表示

B.%均不為零向量

C.列向量組中任何兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量不成比例

D.|A|=O

11、設(shè)A是〃階方陣，且秩為〃，則下列說(shuō)法不正確的是—；

A.齊次方程組Ax=()只有零解B.非齊次方程組/民=方

有唯一解

C.同。0D.A的幾個(gè)列向量線性相關(guān)

12、〃階方陣A可對(duì)角化(即與某對(duì)角矩陣相似)的充分必要條件為—；

A.A有〃個(gè)不同的特征向量B.A有〃個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

C.A有〃個(gè)特征值D.A可逆

三、計(jì)算題

1、計(jì)算行列式。

-4

2、已知A=1

、3

(1)求砥,心2；(2)給出分別與J”對(duì)應(yīng)的特征值4,4；

111

3、已知A=121求矩陣X,使得A(E+X)=E；

13

1\T\

4、已知向量組名

-1，^3=3

1177

(1)求向量組的秩;

（2）求向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用這個(gè)最大無(wú)關(guān)組線性表示;

’200、

5、設(shè)A=12-1,求A的特征值及與特征值對(duì)應(yīng)的特征向量；

J（）1,

%+/+3=1

6、當(dāng)人取何值時(shí)，非齊次方程組《百+5+七=1

例+/+七=1

（1）無(wú)解；（2）有唯一解；（3）有無(wú)窮多解。

A100

0/110

7、計(jì)算行列式。=；

00A1

1004

fl2^|（aby

8、已知矩陣4=與3=可交換，即AB=B4,求a,b；

u-v（32）

’11-1、

9、已知A=011,且滿足A1+AX-E=O,（1）求AT：（2）求矩陣

、00-1,

X；

‘1-13-2、

1-32-6

10、已知矩陣人=,（1）求A的秩；（2）求A的列向量組的

15-110

、3142,

一個(gè)最大無(wú)關(guān)組；

'20（）、

11、已知矩陣4=03：L,（1）求A的特征值；（2）求與最大特征值對(duì)應(yīng)的

、01：

特征向量；

X-2X2+x3=2

、取何值時(shí)線性方程組2

12/I<X,+X2-2X3=A有解？并在有解時(shí)求出通解（即

—2%1+%2+X3=-2

所有解）的表達(dá)式。

綜合復(fù)習(xí)資料參考答案

一、填空題

5、3(?2+b2+c2)

6、&=一27、88、X29、2b10、左(1,—1,1)T11、t—212>/I=9

二、選擇題

題號(hào)123456789101112

答案ABDABCCCAADB

三、計(jì)算題

2411241

—3—1

43-110—5—3

1、解：D=24=_20

0024002

13

0013001

(一10、，-2、

2、解：⑴鰭=2砥=1

(2)鰭=一2。，4=一2

A^=$,/.4=1

3、解：X=A-'-E

/5,1)

100—1—

(111100、22

(A,E)=121010-010—110

J13001,_1

0010-

I22J

32、

—1

22

所以X=A-1-E=—100

0

~2-2

7

111、1111、

4、解:1—13—1T0-22-2

11000-27

所以，向量組的秩為3

%,。2，二4為其一個(gè)最大無(wú)關(guān)組

q11、1020、

繼續(xù)初等行變換得i—1301—10

,1117000b

由此，a3=2a1-a2

4—2o0

5、解：plE_A|=—1"21=(2-2)2(2-l)

—10A—1

所以特征值為4=1,2

—100、%、0、

4=1時(shí)，(/IE—A)x=—1—11X20,其非零解即對(duì)應(yīng)的特征向量

—100,X3>(),

為

k1

J

00、‘希、0、

2=2時(shí)，（丸七一A）x=01x20,其非零解即對(duì)應(yīng)的特征向量為

01人芻）I。）

、

11k1、11k1

6>解：(A,Z?)=1k11T0k—\\-k0

i-k1

k11V0\—k\—k7

11k1、

0k\—k0

00(一)(2+%)1—k,

所以,左=一2時(shí)無(wú)解

krl,k羊—2時(shí)有唯一解

A=1時(shí)有無(wú)窮多個(gè)解

7、解：利用性質(zhì)進(jìn)行行變換后再展開(kāi)，化為3階行列式

A100010-A2

10-A2

0A100410

D=A10=A4-1

0021()0A1

021

004I004

'a+6"4、

8、解:AB=

.ci—3b—2.

(a+b2a-by

BA

I54J

比較，得。一3=5,人一2=4,所以。=8,b=6

1—1100>

9、解:(1)(A,E)=011010

,00—100L

1001一2、

T010011

00100

(\-2、

所以，A-101i

00

、

r0-2—1

(2)X=A-i—A=000

0007

'1-13-2-13-2、

1-32—60-2—1—4

10解A

15-11006-412

31427、04—58,

r1—13-2

0-2-1—4

f

0010

、00007

所以,(1)A的秩為3；

(2)第1,2,3歹！I(或第1,3,4列)為列向量組的?個(gè)最大無(wú)關(guān)組;

4-200

11、解：4石一川=0A-3-2=(2-1)(2-2)(2-4)

0—12—2

所以，(1)A的特征值為1,2,4

200、*、’0、

(2)最大特征值4=4時(shí)，(2E—4)x=01-2x20

0—127

’0

其非零解即對(duì)應(yīng)的特征向量為k2

7

-214、-214、

12、解:(A,b)=11-203-3

「211-2>、()-332%-2,

(\-212、

01-2(2-1)

(°00(24-2)(71-1)?

所以，2=1,4=一2時(shí)有解

-1|A(2Z+1)

10

繼續(xù)變換，有（A,份―01-1—/1(/1—1)

000(A+2)(2-l)

口0-1P

所以，幾=1時(shí)，（A/）-01-10,

000,

T個(gè)

解為x2=k1+0

J⑼

’10-12、

A=—2時(shí)，(A,Z?)f01-12

、()00°,

「百、T匕、

解為x2=k1+2

《線性代數(shù)(理)》綜合復(fù)習(xí)資料

一、填空題

%仄2。]b[

1、已知行列式外瓦C+b2=()0

2=4,則2a2b2

。34。32a3&C3+4

(1

2、2階方陣A=

(2

個(gè)

3、6Z1—■0,a,=用a,。2,。3線性表示的表達(dá)式為

CC=()°

0001

4、行列式0020

Z_x_)O

3000

0400

5、設(shè)|A|=:p\B\=2,37表示8的轉(zhuǎn)置，貝"B'AT=()。

rl20、

6、已知A=032,齊次方程組Ar=0有非零解，則/=()?

、20D

c

qh\4a}2b}-c}c]

7、若則=()0

a2%c2=1,4a22b2-c2c2

4。3

?3462b3-c3c*3

X-100

0XT0

8、行列式的第4行第3列元濤3的代數(shù)余子式43=()0

00X-1

abcd

9、若芻，&2是線性方程組Ax=b的兩個(gè)解，則A?+^)=()。

C