2024屆湖南省長沙市麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題含解析

2024屆湖南省長沙市麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則（）A．18 B．24 C．36 D．562．某體育彩票規(guī)定:從01到36個號中抽出7個號為一注，每注2元．某人想先選定吉利號18，然后再從01到17個號中選出3個連續(xù)的號，從19到29個號中選出2個連續(xù)的號，從30到36個號中選出1個號組成一注．若這個人要把這種要求的號全買，至少要花的錢數(shù)為()A．2000元 B．3200元 C．1800元 D．2100元3．已知向量，，則（）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為（）A．2 B． C．1 D．05．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．6．已知直線l過點(diǎn)P(1,0,－1)，平行于向量，平面過直線l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面的法向量不可能是（）A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)7．已知有窮數(shù)列2，3，，滿足2，3，，，且當(dāng)2，3，，時，若，則符合條件的數(shù)列的個數(shù)是

A． B． C． D．8．一個幾何體的三視圖如右圖所示，則這個幾何體的體積為()A． B． C． D．89．設(shè)函數(shù)滿足：，，則時，（）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，又無極小值10．學(xué)號分別為1，2，3，4的4位同學(xué)排成一排，若學(xué)號相鄰的同學(xué)不相鄰，則不同的排法種數(shù)為()A．2 B．4 C．6 D．811．曲線和直線所圍成圖形的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．1012．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某商場在一周內(nèi)某商品日銷售量的莖葉圖如圖所示，那么這一周該商品日銷售量的平均數(shù)為________．14．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在區(qū)間上的最大值是，則ω＝________.15．在四面體中，，已知，，且，則四面體的體積的最大值為_______.16．在10件產(chǎn)品中有8件一等品，2件二等品，若從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，則恰好含1件二等品的概率為___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸)中，圓的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓與直線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求．19．（12分）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.20．（12分）的展開式中若有常數(shù)項(xiàng)，求最小值及常數(shù)項(xiàng)．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程；曲線的極坐標(biāo)方程。(2)當(dāng)曲線與曲線有兩個公共點(diǎn)時，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程，并指出曲線是什么曲線；（2）若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】，故，.2、D【解題分析】第步從到中選個連續(xù)號有種選法；第步從到中選個連續(xù)號有種選法；第步從到中選個號有種選法.由分步計(jì)數(shù)原理可知：滿足要求的注數(shù)共有注,故至少要花,故選D.3、A【解題分析】

先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，列出方程，求出.【題目詳解】由得，解得，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的加減法運(yùn)算以及向量平行的坐標(biāo)表示．4、C【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，然后再求出即可．【題目詳解】由題意得，∴．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是正確求出復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】分析：先構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.詳解：令，因?yàn)?，所以因此解集為，選A.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等6、D【解題分析】試題分析：由題意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），選項(xiàng)A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0滿足垂直，故正確；選項(xiàng)B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0滿足垂直，故正確；選項(xiàng)C，（2，1，1）（-，1，?）=0，（0，2，4）（-，1，?）=0滿足垂直，故正確；選項(xiàng)D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故錯誤．考點(diǎn)：平面的法向量7、A【解題分析】

先選出三個數(shù)確定為，其余三個數(shù)從剩下的7個里面選出來，排列順序沒有特殊要求.【題目詳解】先確定，相當(dāng)于從10個數(shù)值中選取3個，共有種選法，再從剩余的7個數(shù)值中選出3個作為，共有種選法，所以符合條件的數(shù)列的個數(shù)是，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用排列組合的知識確定數(shù)列的個數(shù)，有無順序要求，是選擇排列還是組合的依據(jù).8、C【解題分析】分析：由三視圖可知，該幾何體表示一個棱長為的正方體切去一個以直角邊長為的等腰直角三角形為底面，高為的三棱錐，即可利用體積公式，求解幾何體的體積．詳解：由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個棱長為的正方體切去一個以直角邊長為的等腰直角三角形為底面，高為的三棱錐，所以該幾何體的體積為，故選C．點(diǎn)睛：本題考查了幾何體的三視圖及幾何體的體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線．求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解．9、B【解題分析】

首先構(gòu)造函數(shù)，由已知得，從而有，令，求得，這樣可確定是增函數(shù)，由可得的正負(fù)，確定的單調(diào)性與極值．【題目詳解】，令，則，所以，令，則，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；故有極小值，無極大值，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，，求導(dǎo)后表示出，然后再一次令，確定單調(diào)性，確定正負(fù)，得出結(jié)論．10、A【解題分析】

先排1,2，再將3、4插空，用列舉法，即可得出結(jié)果.【題目詳解】先排好1、2，數(shù)字3、4插空，排除相鄰學(xué)號，只有2種排法：3142、1．故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查計(jì)數(shù)原理，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.11、C【解題分析】分析：先根據(jù)題意畫出區(qū)域，然后依據(jù)圖形得到積分下限為0，積分上限為2，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可.詳解：曲線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,(2,2),(-2,-2),根據(jù)題意畫出圖形，曲線和直線所圍成圖形的面積是.故選C.點(diǎn)睛：該題所考查的是求曲線圍成圖形的面積問題，在解題的過程中，首先正確的將對應(yīng)的圖形表示出來，之后應(yīng)用定積分求得結(jié)果，正確求解積分區(qū)間是解題的關(guān)鍵.12、B【解題分析】

由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又由函數(shù)是定義上的偶函數(shù)，得到函數(shù)在單調(diào)遞增，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【題目詳解】易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則由，得，即，即在上恒成立，則，解得，即的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中利用函數(shù)的基本性質(zhì)，把不等式轉(zhuǎn)化為求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

直接計(jì)算平均數(shù)得到答案.【題目詳解】.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了莖葉圖的平均值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14、【解題分析】

函數(shù)f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函數(shù)，∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函數(shù)，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案為.15、【解題分析】

作與，連接，說明與都在以為焦點(diǎn)的橢球上，且都垂直與焦距，，取BC的中點(diǎn)F，推出當(dāng)是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，求解即可.【題目詳解】解：作與，連接，則平面，，由題意，與都在以為焦點(diǎn)的橢球上，且都垂直與焦距且垂足為同一點(diǎn)E，顯然與全等，所以，取BC的中點(diǎn)F，，要四面體ABCD的體積最大，因?yàn)锳D是定值，只需三角形EBC面積最大，因?yàn)锽C是定值，所以只需EF最大即可，當(dāng)是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，，，，所以幾何體的體積為：,故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查棱錐的體積，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，是中檔題.16、【解題分析】

先求從10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品事件數(shù)，再求恰好含1件二等品的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.【題目詳解】從10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品有種方法；其中恰好含1件二等品有種方法；因此所求概率為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【解題分析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）解：在中，因?yàn)?，故由，可?由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，.故.考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點(diǎn)睛】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.18、（1）直線l的普通方程為；圓C的直角坐標(biāo)方程為；（2）.【解題分析】

（1）由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)可直接得到普通方程；由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可直接得到圓的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)參數(shù)的方法，即可求出結(jié)果.【題目詳解】(1)由直線的參數(shù)方程(為參數(shù))得直線的普通方程為由,得,即圓的直角坐標(biāo)方程為．(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，得，即，由于>0,故可設(shè)，是上述方程的兩個實(shí)根，所以又直線過點(diǎn)P(3,)，故．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于常考題型.19、（1）；（2）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；極小值為，無極大值.【解題分析】

首先求得；（1）將代入求得且點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）令導(dǎo)函數(shù)等于零，求得，從而可得導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間；根據(jù)極值的定義可求得極值.【題目詳解】由得：（1）在處切線斜率：，又所求切線方程為：，即：（2）令，解得：當(dāng)時，；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為：；單調(diào)遞增區(qū)間為：的極小值為：；無極大值【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某一點(diǎn)處的切線方程、求解導(dǎo)數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值的問題，考查學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)應(yīng)用的掌握.20、的最小值為；常數(shù)項(xiàng)為.【解題分析】

求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，由可求出的最小值，并求出對應(yīng)的值，代入通項(xiàng)即可得出所求的常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以，的最小值為，此時.此時，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用二項(xiàng)式定理求常數(shù)項(xiàng)，一般利用的指數(shù)為零求出參數(shù)的值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.21、(1)見解析;(2).【解題分析】

（1）利用極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到曲線的直角坐標(biāo)方程與曲線的極坐標(biāo)方程，注意題中所給的角的范圍，從而得到其為上半圓，注意范圍；（2）利用直線與圓的位置關(guān)系由圓心到直線的距離來約束，此時注意是上半圓，從而求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由得，即：，∴曲線為以（1,0）為圓心，1為半徑的圓的上半部分，從而直角坐標(biāo)方程為：.-曲線的極坐標(biāo)方程為(2)直線的普通方程為：，當(dāng)直線與半圓相切時，解得（舍去）或，當(dāng)直線過點(diǎn)（2,0）時，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點(diǎn)有平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，曲線的極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)換，直線與曲線有兩個公共點(diǎn)的條件，思路清晰是正確解題的關(guān)鍵.22、(1)曲線的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓.(2)【解題分析】

（1）由曲