2024屆江蘇省常州市戚墅堰高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆江蘇省常州市戚墅堰高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1 B．3 C．4 D．62．觀察下列各式：則（）A．28B．76C．123D．1993．設(shè)集合，那么集合中滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為（）A．60 B．65 C．80 D．814．若角為三角形的一個(gè)內(nèi)角，并且，則（）A． B． C． D．5．正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，此時(shí)四面體ABCD外接球表面積為（）A． B． C． D．6．直線：，，所得到的不同直線條數(shù)是（）A．22 B．23 C．24 D．257．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A． B． C． D．8．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．9．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A． B． C． D．10．已知隨機(jī)變量，其正態(tài)分布曲線如圖所示，若向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)數(shù)估計(jì)值為（）（附：則）A．6038 B．6587 C．7028 D．753911．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，若角是第三象限角，且，則（）A． B． C． D．12．將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的取值不可能是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一次英語測(cè)驗(yàn)由50道選擇題構(gòu)成,每道題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且僅有一個(gè)是正確的,每個(gè)選對(duì)得3分,選錯(cuò)或不選均不得分,滿分150.某學(xué)生選對(duì)每一道題的概率均為0.7,則該生在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望是__________14．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則________.15．將集合的元素分成互不相交的三個(gè)子集：，其中,，，且，，則滿足條件的集合有__________個(gè)．16．已知復(fù)數(shù)z滿足，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲乙兩名選手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)的分布列分別為678910P0.160.140.420.10.18678910P0.190.240.120.280.17（I）分別求兩名選手射擊環(huán)數(shù)的期望；（II）某比賽需從二人中選一人參賽，已知對(duì)手的平均水平在7.5環(huán)左右，你認(rèn)為選誰參賽獲勝可能性更大一些？18．（12分）在中，角,,所對(duì)的邊分別是，，，已知.（1）求的值；（2）若，，，為垂足，求的長(zhǎng).19．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：．20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）已知曲線的極坐標(biāo)方程為：，點(diǎn)是曲線與的交點(diǎn)，點(diǎn)是曲線與的交點(diǎn)，且，均異于極點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．21．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，等差數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且滿足.(1)求角的大?。?2)若，的面積為，求的值..

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

令,可得,解方程,結(jié)合函數(shù)的圖象,可求出答案.【題目詳解】令,則,令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函數(shù)的圖象,如下圖,時(shí),;時(shí),;時(shí),.結(jié)合圖象,若,有3個(gè)解;若,無解;若,有1個(gè)解.所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查了函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生的推理能力,屬于中檔題.2、C【解題分析】試題分析：觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1，3，4，7，11，…，其規(guī)律為從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)的和，所求值為數(shù)列中的第十項(xiàng)．繼續(xù)寫出此數(shù)列為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十項(xiàng)為123，即考點(diǎn)：歸納推理3、D【解題分析】由題意可得，成立，需要分五種情況討論：當(dāng)時(shí)，只有一種情況，即；當(dāng)時(shí)，即，有種；當(dāng)時(shí)，即，有種；當(dāng)時(shí)，即，有種當(dāng)時(shí)，即，有種，綜合以上五種情況，則總共為：種，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了創(chuàng)新型問題，往往涉及方程，不等式，函數(shù)等，對(duì)涉及的不同內(nèi)容，先要弄清題意，看是先分類還是先步，再處理每一類或每一步，本題抓住只能取相應(yīng)的幾個(gè)整數(shù)值的特點(diǎn)進(jìn)行分類，對(duì)于涉及多個(gè)變量的排列，組合問題，要注意分類列舉方法的運(yùn)用，且要注意變量取值的檢驗(yàn)，切勿漏掉特殊情況.4、A【解題分析】分析：利用同角關(guān)系，由正切值得到正弦值與余弦值，進(jìn)而利用二倍角余弦公式得到結(jié)果.詳解：∵角為三角形的一個(gè)內(nèi)角，且，∴∴故選：A點(diǎn)睛：本題考查了同角基本關(guān)系式，考查了二倍角余弦公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】分析：三棱錐的三條側(cè)棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可.詳解：根據(jù)題意可知三棱錐的三條側(cè)棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，三棱柱中，底面，,，的外接圓的半徑為，由題意可得：球心到底面的距離為.球的半徑為.外接球的表面積為：.故選：C.點(diǎn)睛：考查空間想象能力，計(jì)算能力.三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關(guān)鍵，仔細(xì)觀察和分析題意，是解好數(shù)學(xué)題目的前提.6、B【解題分析】

根據(jù)排列知識(shí)求解，關(guān)鍵要減去重復(fù)的直線.【題目詳解】當(dāng)m,n相等時(shí)，有1種情況；當(dāng)m,n不相等時(shí)，有種情況，但重復(fù)了8條直線，因此共有條直線.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列問題，關(guān)鍵在于減去斜率相同的直線，屬于中檔題.7、B【解題分析】

函數(shù)，，令，解得x．利用三角函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)性．【題目詳解】函數(shù)，，令，解得．∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．∴時(shí)函數(shù)取得極大值即最大值．．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．求三角函數(shù)的最值問題，一般是通過兩角和差的正余弦公式將函數(shù)表達(dá)式化為一次一角一函數(shù)，或者化為熟悉的二次函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)來解決.8、B【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到判定，得出答案.【題目詳解】由題意，指數(shù)函數(shù)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，所以不正確，是正確的，又由對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，所以不正確；對(duì)數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，所以不正確，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中熟記指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

求導(dǎo)，并解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間?！绢}目詳解】，，令，得或，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故選：A?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間有以下幾種方法：（1）基本性質(zhì)法；（2）圖象法；（3）復(fù)合函數(shù)法；（4）導(dǎo)數(shù)法。同時(shí)要注意，函數(shù)同類單調(diào)區(qū)間不能合并，中間用逗號(hào)隔開。10、B【解題分析】∵隨機(jī)變量，∴，∴，∴落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為個(gè)．選B．11、A【解題分析】

由單位圓中的三角函數(shù)線可得：終邊關(guān)于軸對(duì)稱的角與角的正弦值相等，所以，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合余弦函數(shù)在第四象限的符號(hào)，求得.【題目詳解】角與角終邊關(guān)于軸對(duì)稱，且是第三象限角，所以為第四象限角，因?yàn)?，所以，又，解得：，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查單位圓中三角函數(shù)線的運(yùn)用、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查基本的運(yùn)算求解能力.12、C【解題分析】試題分析：將其向右平移個(gè)單位后得到：，若為偶函數(shù)必有：，解得：，當(dāng)時(shí)，D正確，時(shí)，B正確，當(dāng)時(shí)，A正確，綜上，C錯(cuò)誤.考點(diǎn)：1.函數(shù)的圖像變換；2.函數(shù)的奇偶性.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、105.【解題分析】分析：先判斷概率分別為二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布期望公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所以點(diǎn)睛：14、【解題分析】

先計(jì)算復(fù)數(shù)，再計(jì)算復(fù)數(shù)的模.【題目詳解】故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.15、3【解題分析】

分析：由可得，令，則，，，然后列舉出的值，從而可得結(jié)果.詳解：，所以，令，根據(jù)合理安排性，集合的最大一個(gè)元素，必定為：，則，又，，①當(dāng)時(shí)，同理可得.②當(dāng)時(shí)，同理可得或，綜上，一共有種，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查主要考查集合與元素的關(guān)系，意在考查抽象思維能力，轉(zhuǎn)化與劃歸思想，分類討論思想應(yīng)用，屬于難題.解得本題的關(guān)鍵是首項(xiàng)確定，從而得到，由此打開突破點(diǎn).16、3-i【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出．【題目詳解】解：（z﹣2）i＝1+i，則（z﹣2）i?（﹣i）＝﹣i（1+i），可得z＝2﹣i+1＝3﹣i．故答案為：3﹣i．【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).（2）甲穩(wěn)定，甲參賽獲勝可能性更大一些.【解題分析】分析：（1）根據(jù)期望和方差的公式得到數(shù)值；（2）根據(jù)第一問得到的數(shù)據(jù)，方差小的發(fā)揮穩(wěn)定一些.詳解：(1)（2）因?yàn)樗约追€(wěn)定，甲參賽獲勝可能性更大一些.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了期望和方差的計(jì)算公式，以及兩個(gè)數(shù)據(jù)在實(shí)際中的應(yīng)用，方差能夠說明數(shù)據(jù)的離散程度，期望說明數(shù)據(jù)的平均值，從選手發(fā)揮穩(wěn)定的角度來說，應(yīng)該選擇方差小的.18、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理化邊為角，再根據(jù)兩角和正弦公式化簡(jiǎn)得結(jié)果，（2）先根據(jù)余弦定理求，再利用三角形面積公式求AD.【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以因?yàn)?，所?即.因?yàn)?，所以，所?則.（2）因?yàn)?，所?.在中，由余弦定理可得，即.由，得.所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.19、（1）見解析；（2）；（3）見解析【解題分析】分析：（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間，注意在解不等式時(shí)要按的值分類討論；（2）由（1）的結(jié)論知當(dāng)時(shí)，，題中不等式成立，而當(dāng)時(shí)，題中不等式不恒成立；（3）時(shí)，由（2）知上有，從而，令，然后所有不等式相加可證．詳解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，y′＝－＝，當(dāng)a≥1時(shí)，y′≥0，所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，由y′>0得x>2，所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x)－g(x)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；(2)當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數(shù)．所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)時(shí)恒成立，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)－g(x)是上的減函數(shù)，存在，使得f(x0)－g(x0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x0)≥g(x0)＋1不成立，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．(3)當(dāng)a＝1時(shí)，由(2)得不等式f(x)>g(x)＋1在x∈(0，＋∞)時(shí)恒成立，即ln(x＋1)>，所以，即<[ln(k＋1)－lnk]．所以<(ln2－ln1)，<(ln3－ln2)，<(ln4－ln3)，…，<[ln(n＋1)－lnn]．將上面各式相加得到，＋＋＋…＋<[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n＋1)－lnn)]＝ln(n＋1)＝f(n)．∴原不等式成立．點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．在證明函數(shù)不等式時(shí)，一般要把不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．另外在函數(shù)問題出現(xiàn)與數(shù)列求和有關(guān)的不等式證明，一般是利用前面小題中的函數(shù)結(jié)論，在函數(shù)的特殊結(jié)論中令變量取特殊值后，再結(jié)合數(shù)列求和的方法進(jìn)行證明．象本題先賦值后相加．20、（1）；．（2）或．【解題分析】

（1）由曲線的參數(shù)方程為，消去參數(shù)可得,曲線的極坐標(biāo)方程為,,可得，整理可得答案.(2)由曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)是曲線與的交點(diǎn)，點(diǎn)是曲線與的交點(diǎn)，且，均異于極點(diǎn)，且，可得，，，，可得的值.【題目詳解】解：（1），（2），聯(lián)立極坐標(biāo)方程，得，，，，，或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程化為普通方程，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.21、（1），；（2）．【解題分析】分析：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2等比數(shù)列，即可求解，進(jìn)而得到；（2）由（1）可得，利用乘公比錯(cuò)位相減法，即可求解數(shù)列的和．詳解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，相減得∴數(shù)列是