2024屆上海市通河中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆上海市通河中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對、兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)與殘差平方和如表：甲乙丙丁0.820.780.690.85106115124103則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)、兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后關(guān)于軸對稱，則下列結(jié)論中不正確的是A． B．是圖象的一個(gè)對稱中心C． D．是圖象的一條對稱軸3．設(shè)直線的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量，則直線與平面的位置關(guān)系是（）.A．垂直 B．平行C．直線在平面內(nèi) D．直線在平面內(nèi)或平行4．在棱長為的正方體中，如果、分別為和的中點(diǎn)，那么直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．5．定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．6．已知圓柱的軸截面的周長為，則圓柱體積的最大值為（）A． B． C． D．7．有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有（）A．34種 B．48種C．96種 D．144種8．若雙曲線的一條漸近線為，則實(shí)數(shù)（）A． B．2 C．4 D．9．給出下列三個(gè)命題：(1)如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；(2)一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個(gè)平面不相交，則這兩個(gè)平面平行；(3)一個(gè)平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行；其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．310．在中，，，，點(diǎn)滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．711．已知直線l、直線m和平面，它們的位置關(guān)系同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①；②；③l與m是互相垂直的異面直線若P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且到l、m的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線12．由與直線圍成的圖形的面積是（）A． B． C． D．9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在西非“埃博拉病毒"的傳播速度很快，這已經(jīng)成為全球性的威脅，為了考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：感染未感染合計(jì)服用104050未服用203050合計(jì)3070100附：0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635根據(jù)上表，有________的把握認(rèn)為“小動(dòng)物是否感染與服用疫苗有關(guān)”.14．某校高一年級有名學(xué)生，其中女生人，按男女比例用分層抽樣的方法從該年級學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)是__________．15．已知函數(shù)，其中，若只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．16．已知一組數(shù)據(jù)從小到大排列為－1,0,4，x,6,15，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，已知底面為菱形，，，為對角線與的交點(diǎn)，底面且（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．（12分）如圖，四核錐中，，是以為底的等腰直角三角形，，為中點(diǎn)，且．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．20．（12分）如圖，已知在四棱錐中，為中點(diǎn)，平面平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）已知函數(shù)，，若曲線和曲線在處的切線都垂直于直線．（Ⅰ）求，的值．（Ⅱ）若時(shí)，，求的取值范圍．22．（10分）已知.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：由題表格；相關(guān)系數(shù)越大，則相關(guān)性越強(qiáng)．而殘差越大，則相關(guān)性越小．可得甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，中丁的線性相關(guān)性最強(qiáng)．考點(diǎn)：線性相關(guān)關(guān)系的判斷．2、C【解題分析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得,的圖象關(guān)于軸對稱，所以,時(shí)可得，故，，不正確，故選C.3、D【解題分析】∵直線的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量∴∴直線在平面內(nèi)或平行故選D.4、B【解題分析】

作出圖形，取的中點(diǎn)，連接、，證明四邊形為平行四邊形，計(jì)算出的三邊邊長，然后利用余弦定理計(jì)算出，即可得出異面直線與所成角的大小.【題目詳解】如下圖所示：取的中點(diǎn)，連接、，、分別為、的中點(diǎn)，則，且，在正方體中，，為的中點(diǎn)，且，則，所以，四邊形為平行四邊形，，則異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角.在中，，，.由余弦定理得.因此，異面直線與所成角的大小為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，一般利用定義法或空間向量法計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5、C【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷出函數(shù)為上的增函數(shù)，并將所求不等式化為，利用單調(diào)性可解出該不等式.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由，則，，可得，即，，因此，不等式的解集為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)不等式的求解，通過導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6、B【解題分析】

分析:設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圓柱體積的最大值．詳解:設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤∴V=πr2h≤8π，∴圓柱體積的最大值為8π，點(diǎn)睛:(1)本題主要考查圓柱的體積和基本不等式,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.7、C【解題分析】試題分析：,故選C.考點(diǎn)：排列組合.8、C【解題分析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出漸近線方程，根據(jù)雙曲線的一條漸近線求得m的值．【題目詳解】雙曲線中，，令，得，所以；又雙曲線的一條漸近線為，則，解得，所以實(shí)數(shù)．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求漸近線方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

根據(jù)面面平行的位置關(guān)系的判定依次判斷各個(gè)命題的正誤，從而得到結(jié)果.【題目詳解】（1）若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條互相平行的直線平行于另一個(gè)平面，兩個(gè)平面可能相交，則（1）錯(cuò)誤；（2）平面內(nèi)任意一條直線與另一個(gè)平面不相交，即任意一條直線均與另一個(gè)平面平行，則兩個(gè)平面平行，（2）正確；（3）若不共線的三點(diǎn)中的兩點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)分別位于平面的兩側(cè)，此時(shí)雖然三點(diǎn)到平面距離相等，但兩平面相交，（3）錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查面面平行相關(guān)命題的辨析，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積．【題目詳解】在中，，，，點(diǎn)滿足，可得則==【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量．11、D【解題分析】

作出直線m在平面α內(nèi)的射影直線n，假設(shè)l與n垂直，建立坐標(biāo)系，求出P點(diǎn)軌跡即可得出答案．【題目詳解】解：設(shè)直線m在平面α的射影為直線n，則l與n相交，不妨設(shè)l與n垂直，設(shè)直線m與平面α的距離為d，在平面α內(nèi)，以l，n為x軸，y軸建立平面坐標(biāo)系，則P到直線l的距離為|y|，P到直線n的距離為|x|，∴P到直線m的距離為，∴|y|，即y2﹣x2＝d2，∴P點(diǎn)軌跡為雙曲線．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間線面位置關(guān)系、軌跡方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．12、C【解題分析】分析：先聯(lián)立方程，組成方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得被積區(qū)間，再用定積分表示出y=﹣x2與直線y=2x﹣3的面積，即可求得結(jié)論．詳解：由y=﹣x2與直線y=2x﹣3聯(lián)立，解得y=﹣x2與直線y=2x﹣3的交點(diǎn)為（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y=﹣x2與直線y=2x﹣3圍成的圖形的面積是S==（﹣x3﹣x2+3x）=．故答案為：C．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用定積分的幾何意義和定積分求面積，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.（2）從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)，且函數(shù)的圖像有一部分在軸上方，有一部分在軸下方，那么定積分表示軸上方的曲邊梯形的面積減去下方的曲邊梯形的面積.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、95%【解題分析】

先由題中數(shù)據(jù)求出，再由臨界值表，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題中數(shù)據(jù)可得：，根據(jù)臨界值表可得：犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05.即有95%的把握認(rèn)為“小動(dòng)物是否感染與服用疫苗有關(guān)”.故答案為95%【題目點(diǎn)撥】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的問題，會由公式計(jì)算，能分析臨界值表即可，屬于?？碱}型.14、【解題分析】

先求出男生的抽樣比,再乘以樣本容量即可得到應(yīng)抽取的男生人數(shù).【題目詳解】因?yàn)槟承８咭荒昙売忻麑W(xué)生，其中女生人,所以其中男生有180-80=100人,所以男生抽樣比為,若抽取一個(gè)容量為的樣本,則應(yīng)抽取的男生人數(shù)是人.故答案為:25.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分層抽樣,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

把表示成分段函數(shù)，將一個(gè)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)交點(diǎn)問題，作出圖形，從而得到答案.【題目詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；而的只有一個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，作出圖形，，此時(shí)，斜率越來越小時(shí)，無交點(diǎn)，斜率越來越大時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，故的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分段函數(shù)的圖像，零點(diǎn)問題，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成交點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的作圖能力，分析能力，難度中等.16、6【解題分析】這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列其中中間的兩個(gè)數(shù)為4，，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為∴x＝6，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6，填6.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；極小值為，無極大值.【解題分析】

首先求得；（1）將代入求得且點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）令導(dǎo)函數(shù)等于零，求得，從而可得導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間；根據(jù)極值的定義可求得極值.【題目詳解】由得：（1）在處切線斜率：，又所求切線方程為：，即：（2）令，解得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為：；單調(diào)遞增區(qū)間為：的極小值為：；無極大值【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某一點(diǎn)處的切線方程、求解導(dǎo)數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值的問題，考查學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)應(yīng)用的掌握.18、（1）；（2）【解題分析】

根據(jù)底面為菱形得，利用線面垂直的性質(zhì)可得，，從而以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系；（1）利用異面直線所成角的空間向量求法可求得結(jié)果；（2）分別得到兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.【題目詳解】底面為菱形又底面，底面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，，（1）設(shè)為異面直線與所成的角，又，異面直線與所成的角的余弦值為：（2）平面平面的法向量取設(shè)平面的法向量為，又，則，令，則，設(shè)為兩個(gè)平面所成的銳二面角的平面角，則：平面與平面所成銳二面角的余弦值為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用空間向量法求解角度問題，涉及到異面直線所成角、平面與平面所成角的求解問題，考查學(xué)生的運(yùn)算和求解能力，屬于常規(guī)題型.19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）過作垂線，垂足為，由得，．又，可得平面，即可證明．（Ⅱ）易得到平面距離等于到平面距離．過作垂線，垂足為，在中，過作垂線，垂足為，可證得：平面．求得：，從而，即可求解.【題目詳解】(Ⅰ)過作垂線，垂足為，由得，．又，∴平面，∴平面平面；（Ⅱ）∵，∴到平面距離等于到平面距離．過作垂線，垂足為，在中，過作垂線，垂足為，可證得：平面．求得：，從而，即直線與平面所成角的正弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的求解、是中檔題．20、（1）見解析；（2）【解題分析】

分析：（1）由勾股定理可得，可得平面，于是，由正三角形的性質(zhì)可得，可得底面，從而可得結(jié)果；（2）以為，過作的垂線為建立坐標(biāo)系，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角余弦公式可求出二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵，，，，∴，，，，∴，∵平面平面,兩平面的交線為∴平面，∴，∵，為中點(diǎn)，∴，梯形中與相交∴底面，∴平面平面．（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，，，設(shè)平面的