湖北省武漢市華科附中、吳家山中學等五校2024屆數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

湖北省武漢市華科附中、吳家山中學等五校2024屆數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某小區(qū)的6個停車位連成一排,現(xiàn)有3輛車隨機停放在車位上,則任何兩輛車都不相鄰的停放方式有()種.A．24 B．72 C．120 D．1442．甲、乙、丙、丁4個人跑接力賽，則甲乙兩人必須相鄰的排法有（）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種3．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)在的圖象如圖所示，則函數(shù)在的極大值點個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．若點M為圓上的動點，則點M到雙曲線漸近線的距離的最小值為（）A． B． C． D．5．已知集合則=（）A． B． C． D．6．設奇函數(shù)的最小正周期為，則（）A．在上單調遞減 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞增7．若函數(shù)，設，，，則，，的大小關系A． B．C． D．8．4名學生報名參加語、數(shù)、英興趣小組，每人選報1種，則不同方法有（）A．種 B．種 C．種 D．種9．如圖所示正方形，、分別是、的中點，則向正方形內隨機擲一點，該點落在陰影部分內的概率為（）A． B． C． D．10．某大學安排5名學生去3個公司參加社會實踐活動，每個公司至少1名同學，安排方法共有()種A．60 B．90 C．120 D．15011．在一個袋子中裝有個除顏色外其他均相同的小球，其中有紅球個、白球個、黃球個，從袋中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，連續(xù)摸次，則記下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率為（）A． B． C． D．12．過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，且，為坐標原點，則的面積與的面積之比為A． B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是雙曲線的右焦點，的右支上一點到一條漸近線的距離為2，在另一條漸近線上有一點滿足，則________________．14．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3.1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，則p（X>4）=15．設直線l：x+y﹣2＝0的傾斜角為α，則α的大小為_____．16．一個學校高三年級共有學生200人，其中男生有120人，女生有80人，為了調查高三復習情況，用分層抽樣的方法從全天高三學生中抽取一個容量為25的樣本，應抽取女生的人數(shù)為_____________人.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù),．（Ⅰ）求函數(shù)的單調減區(qū)間；（Ⅱ）證明:；（Ⅲ）當時，恒成立，求實數(shù)的值.18．（12分）設命題實數(shù)滿足（）；命題實數(shù)滿足（1）若且p∧q為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若?q是?p的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）如圖，是正方形，是該正方體的中心，是平面外一點，平面，是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.20．（12分）已知命題方程表示圓；命題雙曲線的離心率，若命題“”為假命題，“”為真命題，求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）如圖，三棱柱中，，分別為棱和的中點.(1)求證:平面;(2)若平面平面，且，求證:平面平面.22．（10分）命題：方程有實數(shù)解，命題：方程表示焦點在軸上的橢圓．(1)若命題為真，求的取值范圍；(2)若命題為真，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：根據(jù)題意，首先排好三輛車，在三輛車中間插入兩個空位使三輛車任何兩輛車都不相鄰，最后一個空車位利用插空法即可.詳解：根據(jù)題意，首先排好三輛車，共種，在三輛車中間插入兩個空位使三輛車任何兩輛車都不相鄰，最后把剩下的空車位插入空位中，則有種，由分步計數(shù)原理，可得共有種不同的停車方法.點睛：本題考查排列、組合的綜合應用，注意空位是相同的.2、B【解題分析】

甲乙兩人捆綁一起作為一個人與其他2人全排列，內部2人全排列．【題目詳解】因為甲乙兩人必須相鄰，看成一個整體，所以甲乙兩人必須相鄰的排法有種，故選：B.【題目點撥】本題考查排列問題，相鄰問題用捆綁法求解．3、B【解題分析】

由導數(shù)與極大值之間的關系求解．【題目詳解】函數(shù)在極大值點左增右減，即導數(shù)在極大值點左正右負，觀察導函數(shù)圖象，在上有兩個有兩個零點滿足．故選：B.【題目點撥】本題考查導數(shù)與極值的關系．屬于基礎題．4、B【解題分析】

首先判斷圓與漸近線的位置關系為相離，然后利用圓上一點到直線距離的最小值等于圓心到直線的距離減去圓的半徑，由此即可得到答案?！绢}目詳解】由題知，圓的圓心，半徑.由雙曲線的漸近線方程為，則圓心C到雙曲線漸近線的距離為，故圓C與雙曲線漸近線相離，圓C上動點M到雙曲線漸近線的最小距離為，故選B．【題目點撥】本題考查點到直線的距離公式的運用，考查學生基本的計算能力，屬于基礎題，5、D【解題分析】因為集合B中，x∈A，所以當x＝1時，y＝3－2＝1；當x＝2時，y＝3×2－2＝4；當x＝3時，y＝3×3－2＝7；當x＝4時，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因為A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故選D.6、B【解題分析】分析：利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡，根號函數(shù)的周期和奇偶性即可得到結論．詳解：，

∵函數(shù)的周期是，，

∵）是奇函數(shù)，

即∴當時，即則在單調遞減，

故選：B．點睛：本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質，利用輔助角公式是解決本題的關鍵．7、D【解題分析】

根據(jù)題意，結合二次函數(shù)的性質可得在上為增函數(shù)，結合對數(shù)的運算性質可得，進而可得，結合函數(shù)的單調性分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，是二次函數(shù)，其對稱軸為y軸，且在上為增函數(shù)，，，，則有，則；故選：D．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性以及單調性的判定以及應用，涉及對數(shù)的運算，屬于基礎題．8、B【解題分析】

直接根據(jù)乘法原理計算得到答案.【題目詳解】每個學生有3種選擇，根據(jù)乘法原理共有種不同方法.故選：.【題目點撥】本題考查了乘法原理，屬于簡單題.9、D【解題分析】

根據(jù)正方形的對稱性求得陰影部分面積占總面積的比例，由此求得所求概率.【題目詳解】根據(jù)正方形的對稱性可知，陰影部分面積占總面積的四分之一，根據(jù)幾何概型概率計算公式可知點落在陰影部分內的概率為，故選D.【題目點撥】本小題主要考查幾何概型的計算，屬于基礎題.10、D【解題分析】分析：由題意結合排列組合公式整理計算即可求得最終結果.詳解：由題意可知，5人的安排方案為或，結合平均分組計算公式可知，方案為時的方法有種，方案為時的方法有種，結合加法公式可知安排方法共有種.本題選擇D選項.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．11、C【解題分析】分析：由已知得取出的3球中有2紅1黃或2黃1紅，2紅1黃的情況有3種，2黃1紅的情況也有3種，由此能求出記下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率.詳解：從袋中隨機摸出一個球，摸到紅球、白球、黃球的概率分別為，由已知得取出的3球中有2紅1黃或2黃1紅，2紅1黃的情況有3種，2黃1紅的情況也有3種，下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率為.故選：C.點睛：本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率計算公式的合理運用.12、D【解題分析】

設點位于第一象限，點，并設直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得出，由拋物線的定義得出點的坐標，可得出點的縱坐標的值，最后得出的面積與的面積之比為的值.【題目詳解】設點位于第一象限，點，設直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得，，由拋物線的定義得，得，，，，可得出，，故選：D.【題目點撥】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的綜合問題，考查韋達定理在直線與拋物線綜合問題中的應用，解題的關鍵在于利用拋物線的定義以及韋達定理求點的坐標，并將三角形的面積比轉化為高之比來處理，考查運算求解能力，屬于中等題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】

試題分析：雙曲線的右焦點F（，0），漸近線方程為，點P到漸近線的距離恰好跟焦點到漸近線的距離相等，所以P必在過右焦點與一條漸近線平行的直線上，不妨設P在直線上，由方程組得，所以，由方程組得，所以，所以由于，所以．考點：向量共線的應用，雙曲線的方程與簡單幾何性質．【方法點晴】要求的值，就得求出P、Q兩點的坐標，可直接設出P點坐標用點到直線的距離公式，也可結合雙曲線的幾何性質發(fā)現(xiàn)P的軌跡，解方程組即得P、Q兩點坐標，從而求出兩個向量的坐標，問題就解決了．14、0.1587【解題分析】

P(3≤X≤4)=12P(2≤X≤4)=0.3413,

觀察如圖可得,

∴P(X>4)=0.5-P(3≤X≤4)=0.5-0.3413

=0.1587考點：正態(tài)分布點評：隨機變量～N(μ,δ2)中，15、【解題分析】

根據(jù)直線方程可得斜率，由斜率可得傾斜角.【題目詳解】由直線方程可得斜率為，所以，又，所以.故答案為：【題目點撥】本題考查了由直線方程求傾斜角，屬于基礎題.16、1【解題分析】

由題意結合分層抽樣的定義確定所需抽取的女生人數(shù)即可.【題目詳解】由題意可知，分層抽樣中應抽取女生的人數(shù)為人.故答案為：1．【題目點撥】進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下關系式巧解為：總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)f(x)的單調遞減區(qū)間是.(2)證明見解析.(3).【解題分析】

(Ⅰ)求導，由，即可得到函數(shù)的單調減區(qū)間；(Ⅱ)記h(x)＝f(x)g(x),設法證明，即可證明.(Ⅲ)由題即，易證,當時取到等號，由得,由此可求的值.【題目詳解】(Ⅰ)因為由，得所以f(x)的單調遞減區(qū)間是.(Ⅱ)記h(x)＝f(x)g(x)＝,,所以在R上為減函數(shù)因為所以存在唯一，使即，,當時，；當時，.所以所以.(Ⅲ)因為,所以,易證,當時取到等號，由得,,所以即.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，以及不等式的證明與恒成立問題的求解，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結合思想的應用.18、(1);(2).【解題分析】試題分析：（1）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；（2）利用￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．試題解析：(1)由得，又，所以，當時，，即為真時實數(shù)的取值范圍為.為真時實數(shù)的取值范圍是，若為真，則真真，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）是的充分不必要條件，即，等價于，設，，則是的真子集；則，且所以實數(shù)的取值范圍是.19、證明見解析．【解題分析】試題分析：（1）要證與平面平行，而過的平面與平面的交線為，因此只要證即可，這可由中位線定理得證；（2）要證垂直于平面，就是要證與平面內兩條相交直線垂直，正方形中對角線與是垂直的，因此只要再證，這由線面垂直的性質或定義可得．試題解析：證明：（1）連接，∵四邊形為正方形，∴為的中點，∵是的中點，∴是的中位線.∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵，平面，平面，∴平面.考點：線面平行與線面垂直的判斷．20、【解題分析】試題分析：先化簡命題，得到相應的數(shù)集；再根據(jù)真值表得到的真假性，再分類進行求解．試題解析：若命題為真命題，則，即整理得，解得4分若命題為真命題，則，解得8分因為命題為假命題，為真命題，所以中一真一假，10分若真假，則;若假真，則，所以實數(shù)的取值范圍為．12分考點：1．圓的一般方程；2．雙曲線的結合性質；3．復合命題的真值表．21、（1）見解析（2）見解析【解題分析】分析：（1）先設的中點為，利用平幾知識證得四邊形為平行四邊形，所以，再根據(jù)線面平行判定定理得結論，（2）根據(jù)等腰三角形性質得，再根據(jù)面面垂直性質定理得面，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結論.詳解：解：（1）如圖1，設的中點為，連結，.在中，因為為的中點，所以，且，在三棱柱中，因為，且,為的中點，所以,且，所以，且,所以四