江蘇省蘇州陸慕高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考模擬試題含解析

江蘇省蘇州陸慕高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．128 B．256 C．512 D．10243．已知a＝log34，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．b＞a＞c4．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足．若，則（）A．50 B．2 C．0 D．-20185．已知函數(shù)的最小正周期是，若其圖像向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像（）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱6．為直線，為平面，則下列命題中為真命題的是（）A．若，，則 B．則，，則C．若，，則 D．則，，則7．已知函數(shù)，，若，，則的大小為（）A． B． C． D．8．若，則m等于()A．9 B．8 C．7 D．69．若復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．某大型聯(lián)歡會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙的6個(gè)節(jié)目中選取4個(gè)進(jìn)行演出，要求甲、乙2個(gè)節(jié)目中至少有一個(gè)參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們演出順序不能相鄰，那么不同的演出順序的種數(shù)為（）A．720 B．520 C．600 D．26411．設(shè)，若，則實(shí)數(shù)是（）A．1 B．-1 C． D．012．下列有關(guān)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的四個(gè)命題正確的是（）A．衡量?jī)勺兞恐g線性相關(guān)關(guān)系的相關(guān)系數(shù)越接近，說(shuō)明兩變量間線性關(guān)系越密切B．在回歸分析中，可以用卡方來(lái)刻畫回歸的效果，越大，模型的擬合效果越差C．線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)D．線性回歸方程中，變量每增加一個(gè)單位時(shí)，變量平均增加個(gè)單位二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，是某球面上不共面的四點(diǎn)，且，，，則此球的表面積等于_______.14．若，，則的最小值為__________．15．函數(shù)，的最大值是___．16．外接圓的半徑為1，圓心為O，且，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，若直線l過(guò)點(diǎn)P，且傾斜角為，圓C以M為圓心，1為半徑.（1）求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程.（2）設(shè)直線l與圓C相交于AB兩點(diǎn)，求.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位．曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)是曲線上任一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值.19．（12分）已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈，且a⊥b.(1)求tanα的值；(2)求cos的值．20．（12分）在四棱錐中，，，，為棱上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且滿足.（1）求證：平面平面；（2）為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值的大小.21．（12分）有名學(xué)生排成一排，求分別滿足下列條件的排法種數(shù)，要求列式并給出計(jì)算結(jié)果.（1）甲不在兩端；（2）甲、乙相鄰；（3）甲、乙、丙三人兩兩不得相鄰；（4）甲不在排頭，乙不在排尾。22．（10分）已知函數(shù)，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出，由題意得出函數(shù)在上存在極小值點(diǎn)，然后對(duì)參數(shù)分類討論，在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)最小值；在時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，，則對(duì)任意的，.此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無(wú)最小值；②當(dāng)時(shí)，解方程，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.（i）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的，，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無(wú)最小值；（ii）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在定理可知，存在和，使得，即，且當(dāng)和時(shí)，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.所以，函數(shù)在處取得極大值，在取得極小值，由題意可知，，，可得，又，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.2、B【解題分析】

Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2時(shí)，Sn＝2Sn﹣1﹣1，相減可得an+1＝2an．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【題目詳解】∵Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2時(shí)，Sn＝2Sn﹣1﹣1，∴an+1＝2an．n＝1時(shí)，a1+a2＝2a1﹣1，a1＝2，a2＝1．∴數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列，公比為2．則a101×28＝3．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

得出，從而得到的大小關(guān)系，得到答案．【題目詳解】由題意，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得，所以，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對(duì)數(shù)的換底公式，以及對(duì)數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)的運(yùn)算的應(yīng)用，其中解答中熟記對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，合理運(yùn)算時(shí)解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

由題意可得，為周期為4的函數(shù)，分別求得一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值，計(jì)算可得所求和．【題目詳解】解：是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，可得，即有，即，進(jìn)而得到，為周期為4的函數(shù)，若，可得，，，則，可得.故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)的函數(shù)值的求和，注意運(yùn)用函數(shù)的周期性，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．5、D【解題分析】

由最小正周期為可得,平移后的函數(shù)為,利用奇偶性得到,即可得到,則,進(jìn)而判斷其對(duì)稱性即可【題目詳解】由題,因?yàn)樽钚≌芷跒?所以,則平移后的圖像的解析式為,此時(shí)函數(shù)是奇函數(shù),所以,則,因?yàn)?當(dāng)時(shí),,所以,令,則,即對(duì)稱點(diǎn)為；令,則對(duì)稱軸為,當(dāng)時(shí),，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查圖象變換后的解析式,考查正弦型三角函數(shù)的對(duì)稱性6、B【解題分析】

根據(jù)空間中平面和直線平行和垂直的位置關(guān)系可依次通過(guò)反例排除，從而得到結(jié)果.【題目詳解】選項(xiàng)：若，則與未必平行，錯(cuò)誤選項(xiàng)：垂直于同一平面的兩條直線互相平行，正確選項(xiàng)：垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能相交也可能平行，錯(cuò)誤選項(xiàng)：可能與平行或相交，錯(cuò)誤本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)命題的判定，通常通過(guò)反例，采用排除法的方式來(lái)得到結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，然后確定這三個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系，最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出的大小關(guān)系.【題目詳解】，所以是上的增函數(shù).，所以，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后判斷函數(shù)值大小關(guān)系.解決本題的重點(diǎn)是對(duì)指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的比較，關(guān)鍵是對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的理解.8、C【解題分析】分析：根據(jù)排列與組合的公式，化簡(jiǎn)得出關(guān)于的方程，解方程即可.詳解：，，即，解得，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查排列公式與組合公式的應(yīng)用問(wèn)題，意在考查對(duì)基本公式掌握的熟練程度，解題時(shí)應(yīng)熟記排列與組合的公式，屬于簡(jiǎn)單題.9、D【解題分析】

由復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算將其化為形式，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為【題目詳解】由題可知，所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于簡(jiǎn)單題．10、D【解題分析】

根據(jù)題意，分別討論：甲、乙兩節(jié)目只有一個(gè)參加，甲、乙兩節(jié)目都參加，兩種情況，分別計(jì)算，再求和，即可得出結(jié)果.【題目詳解】若甲、乙兩節(jié)目只有一個(gè)參加，則演出順序的種數(shù)為：，若甲、乙兩節(jié)目都參加，則演出順序的種數(shù)為：；因此不同的演出順序的種數(shù)為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查有限制的排列問(wèn)題，以及計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，熟記計(jì)數(shù)原理的概念，以及有限制的排列問(wèn)題的計(jì)算方法即可，屬于?？碱}型.11、B【解題分析】

根據(jù)自變量所在的范圍代入相應(yīng)的解析式計(jì)算即可得到答案.【題目詳解】解得a=-1,故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的計(jì)算，解決策略:(1)在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，一定要判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式;(2)求f(f(f(a)))的值時(shí)，一般要遵循由里向外逐層計(jì)算的原則.12、A【解題分析】分析：利用“卡方”的意義、相關(guān)指數(shù)的意義及回歸分析的適用范圍，逐一分析四個(gè)答案的真假，可得答案．詳解：A.衡量?jī)勺兞恐g線性相關(guān)關(guān)系的相關(guān)系數(shù)越接近，說(shuō)明兩變量間線性關(guān)系越密切，正確；B.在回歸分析中，可以用卡方來(lái)刻畫回歸的效果，越大，模型的擬合效果越差，錯(cuò)誤對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，越大，“與有關(guān)系”可信程度越大;故B錯(cuò)誤；C.線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)，錯(cuò)誤，回歸直線可能不經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的任何一個(gè)點(diǎn)；D.線性回歸方程中，變量每增加一個(gè)單位時(shí)，變量平均增加個(gè)單位，錯(cuò)誤，由回歸方程可知變量每增加一個(gè)單位時(shí)，變量平均增加個(gè)單位.故選A.點(diǎn)睛：本題考查回歸分析的意義以及注意的問(wèn)題．是對(duì)回歸分析的思想、方法小結(jié)．要結(jié)合實(shí)例進(jìn)行掌握.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

把已知三棱錐補(bǔ)形為正方體，可得外接球的半徑，則答案可求．【題目詳解】解：如圖，

把三棱錐A?BCD補(bǔ)形為棱長(zhǎng)為的正方體，

可得為球的直徑，則球的半徑為，

∴球的表面積為．

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，正確補(bǔ)形是關(guān)鍵，是中檔題．14、【解題分析】

由題可得，，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4.故答案為:4.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用“整體乘1”的方法和基本不等式的性質(zhì)來(lái)求最值，注意基本不等式的前提是正數(shù).15、【解題分析】

求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求得最大值.【題目詳解】函數(shù)時(shí)：函數(shù)單調(diào)遞減故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性，再求最大值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、3【解題分析】

利用向量的運(yùn)算法則將已知等式化簡(jiǎn)得到,得到BC為直徑,故為直角三角形,求出三邊長(zhǎng)可得的值,利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出的值.【題目詳解】,.,B,C共線,BC為圓的直徑,.,故.則,【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,兩個(gè)向量垂直的充要條件、圓的直徑對(duì)的圓周角為直角,求出為直角三角形及三邊長(zhǎng),是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），圓的極坐標(biāo)方程為；（2）.【解題分析】

（1）首先根據(jù)直線的點(diǎn)和傾斜角即可求出直線的參數(shù)方程，再根據(jù)圓的圓心坐標(biāo)及半徑可求出圓的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可.（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，再利用直線參數(shù)方程的幾何意義即可求出的值.【題目詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∵M(jìn)的直角坐標(biāo)為，圓的直角坐標(biāo)方程為，即，∴圓的極坐標(biāo)方程為；（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，得，化簡(jiǎn)得：，，.【題目點(diǎn)撥】本題第一問(wèn)考查了直線的參數(shù)方程和圓的極坐標(biāo)方程，第二問(wèn)考查了直線的參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題.18、（1）；;（2）【解題分析】

（1）消參數(shù)得的普通方程，根據(jù)得的直角坐標(biāo)方程（2）根據(jù)直線與圓位置關(guān)系得最值.【題目詳解】（1）因?yàn)椋?，即?）因?yàn)閳A心到直線距離為，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程化普通方程、極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程以及直線與圓位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.19、（1）－（2）【解題分析】(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，即＝0.由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.解得tanα＝－或tanα＝.∵α∈，∴tanα＜0，∴tanα＝－.(2)∵α∈，∴∈.由tanα＝－，求得tan＝－或tan＝2(舍去)．∴sin＝，cos＝－，∴cos＝coscos－sin·sin＝－×－×＝－20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)傳遞性，由平面，得到平面平面（2）作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各平面法向量后根據(jù)夾角公式求得二面角余弦值【題目詳解】（1）證明：因?yàn)?，，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平?（2）如圖，作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，則，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，所以，又，所以，，，所以，，，，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.，，令為平面的法向量，則有即不妨設(shè)，則.易知平面的一個(gè)法向量為，.因?yàn)槎菫殁g角，所以二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查面面垂直證明與二面角的求法，如何建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵21、（1）30240（2）10080（3）14400（4）30960【解題分析】