靜電場(chǎng)-習(xí)題課

一、內(nèi)容小結(jié)1、靜電場(chǎng)與靜電勢(shì)當(dāng)電荷分布于有限區(qū)域時(shí)，通常以無窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)。泊松方程泊松方程在無界空間中的解為其中無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，積分普及電荷分布區(qū)域V。2、電勢(shì)多極展開任何一個(gè)電荷系統(tǒng)在其外部的電場(chǎng)，原那么上均可表示成一系列多極矩場(chǎng)的疊加。對(duì)于電荷系統(tǒng)在遠(yuǎn)處的場(chǎng)單極項(xiàng)

(0)有球?qū)ΨQ性，相當(dāng)于系統(tǒng)的凈電荷量q集中于坐標(biāo)原點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)。偶極項(xiàng)對(duì)稱張量電荷分布偏離球?qū)ΨQ的系統(tǒng)必定出現(xiàn)多極矩，而各級(jí)矩的電勢(shì)按距離R的負(fù)冪次衰減，高級(jí)矩的電勢(shì)比低級(jí)矩的電勢(shì)衰減更迅速。因此任何電荷系統(tǒng)在其外部的場(chǎng)，均以其最低級(jí)的場(chǎng)為主。3、靜電場(chǎng)邊值問題唯一性定理

定解條件〔1〕滿足各求解區(qū)域內(nèi)電勢(shì)〔或電場(chǎng)〕的微分方程〔2〕滿足相鄰區(qū)域的邊值關(guān)系及給定的邊界條件靜電勢(shì)方程和邊值關(guān)系(線性均勻介質(zhì)界面)有導(dǎo)體存在時(shí)，必須給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)，或給定每個(gè)導(dǎo)體所帶的凈電量。維持恒定電流的電場(chǎng)也是靜電場(chǎng)，在此情況下：4、靜電場(chǎng)邊值問題的求解方法〔1〕別離變量法①自由電荷全聚集在邊界上，方程是齊次的。②邊界應(yīng)該是簡(jiǎn)單的幾何面。(a)在直角坐標(biāo)系中(b)在柱坐標(biāo)系中Jm為m階第一類貝塞爾函數(shù)，Nm為m階第二類貝塞爾函數(shù)。如果考慮與z軸無關(guān)〔k=0〕情況，并討論的區(qū)域是02，故通解為(c)在球坐標(biāo)系中為締合勒讓德（Legendre)函數(shù)①場(chǎng)區(qū)域的電荷是點(diǎn)電荷，無限長(zhǎng)帶電直線。②導(dǎo)體或介質(zhì)的邊界面必是簡(jiǎn)單的規(guī)那么的幾何面〔球面、柱面、平面〕?！?〕鏡像法對(duì)于具有軸對(duì)稱的問題，m=0(取此軸為極軸〕，那么為勒讓德函數(shù)對(duì)于球?qū)ΨQ的問題，m=0,n=0，那么5、靜電能、外電場(chǎng)對(duì)電荷系的作用能〔1〕電荷體系的靜電能兩個(gè)體積分的積分區(qū)域不同！〔2〕外電場(chǎng)對(duì)電荷體系的作用能當(dāng)電荷分布在小區(qū)域電偶極子二、典型例題例1一無限長(zhǎng)，半徑為b的薄導(dǎo)體圓管，被分成兩半，且相互絕緣，上半圓柱面的電位

=V0，下半圓柱面的電位

=V0。試求管內(nèi)外的電位分布。解：由于假設(shè)圓管無限長(zhǎng)，故電位

為

和

的函數(shù)，與z無關(guān)。邊界條件為是

的奇函數(shù)，通解式中不應(yīng)該有余弦項(xiàng)。b

x

=V0

=V0y又電位分布的周期性在圓管內(nèi)部(

<b)，為使

=0點(diǎn)的電位保持有限值，通解中不能有

-n因子和ln

因子，即B0D0和AnDn可以由邊界條件確定。在=b處有圓管內(nèi)部的電位為在圓管外部(>b)，為使時(shí)，電位保持有限值，通解中不能有n因子和ln因子，即B0D0和BnDn可以由邊界條件確定。在=b處有圓管外部的電位為例2圓錐形導(dǎo)體電極尖端無限接近一導(dǎo)體平面〔兩者相互絕緣〕，錐軸線與平面垂直，輪廓線與軸線夾角為。忽略邊緣效應(yīng)及錐底電容，求圓錐與平面間的電容。

r0解從導(dǎo)體的形狀可推知，給出導(dǎo)體上的總電荷后，不可能由此求導(dǎo)體間的電位差及電容。以錐軸線為z軸，那么令錐面(=)上的電位為V0，平面(=/2)上的電位為零。當(dāng)忽略邊緣效應(yīng)時(shí)，電位與坐標(biāo)r和無關(guān)，僅與有關(guān)。先指定導(dǎo)體上的電位，解

2

=0，求出導(dǎo)體間的電位分布，再確定導(dǎo)體上的總電荷，從而求得電容。由邊界條件錐面上的電荷面密度錐面上的總電荷例3均勻介質(zhì)球（電容率為

1）中心置一自由電偶極子，球外充滿了另一種電容率為

2的介質(zhì)，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和極化電荷分布。zR

1

2O

解：的電場(chǎng)強(qiáng)度使兩種介質(zhì)均被極化，以介質(zhì)球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，球半徑為R0。問題具有z軸對(duì)稱。介質(zhì)球內(nèi)外兩區(qū)域電勢(shì)的定解條件為：的電勢(shì)

P是泊松方程（1）的一個(gè)特解。

是極化電荷的電勢(shì)，滿足拉普拉斯方程。由〔3〕、〔4〕及軸對(duì)稱性，得〔6〕、〔7〕代入條件〔5〕，得球心處pf外表介質(zhì)中，出現(xiàn)一個(gè)與其方向相反的極化電偶極子：因介質(zhì)球面自由電荷面密度

f=0，故得

1的第二項(xiàng)為

p產(chǎn)生的均勻場(chǎng)。

1的第一項(xiàng)為與共同產(chǎn)生的偶極場(chǎng)，總電矩為

2為、與p形成的電偶極矩共同產(chǎn)生的偶極場(chǎng)，總電矩為例4設(shè)有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內(nèi)充滿電導(dǎo)率為的液體。取該兩平面為xz和yz平面，在(x0,y0,z0)和(x0,y0,z0)兩點(diǎn)分別置正負(fù)電極并通以電流I，求導(dǎo)電液體中的電勢(shì)。(x0,y0,z0)(x0,y0,z0)yxz解：導(dǎo)電液體中電流密度連接電極的導(dǎo)線中電流密度設(shè)，分別作包圍正負(fù)電極的閉合曲面，由高斯定理求出兩電極的電荷量為平面xz、yz之外是絕緣體，故求解區(qū)域?yàn)閤>0，y>0。定解條件為對(duì)位于(x0,y0,z0)的正電極+q，分別在(

x0,y0,z0)，(x0,

y0,z0)，(

x0,

y0,z0)設(shè)置像電荷+q；對(duì)位于(x0,y0,

z0)的負(fù)電極

q，分別在(

x0,y0,

z0)，(x0,

y0,

z0)，(

x0,

y0,

z0)設(shè)置像電荷

q；在(x>0,y>0)區(qū)域中任一點(diǎn)電勢(shì)為例5證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢(shì)和電場(chǎng)的變化。（1）在面電荷兩側(cè)，電勢(shì)法向微商有躍變，而電勢(shì)是連續(xù)的；（2）在面偶極層兩側(cè)，電勢(shì)有躍變，而電勢(shì)的法向微商是連續(xù)的。（帶等量正負(fù)面電荷

而靠近的兩個(gè)面，形成面偶極層，面偶極矩密度）P2P1+

證明（1）設(shè)電荷面密度為，其兩側(cè)無限接近的P1、P2點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)分別為和。法向單位矢：應(yīng)用于包含面電荷的扁平閉合面〔底面積S與界面平行，高度h0〕,以及跨越界面的矩形小回路〔其長(zhǎng)邊l與界面平行，短邊h0，那么（2）令面偶極層的法向單位矢量，無限靠近

層外側(cè)P1點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，無限靠近+層外側(cè)P2點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為，內(nèi)部P0點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為。將環(huán)路定理應(yīng)用于跨越+和的兩個(gè)矩形小回路，那么將高斯定理分別應(yīng)用到包含+和的扁平閉合面，那么設(shè)想電場(chǎng)將單位正電荷從P1經(jīng)過P0移至P2，P1P0與P2P0距離均為l。那么P2P1+

P0例6一半徑為R0的球面，在球坐標(biāo)0<

</2的半球面上的電勢(shì)為

0，在/2

<<的半球面上電勢(shì)為

0，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。

z

0

0OR解：以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為z軸，球內(nèi)電勢(shì)為

1，球外電勢(shì)為

2，具