福清市福清華僑中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

福清市福清華僑中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某巨型摩天輪．其旋轉(zhuǎn)半徑50米，最高點(diǎn)距地面110米，運(yùn)行一周大約21分鐘．某人在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第35分鐘時(shí)他距地面大約為（）米．A．75 B．85 C．100 D．1102．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A． B． C． D．3．某研究機(jī)構(gòu)在對(duì)具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量和進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到如表數(shù)據(jù)．由表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，則在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在回歸直線下方的概率為（）468101212356A． B． C． D．4．已知，是雙曲線的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點(diǎn)，，若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．x+1A．第5項(xiàng) B．第5項(xiàng)或第6項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．不存在6．已知集合，,則等于()A． B． C． D．7．已知向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．8．隨機(jī)變量的分布列為12340.20.30.4則（）A．4.8 B．5 C．6 D．8.49．下列關(guān)于殘差圖的描述錯(cuò)誤的是（）A．殘差圖的橫坐標(biāo)可以是編號(hào)B．殘差圖的橫坐標(biāo)可以是解釋變量和預(yù)報(bào)變量C．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小D．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小10．雙曲線的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則拋物線的方程為（）A． B． C． D．11．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1，粗線表示一正方體被某平面截得的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．2 B．4 C．6 D．812．已知，，則，這上這2個(gè)數(shù)中（）A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一個(gè)不小于2 D．至少有一個(gè)不大于2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．引入隨機(jī)變量后，下列說法正確的有：__________（填寫出所有正確的序號(hào)）.①隨機(jī)事件個(gè)數(shù)與隨機(jī)變量一一對(duì)應(yīng)；②隨機(jī)變量與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)；③隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù).14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，且，過弦的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為__________．15．已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點(diǎn)，，且在第一象限交于點(diǎn)，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則的最小值為__________．16．已知函數(shù)f(x)=|lnx|,0<x≤e3-x+e3+3,x>三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二次函數(shù),且,是否存在常數(shù),使得不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立?并求出的值.18．（12分）已知，求的值．19．（12分）在四棱錐中,平面平面，,四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，,是的中點(diǎn).(1)求證:平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20．（12分）動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，設(shè).（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的最小值．21．（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（包括兩個(gè)端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，①求證：；②求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，曲線在處的切線與軸平行.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：設(shè)出P與地面高度與時(shí)間t的關(guān)系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B，由題意求出三角函數(shù)中的參數(shù)A，B，及周期T，利用三角函數(shù)的周期公式求出ω，通過初始位置求出φ，求出f（35）的值即可．詳解：設(shè)P與地面高度與時(shí)間t的關(guān)系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由題意可知：A=50，B=110﹣50=60，T==21，∴ω=，即f（t）=50sin（t+φ）+60，又因?yàn)閒（0）=110﹣100=10，即sinφ=﹣1，故φ=，∴f（t）=50sin（t+）+60，∴f（35）=50sin（×35+）+60=1．故選B．點(diǎn)睛：已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求，一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求．2、A【解題分析】本題考察函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性由函數(shù)的奇偶性定義易得，，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，單調(diào)區(qū)間為時(shí)，變形為，由于2>1,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，變形為，可看成的復(fù)合，易知為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)故選擇A3、A【解題分析】分析：求出樣本點(diǎn)的中心，求出的值，得到回歸方程得到5個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線下方的有（，共2個(gè)，求出概率即可．詳解：故，解得：，

則

故5個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線下方的有，共2個(gè)，

故所求概率是，

故選A．點(diǎn)睛：本題考查了回歸方程問題，考查概率的計(jì)算以及樣本點(diǎn)的中心，是一道基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義，可得是等邊三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得雙曲線的漸近線方程為.故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)條件求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．5、C【解題分析】

根據(jù)題意，寫出(x+1x)10展開式中的通項(xiàng)為Tr+1，令x【題目詳解】解：根據(jù)題意，(x+1x)令10-2r=0，可得r=5；則其常數(shù)項(xiàng)為第5+1=6項(xiàng)；故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用二項(xiàng)式定理，寫出二項(xiàng)式展開式，其次注意項(xiàng)數(shù)值與r的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集確定出，然后利用交集的定義求解即可.詳解：由中不等式變形得，解得，即，因?yàn)?，，故選C.點(diǎn)睛：研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.本題需注意兩集合一個(gè)是有限集，一個(gè)是無(wú)限集，按有限集逐一驗(yàn)證為妥.7、D【解題分析】

根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式可得cosθ的值，據(jù)此分析可得答案．【題目詳解】設(shè)與的夾角為θ，由、的坐標(biāo)可得||＝5，||＝3，?5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】分析：先求出a,再求,再利用公式求.詳解：由題得a=1-0.2-0.3-0.4=0.1.由題得.所以所以.故答案為：B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查概率的計(jì)算和隨機(jī)變量的期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2)若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，.9、C【解題分析】分析：根據(jù)殘差圖的定義和圖象即可得到結(jié)論．詳解：A殘差圖的橫坐標(biāo)可以是編號(hào)、解釋變量和預(yù)報(bào)變量，故AB正確；可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．則對(duì)應(yīng)相關(guān)指數(shù)越大，故選項(xiàng)D正確，C錯(cuò)誤.故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查殘差圖的理解，比較基礎(chǔ)．10、C【解題分析】由題意可知該雙曲線是等軸雙曲線，故漸近線方程是，而拋物線的準(zhǔn)線方程為，由題設(shè)可得，則，所以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，應(yīng)選答案C。11、B【解題分析】

由題意，直觀圖如圖所示，由圖可知該幾何體的體積為為正方體的一半．【題目詳解】由題意，直觀圖如圖所示，由圖可知該幾何體的體積為為正方體的一半，即為2×2×2＝1．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查由三視圖求體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定幾何體的形狀是關(guān)鍵．12、C【解題分析】

根據(jù)取特殊值以及利用反證法，可得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，故A，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；假設(shè)，則，又，，矛盾，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查反證法，正所謂“正難則反”，熟練掌握反證法的證明方法，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、③【解題分析】

要判斷各項(xiàng)中對(duì)隨機(jī)變量描述的正誤，需要牢記隨機(jī)變量的定義.【題目詳解】引入隨機(jī)變量,使我們可以研究一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的所有可能結(jié)果，所以隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù)，故③正確.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查隨機(jī)變量的相關(guān)定義，難度不大.14、.【解題分析】分析：過P、Q分別作準(zhǔn)線的垂線PA、QB，垂足分別是A、B，設(shè)，，可得，由余弦定理得：，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得的取值范圍，從而得到本題答案.詳解：如圖：過P、Q分別作準(zhǔn)線的垂線PA、QB，垂足分別是A、B，設(shè)，，由拋物線定義，得，在梯形中，，，由余弦定理得：，則的最小值為.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查拋物線的定義、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，基本不等式求最值，余弦定理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題.15、.【解題分析】分析：通過橢圓與雙曲線的定義，用和表示出的長(zhǎng)度，根據(jù)余弦定理建立的關(guān)系式；根據(jù)離心率的定義表示出兩個(gè)離心率的平方和，利用基本不等式即可求得最小值。詳解：，所以解得在△中，根據(jù)余弦定理可得代入得化簡(jiǎn)得而所以的最小值為點(diǎn)睛：本題考查了圓錐曲線的綜合應(yīng)用。結(jié)合余弦定理、基本不等式等對(duì)橢圓、雙曲線的性質(zhì)進(jìn)行逐步分析，主要是對(duì)圓錐曲線的“交點(diǎn)”問題重點(diǎn)分析和攻破，屬于難題。16、1【解題分析】試題分析：由題意得，0<lnx2<3?1<x2<e3，因?yàn)榇嬖趚1<x2<x3，f(x1)=f(考點(diǎn)：分段函數(shù)的性質(zhì)及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值，著重考查了學(xué)生分析、解答問題的能力，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法的應(yīng)用，屬于中檔試題，本題的解答中，先確定1<x2<三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

由，令可得，結(jié)合，又利用恒成立可得，從而可得結(jié)果.【題目詳解】存在常數(shù)使恒成立，因?yàn)?，所以，即，?0，所以，代人恒成立，得恒成立，得.故，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)的解析式以及一元二次不等式恒成立問題，屬于難題.一元二次不等式恒成立問題主要方法：（1）若實(shí)數(shù)集上恒成立，考慮判別式小于零即可；（2）若在給定區(qū)間上恒成立，則考慮運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為求最值問題.18、【解題分析】

先由等式求出的值，利用誘導(dǎo)公式對(duì)所求分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，代入的值可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以，因此?【題目點(diǎn)撥】本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，對(duì)于化簡(jiǎn)求值類問題，首先要利用誘導(dǎo)公式將代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系或代值計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析；（2）【解題分析】

(1)連接，根據(jù)幾何關(guān)系得到,由平面平面，可得平面，進(jìn)而得到,再由三角形ABE的角度及邊長(zhǎng)關(guān)系得到，進(jìn)而得到結(jié)果;(2)建立空間坐標(biāo)系得到面的法向量為，面的一個(gè)法向量為，根據(jù)向量夾角運(yùn)算可得結(jié)果【題目詳解】（1）連接，由，是的中點(diǎn)，得，由平面平面，可得平面，，又由于四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，所以，從而平面.（2）以為原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，有，，令平面的法向量為，由，可得一個(gè)，同理可得平面的一個(gè)法向量為，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了面面垂直的證法，以及二面角的求法，證明面面垂直經(jīng)常先證線面垂直，再得面面垂直，或者建立坐標(biāo)系，求得兩個(gè)面的法向量，證明法向量公線即可.20、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解題分析】

（1）設(shè)Q（x，y），則P（x，2y），代入x2=2y得出軌跡方程；（2）聯(lián)立直線AB方程與Q的軌跡方程，得出A，B的坐標(biāo)關(guān)系，代入斜率公式化簡(jiǎn)|k1﹣k2|，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則由得，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，（Ⅱ）方法一：由已知，直線的斜率一定存在，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立得由韋達(dá)定理得（1）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)即或時(shí)，當(dāng)時(shí)，直線的斜率看作拋物線在點(diǎn)處的切線斜率，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，同理可得（2）當(dāng)直線不經(jīng)過點(diǎn)即且時(shí)，，所以的最小值為.方法二：同上故，所以的最小值為方法三：設(shè)點(diǎn)，由直線過點(diǎn)交軌跡于兩點(diǎn)得：化簡(jiǎn)整理得：，令，則【題目點(diǎn)撥】本題考查了軌跡方程的求解，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，屬于中檔題．21、（1）①見解析；②；（2）.【解題分析】

（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由向量法證明線線垂直和計(jì)算二面角．（2）設(shè)（），設(shè)直線與平面所成的角為由向量坐標(biāo)法求得設(shè)設(shè)由導(dǎo)數(shù)法求得