劃艇比賽成績(jī)的模型

2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型1首先我們一起來(lái)欣賞一組圖片

單人艇比賽過(guò)程圖12024/2/22.5數(shù)學(xué)模型2單人艇比賽過(guò)程圖22024/2/22.5數(shù)學(xué)模型3雙人艇比賽過(guò)程圖32024/2/22.5數(shù)學(xué)模型4雙人艇比賽過(guò)程圖42024/2/22.5數(shù)學(xué)模型5四人艇比賽過(guò)程圖52024/2/22.5數(shù)學(xué)模型6八人艇比賽過(guò)程圖6返回2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型72.5劃艇比賽的成績(jī)

賽艇是一種靠槳手前進(jìn)的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種.各種艇雖大小不同，但形狀相似.T.A.McMahon比較了各種賽艇1964—1970年四次2000m比賽的最好成績(jī)(包括1964年和1968年的兩次奧運(yùn)會(huì)和兩次世界錦標(biāo)賽)，見(jiàn)表5第1至6列，發(fā)現(xiàn)它們之間有相當(dāng)一致的差別，他認(rèn)為比賽成績(jī)與槳手?jǐn)?shù)量之間存在著某種聯(lián)系，于是建立了一個(gè)模型來(lái)解釋這種關(guān)系.2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型8表5各種艇的比賽成績(jī)和規(guī)格

艇種2000m成績(jī)t(min)艇長(zhǎng)l(m)艇寬b(m)l/b艇重w0(kg)槳手?jǐn)?shù)n1234平均單人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7返回2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型9問(wèn)題的提出由于各種艇雖大小不同，但形狀相似。比較各種賽艇1964—1970年四次2000m比賽的最好成績(jī)，發(fā)現(xiàn)它們之間有相當(dāng)一致的差別。提出：比賽成績(jī)與槳手?jǐn)?shù)量之間存在著某種聯(lián)系？？？（到底什么聯(lián)系呢？）2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型10問(wèn)題分析賽艇前進(jìn)時(shí)受到的阻力主要是艇浸沒(méi)部分與水之間的摩擦力.艇靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前進(jìn)槳手越多劃艇前進(jìn)的動(dòng)力越大。但是艇和槳手總重量的增加會(huì)使艇浸沒(méi)面積加大，于是阻力加大，增加的阻力將抵消一部分增加的動(dòng)力.建模目的是尋求槳手?jǐn)?shù)量與比賽成績(jī)(航行一定距離所需時(shí)間)之間的數(shù)量規(guī)律.

如果假設(shè)艇速在整個(gè)賽程中保持不變，那么只需構(gòu)造一個(gè)靜態(tài)模型，使問(wèn)題簡(jiǎn)化為建立槳手?jǐn)?shù)量與艇速之間的關(guān)系．注意到在實(shí)際比賽中槳手在極短的時(shí)間內(nèi)使艇加速到最大速度，然后把這個(gè)速度保持到終點(diǎn)，那么上述假設(shè)也是合理的.2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型11問(wèn)題分析

前進(jìn)阻力~浸沒(méi)部分與水的摩擦力

前進(jìn)動(dòng)力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定劃漿功率

賽艇速度賽艇速度前進(jìn)動(dòng)力前進(jìn)阻力漿手?jǐn)?shù)量艇重浸沒(méi)面積

對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定

運(yùn)用合適的物理定律建立模型2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型12我們進(jìn)一步分析為了分析所受阻力的情況，調(diào)查了各種艇的幾何尺寸和重量，表5第7至10列給出了這些數(shù)據(jù).可以看出，槳手?jǐn)?shù)n增加時(shí)，艇的尺寸l,b及艇重w0都隨之增加，但比值l/b和w0/n變化不大．若假定l/b是常數(shù)，即各種艇的形狀一樣，則可得到艇浸沒(méi)面積與排水體積之間的關(guān)系.若假定w0/n是常數(shù)，則可得到艇和槳手的總重量與槳手?jǐn)?shù)之間的關(guān)系.此外還需對(duì)槳手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關(guān)系等方面作出簡(jiǎn)化且合理的假定，才能運(yùn)用合適的物理定律建立需要的模型.2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型13模型假設(shè)1.各種艇的幾何形狀相同，l/b為常數(shù)；艇重w0與槳手?jǐn)?shù)n成正比.這是艇的靜態(tài)特性.2.艇速v是常數(shù)，前進(jìn)時(shí)受的阻力f與sv2成正比(s是艇浸沒(méi)部分面積).這是艇的動(dòng)態(tài)特性.3.所有槳手的體重都相同，記作w;在比賽中每個(gè)槳手的劃槳功率p保持不變，且p與w成正比．返回2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型14模型假設(shè)分析假設(shè)1是根據(jù)所給數(shù)據(jù)作出的必要且合理的簡(jiǎn)化.根據(jù)物理學(xué)的知識(shí)，運(yùn)動(dòng)速度中等大小的物體所受阻力f符合假設(shè)2中f與sv2成正比的情況.假設(shè)3中w,p為常數(shù)屬于必要的簡(jiǎn)化，而p與w成正比可解釋為：p與肌肉體積、肺的體積成正比，對(duì)于身材勻稱(chēng)的運(yùn)動(dòng)員，肌肉、肺的體積與體重w成正比.2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型15模型構(gòu)成·有n名槳手的艇的總功率np與阻力f和速度v的乘積成正比，即np∝fv(1)由假設(shè)2,3，f∝sv2,p∝w代人(1)式可得v∝(n/s)1/3(2)由假設(shè)1，各種艇幾何形狀相同，若艇浸沒(méi)面積s與艇的某特征尺寸c的平方成正比(s∝c2)，則艇排水體積A必與c的立方成正比(A∝c3)，于是有s∝A2/3

(3)2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型16模型構(gòu)成又根據(jù)艇重w0與槳手?jǐn)?shù)n成正比，所以艇和槳手的總重量w'=w0+nw也與n成正比，即w'∝n(4)而由阿基米德定律，艇排水體積A與總重量w'成正比，即A∝w'(5)(3),(4),(5)式給出s∝n2/3(6)將（6）代入（2）式，當(dāng)w是常數(shù)時(shí)得到v∝n1/9（7）因?yàn)楸荣惓煽?jī)t（時(shí)間0與）v成反比，所以t∝n-1/9(8)(8)式就是根據(jù)模型假設(shè)和幾條物理規(guī)律得到的各種艇的比賽成績(jī)與漿手?jǐn)?shù)之間的關(guān)系2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型17模型檢驗(yàn)為了用表5中各種艇的平均成績(jī)檢驗(yàn)(8)式，設(shè)t與n的關(guān)系為t=αnβ

(

9)其中α,β為待定常數(shù)．由(9)式logt=α'+βlogn(10)利用最小二乘法根據(jù)所給數(shù)據(jù)擬合上式(只有4個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，故比較粗糙)，得到t=7.21n?0.111

（11)可以看出(8)式與這個(gè)結(jié)果吻合得相當(dāng)好．2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型18評(píng)注這個(gè)模型建立在一些不太精細(xì)的假設(shè)的基礎(chǔ)上,因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心各種艇之間的相對(duì)速度,所以數(shù)學(xué)工具只用到比例方法.用這種方法建模雖然不能得到關(guān)于艇速的完整的表達(dá)式,但是對(duì)于我們的建模目的來(lái)說(shuō)已經(jīng)足夠了.最后的結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得如此之好,恐怕有很大巧合的成分.2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型19附錄新華網(wǎng)雅典(2004年)８月２２日體育專(zhuān)電第二十八屆奧運(yùn)會(huì)賽艇比賽２２日結(jié)束，共決出了１４枚金牌。決賽成績(jī)公報(bào)和獎(jiǎng)牌統(tǒng)計(jì)如下：男子單人雙槳第一名：奧·蒂夫特（挪威），６分４９秒３０第二名：尤·簡(jiǎn)森（愛(ài)沙尼亞），６分５１秒４２第三名：伊·亞納科夫（保加利亞），６分５２秒８０男子雙人單槳無(wú)舵手第一名：德·吉恩／詹·湯姆金斯（澳大利亞），６分３０秒７６第二名：西·斯凱林／尼·斯凱林（克羅地亞），６分３２秒６４第三名：多·謝茨／拉·布萊格沃特（南非），６分３３秒４０男子雙人雙槳第一名：阿·哈迪/塞·維埃耶當(dāng)（法國(guó)），６分２９秒００第二名：盧·斯皮克／伊·喬普（斯洛文尼亞），６分３１秒７２第三名：羅·加爾塔羅薩／阿·薩爾多里（意大利），６分３２秒９３男子輕量級(jí)雙人雙槳第一名：湯·庫(kù)恰爾斯基／羅·西茨（波蘭），６分２０秒９３第二名：帕·圖龍／弗·迪富爾（法國(guó)），６分２１秒４６第三名：瓦·玻利梅羅／尼·斯克亞蒂斯（希臘），６分２３秒２３2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型20附錄二男子四人單槳無(wú)舵手第一名：英國(guó)隊(duì)，６分６秒９８第二名：加拿大隊(duì)，６分７秒０６第三名：意大利隊(duì)，６分１０秒４１男子四人雙槳有舵手第一名：俄羅斯隊(duì)，５分５６秒８５第二名：捷克隊(duì)，５分５７秒４３第三名：烏克蘭隊(duì)，５分５８秒８７男子輕量級(jí)４人單槳第一名：丹麥隊(duì)，６分１秒３９第二名：澳大利亞隊(duì)，６分２秒７９第三名：意大利隊(duì)，６分３秒７４男子８人單槳有舵手第一名：美國(guó)隊(duì)，５分４２秒４８第二名：荷蘭隊(duì)，５分４３秒７５第三名：澳大利亞隊(duì)，５分４５秒３８2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型21思考！

對(duì)于8人有舵手賽艇建立t與n的關(guān)系(艇上有n+1個(gè)人但劃船的是n人,n=8).2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型22顯然，運(yùn)動(dòng)員體重越大，他能舉起的重量也越大，但舉重成績(jī)和運(yùn)動(dòng)員體重到底是怎樣關(guān)系的，不同量級(jí)運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)又如何比較優(yōu)劣呢？運(yùn)動(dòng)成績(jī)是包括生理?xiàng)l件、心理因素等等眾多相關(guān)因素共同作用的結(jié)果，要建立精確的模型至少現(xiàn)在還無(wú)法辦到。但我們擁有大量的比賽成績(jī)紀(jì)錄，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨以下表中的數(shù)據(jù)為例，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立一些經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。思考（舉重成績(jī)的比較）舉重是一種一般人都能看懂的運(yùn)動(dòng)，它共分九個(gè)重量級(jí)，有兩種主要的比賽方法：抓舉和挺舉。表中給出了到1977年底為止九個(gè)重量級(jí)的世界紀(jì)錄。2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型23255200110以上237.518511022118090207.517082.5195157.575180141.567.5161.513060151120.55614110952挺舉（公斤）抓舉（公斤）成績(jī)重量級(jí)（上限體重）2024/2/22.5數(shù)學(xué)模型24謝謝！

擬合所謂擬合是指已知某函數(shù)的若干離散函數(shù)值{f1,f2,…,fn}，通過(guò)調(diào)整該函數(shù)中若干待定系數(shù)f(λ1,λ2,…,λn)，使得該函數(shù)與已知點(diǎn)集的差別(最小二乘意義)最小。如果待定函數(shù)是線(xiàn)性，就叫線(xiàn)性擬合或者線(xiàn)性回歸(主要在統(tǒng)計(jì)中)，否則叫作非線(xiàn)性擬合或者非線(xiàn)性回歸。表達(dá)式也可以是分段函數(shù)，這種情況下叫作樣條擬合。一組觀(guān)測(cè)結(jié)果的數(shù)字統(tǒng)計(jì)與相應(yīng)數(shù)值組的吻合。形象的說(shuō),擬合就是把平面上一系列的點(diǎn),用一條光滑的曲線(xiàn)連接起來(lái).因?yàn)檫@條曲線(xiàn)有無(wú)數(shù)種可能,從而有各種擬合方法.擬合的曲線(xiàn)一般可以用函數(shù)表示.根據(jù)這個(gè)函數(shù)的不同有不同的擬合名字。

在MATLAB中可以用polyfit

來(lái)擬合多項(xiàng)式。2024/2/2252024/2/22.5數(shù)學(xué)模型26Matlab程序代碼n=[1248];t=[7.2156.8786.345.835];xi=log(n);yi=log(t);b=polyfit(xi,yi,1);a=b(1);