江西省高安市高安中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

江西省高安市高安中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．2．某研究機構(gòu)在對具有線性相關(guān)的兩個變量和進行統(tǒng)計分析時，得到如表數(shù)據(jù)．由表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，則在這些樣本點中任取一點，該點落在回歸直線下方的概率為（）468101212356A． B． C． D．3．已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的是A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象大致為()A． B．C． D．6．“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是（）A． B． C． D．7．有五名同學(xué)站成一排拍畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的站法種數(shù)為（）A．4 B．8 C．16 D．328．已知向量，，且，則等于（）．A． B． C． D．9．已知x,y的取值如下表，從散點圖知，x,y線性相關(guān)，且y=0.6x+a，則下列說法正確的是（x1234y1.41.82.43.2A．回歸直線一定過點(2.2,2.2)B．x每增加1個單位，y就增加1個單位C．當(dāng)x=5時，y的預(yù)報值為3.7D．x每增加1個單位，y就增加0.7個單位10．已知數(shù)列滿足（，且是遞減數(shù)列，是遞增數(shù)列，則A．B．C．D．11．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A． B． C． D．12．若定義域為的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)在上的最大值為（）A．1 B． C． D．－二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．—個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，則該四面體的體積為________.14．已知函數(shù)有兩個極值點，，且，若存在滿足等式，，且函數(shù)至多有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________．15．如圖，在長方形ABCD-中，設(shè)AD=A=1，AB=2，則·等于____________16．已知向量，則向量的單位向量______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在如圖所示的幾何體中，，平面，，，，.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點O為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為：.（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）時，設(shè)直線與曲線C相交于A，B兩點，，求.19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，在定義域內(nèi)恒成立，求實數(shù)的值.20．（12分）如圖，正四棱柱的底面邊長，若與底面所成的角的正切值為．（1）求正四棱柱的體積；（2）求異面直線與所成的角的大?。?1．（12分）知數(shù)列的前項和.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)M，N分別為，上的動點，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，首先判斷函數(shù)的奇偶性，利用可判斷時函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象列不等式組可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)，則的導(dǎo)數(shù)為，因為時，，即成立，所以當(dāng)時，恒大于零，當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，又，函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，又函數(shù)的圖象性質(zhì)類似如圖，數(shù)形結(jié)合可得，不等式，或，可得或，使得成立的的取值范圍是故選：A.【題目點撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題.聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).2、A【解題分析】分析：求出樣本點的中心，求出的值，得到回歸方程得到5個點中落在回歸直線下方的有（，共2個，求出概率即可．詳解：故，解得：，

則

故5個點中落在回歸直線下方的有，共2個，

故所求概率是，

故選A．點睛：本題考查了回歸方程問題，考查概率的計算以及樣本點的中心，是一道基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性可得，距離y軸近的點，對應(yīng)的函數(shù)值較小，可得選項.【題目詳解】因為函數(shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，所以可知距離y軸近的點，對應(yīng)的函數(shù)值較?。?，且，所以，故選B.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).4、B【解題分析】分析：確定函數(shù)過定點（1，0）關(guān)于x=1對稱點，代入選項驗證即可．詳解：函數(shù)過定點（1，0），（1，0）關(guān)于x=1對稱的點還是（1，0），只有過此點．故選項B正確點睛：本題主要考查函數(shù)的對稱性和函數(shù)的圖像，屬于中檔題．5、D【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性和特殊值,借助排除法即可得出結(jié)果.【題目詳解】是奇函數(shù),是偶函數(shù)，是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,排除A選項;排除B,C選項;故選:D.【題目點撥】本題考查已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,考查函數(shù)性質(zhì),借助特殊值代入的排除法是解答本題的關(guān)鍵,難度較易.6、B【解題分析】

由題意，數(shù)表的每一行從右往左都是等差數(shù)列，且第一行公差為1,第二行公差為2,第三行公差為4,…,第2015行公差為，故第1行的從右往左第一個數(shù)為：，第2行的從右往左第一個數(shù)為：，第3行的從右往左第一個數(shù)為：，…第行的從右往左第一個數(shù)為：，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是.7、D【解題分析】

根據(jù)題意，假設(shè)有1、2、3、4、5，共5個位置，分3步進行分析：①將甲安排在3號位置；②在1、2、4、5中一個位置任選1個，安排乙，依據(jù)乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰，再安排丙；③將剩下的2名同學(xué)全排列，安排在剩下的2個位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，假設(shè)有1、2、3、4、5，共5個位置，分3步進行分析：①甲必須站在正中間，將甲安排在3號位置；②在1、2、4、5中一個位置任選1個，安排乙，有4種情況，由于乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰，則丙有2種安排方法；③將剩下的2名同學(xué)全排列，安排在剩下的2個位置，有種安排方法.故有1×4×2×2=16種安排方法.故選：C.【題目點撥】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意題目的限制條件，優(yōu)先滿足受到限制的元素.8、B【解題分析】

由向量垂直可得，求得x，及向量的坐標(biāo)表示，再利用向量加法的坐標(biāo)運算和向量模的坐標(biāo)運算可求得模.【題目詳解】由，可得，代入坐標(biāo)運算可得x-4=0，解得x=4,所以，得=5，選B.【題目點撥】求向量的模的方法：一是利用坐標(biāo)，二是利用性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積求解.9、C【解題分析】

由已知求得樣本點的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程即可求得a值，進一步求得線性回歸方程，然后逐一分析四個選項即可得答案．【題目詳解】解：由已知得，x=1+2+3+44=2.5，由回歸直線方程y^=0.6x+a^恒過樣本中心點（2.5，2.2），得2.2=0.6×2.5+∴回歸直線方程為y?x每增加1個單位，y就增加1個單位，故B錯誤；當(dāng)x＝5時，y的預(yù)測值為3.1，故C正確；x每增加1個單位，y就增加0.6個單位，故D錯誤．∴正確的是C．故選C．【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程，解題關(guān)鍵是性質(zhì)：線性回歸直線一定過點(x10、D【解題分析】試題分析：由可得：，又是遞減數(shù)列，是遞增數(shù)列，所以，即，由不等式的性質(zhì)可得：，又因為，即，所以，即，同理可得：；當(dāng)數(shù)列的項數(shù)為偶數(shù)時，令，可得：，將這個式子相加得：，所以，則，所以選D．考點：1．裂項相消法求和；2．等比數(shù)列求和；11、D【解題分析】分析：分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，故選D.點睛：應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.12、A【解題分析】

根據(jù)已知的偶函數(shù)以及f（2﹣x）＝﹣f（x）可以求得函數(shù)f（x）在[﹣2，2]上的解析式，進而得到g（x）在[﹣2，2]上的解析式，對g（x）進行求導(dǎo)可知g（x）的增減性，通過增減性求得最大值【題目詳解】根據(jù),得函數(shù)關(guān)于點(1,0)對稱,且當(dāng)時,,則時，，所以當(dāng)時，;又函數(shù)為偶函數(shù),所以當(dāng)時，則,可知當(dāng)，故在[-2，0)上單調(diào)遞增,時，在[0,2]上單調(diào)遞減,故.故選：A【題目點撥】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)：對稱性，奇偶性，周期性．同時利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)研究了函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的最值問題，是中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：滿足條件的四面體為正方體的一個角，利用三棱錐的體積計算公式即可得出結(jié)果.詳解：如圖所示，滿足條件的四面體為正方體的一個角，該四面體的體積，故答案為.點睛：本題主要考查空間直角坐標(biāo)系與三棱錐的體積計算公式，考查了空間想象力、推理能力與計算能力，屬于中檔題.14、【解題分析】分析：首先確定的范圍，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由可得：，由于，故，由可知函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相同：在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，很明顯是函數(shù)的一個零點，則滿足題意時應(yīng)有：，由韋達定理有：，其中，則：，整理可得：，由于，故，則.即實數(shù)的取值范圍為.點睛：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.15、1【解題分析】

選取為基底，把其它向量都用基底表示后計算．【題目詳解】由題意．故答案為1．【題目點撥】本題考查空間向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取基底，把向量用基底表示后再進行計算．16、【解題分析】

計算出，從而可得出，即可求出向量的坐標(biāo).【題目詳解】，，因此，向量的單位向量.故答案為：.【題目點撥】本題考查與非零向量同向的單位向量坐標(biāo)的計算，熟悉結(jié)論“與非零向量同向的單位向量為”的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2).【解題分析】分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，據(jù)此可得.利用線面垂直的判斷定理可得平面.(2)(方法一)延長，相交于，連接，由題意可知二面角就是平面與平面所成二面角.取的中點為，則就是二面角的平面角.結(jié)合幾何關(guān)系計算可得.(方法二)建立空間直角坐標(biāo)系，計算可得平面的法向量.取平面的法向量為.利用空間向量計算可得.詳解：(1)在中，.所以，所以為直角三角形，.又因為平面，所以.而，所以平面.(2)(方法一)如圖延長，相交于，連接，則平面平面.二面角就是平面與平面所成二面角.因為，所以是的中位線.，這樣是等邊三角形.取的中點為，連接，因為平面.所以就是二面角的平面角.在，所以.(方法二)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得..設(shè)是平面的法向量，則令得.取平面的法向量為.設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則，從而.點睛：本題主要考查空間向量的應(yīng)用，二面角的定義，線面垂直的判斷定理等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.18、（1）（2）【解題分析】

（1）利用公式化簡即可（2）聯(lián)立方程，利用參數(shù)t的幾何意義求解?！绢}目詳解】（1）由得∴曲線與直線的方程為：.（2）把代入得∴∴.【題目點撥】本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程，熟記參數(shù)方程與一般方程相互轉(zhuǎn)換的公式，屬于基礎(chǔ)題。19、（Ⅰ）當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，分類討論，，情況下導(dǎo)數(shù)的正負，由此得到答案；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）可得函數(shù)的最小值，要使在定義域內(nèi)恒成立，則恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最值，從而得到實數(shù)的值?！绢}目詳解】（Ⅰ）由題可得函數(shù)的的定義域為，；（1）當(dāng)時，恒成立，則單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間（2）當(dāng)時，恒成立，則單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；（3）當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，則單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜述所述：當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，則；所以在定義域內(nèi)恒成立，則恒成立，即，令，先求的最大值：，令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以